Математические методы в психологии. Учебное пособие-1

Обращение к статистическим методам связано с антропометрическими исследованиями. Первые исследования были начаты Френсисом Гальтоном (1822–1911), который под влиянием идей своего кузена Чарльза Дарвина исследовал влияние наследственности на способности человека. Для измерения степени выраженности таланта он обращается к нормальному закону распределения, отмечая, что измерение в психологии, не имеющее ни нуля, ни собственной единицы, может прибегать только к сравнениям, основанным на статистическом распределении измерений.

Развитие психометрики и психотехники связано была с разработкой методов оценки надёжности результатов тестов, а также обобщения множества измеренных данных. В начале ХХ в. Г.И. Россолимо предлагает описывать уровень развития общих способностей в виде психологического профиля, который можно рассматривать как многомерную шкалу. В 1939 г. Роберт Трион обращается к кластерному анализу для классификации личностных черт.

Математические методы используются не только как методы обобщения информации, но и как модели для построения различных теорий: здесь выделим известные работы К. Левина по топологической психологии.

С середины ХХ в. дальнейшее проникновение математических идей связано с развитием представлений об объектах как сложных самоорганизующихся и саморазвивающихся, необходимостью комплексного изучения человека.

Применение математических методов позволило увидеть возможности решения определённых задач, но в то же время явило ограничения, связанные с предметом науки. В настоящее время формулируются задачи, которые требуют не просто применения существующего математического аппарата, но и создания нового.

1.3. Математико-статистическая обработка: суть и составляющие. Эмпирическое и формальное множества

Математическая обработка – это оперирование со значениями признака, полученными у испытуемых в психологическом исследовании.

Эти значения признака называют индивидуальными результатами, наблюдаемыми значениями, вариантами, датами (data), индивидуальными показателями и др.

Математическая обработка – это всегда перевод эмпирического множества в формальное.

11

При этом под эмпирическим множеством понимается любая совокупность реальных объектов (процессов, явлений), находящихся в определённых соотношениях друг с другом. Эти отношения могут быть представлены четырьмя типами (эмпирическими операциями):

-равенство («равно» / «не равно»);

-ранговый порядок («больше» / «меньше»);

-равенство интервалов («больше на столько-то единиц» / «меньше на столько-то единиц»);

-равенство отношений («больше во столько-то раз» / «меньше во столько-то раз»).

Таким образом, эмпирическое множество – это совокупность значений признака, полученного исследователем в результате психологической диагностики на данной конкретной выборке испытуемых. Например, 30 значений показателя интеллектуального развития, характеризующие 30 человек конкретного школьного класса или любой другой группы испытуемых, - это эмпирическое множество значений конкретного измеренного признака.

Под формальным множеством понимается произвольная совокупность символов, связанных между собой определёнными отношениями, которые описываются четырьмя видами формальных операций: 1) = / ≠; 2) </>; 3)(+/˗); 4) (×/÷).

Формальное множество – это всегда некоторая формальная (математическая) модель, которая характеризует формальные связи между некоторыми (интересующими исследователя) элементами.

Преобразование совокупности полученных данных (эмпирического множества) в некоторую модель позволяет проводить с этой моделью различного рода аналитические операции, что добавляет к интерпретационному потенциалу применяемых методов исследования, позволяет усилить объективность делаемых исследователем выводов и др.

Математико-статистическая обработка с точки зрения последовательности её шагов – это получение математической модели для полученной совокупности данных, анализ этой модели и перевод преобразованного знания обратно на язык той области знания, ко-

12

психология и математические методы соотносятся друг с другом так же, как теоретическая и экспериментальная психология.

Вматематической психологии принято выделять два направления: - математические модели; - математические методы.

Вэтом смысле математическая обработка – это общая процедура использования математико-статистических средств (методов) в том числе для получения и дальнейшей интерпретации математической модели. Но понятие «математическая модель» в целом предполагает любым образом преобразованные первичные данные для последующей обработки.

1.4. Виды операций при интерпретации результатов мате- матико-статистической обработки в психологии

Возможность переводить с предметного языка на язык математический и обратно связана с разного рода интерпретациями. Интерпретация представляет собой установление соответствия между познаваемыми объектами, а её результатом служит определённый синтез знаний.

Г.В. Суходольский выделил четыре возможных вида интерпретации при применении математики в психологии.

Математико-психологическое исследование начинается с пси- холого-психологических интерпретаций. Предмет сначала рассматривается как один из психологических феноменов, выделяется его структура, описываются признаки, которые можно наблюдать и количественно оценивать. На этом этапе должны быть ясно сформулированы цели и задачи исследования, уточнены исходные, промежуточные, итоговые понятия, выделены свойства и особенности, отношения и связи изучаемого предмета.

На следующем этапе осуществляется психолого-математическая интерпретация. Для данных признаков подбираются математические метрические пространства и соответствующие измерительные шкалы.

Совокупности свойств предметов обозначаются символами, описываются в виде нового множества значений, которые обобщаются с помощью определённых математических операций (о чём сказано выше). Содержательные связи, зависимости между свойствами и условиями ассоциируются с формулами, определёнными математическими уравнениями или неравенствами и т.д. Таким образом, происходит математическая идентификация исследователь-

13

ской ситуации, которая сводится к выбору методов анализа данных. Исходным основанием для выбора метода является специфика исследовательской ситуации, а не математическая специфика метода.

Результаты измерений обрабатываются с помощью математических процедур, соответствующих задаче анализа и модели изучаемого явления. Это есть математико-математическая интерпретация. При использовании компьютерных средств математико-математические интерпретации выпадают из поля зрения, что приводит к некорректной интерпретации результатов. В связи с этим необходимо знать основные идеи и положения применяемых методов анализа «вручную», что в частности представлено в данном пособии.

Из этой интерпретации делают заключение о психологических особенностях, свойствах, механизмах и пр. изучаемого явления. Осуществляется математико-психологическая интерпретация – содержательная интерпретация полученных числовых результатов. Она предполагает соответствие психолого-математической интерпретации, т.е. анализ и понимание полученных результатов должен соответствовать тем операциям, с помощью которых проводился перевод качественных свойств в числовые характеристики.

Данные виды интерпретаций позволяют увидеть логику проведения исследования и соотношение математических методов с предметными задачами.

Математические методы не дают решения проблем других наук, они позволяют обобщить материал, полученный в других науках, в символьном, знаковом виде, приведя к известным математическим объектам.

Использование математических методов без качественной определённости предметной области не даёт адекватного результата относительно решаемой проблемы. Как отметил Б.Ф. Ломов, если качественная определённость выявлена и разрабатываемые в науке положения сформулированы чётко, то математика становится мощным средством развития науки.

Выводы. Процесс математизации психологии связан с необходимостью снижения субъективных оценок в получаемых исследователем выводах. Математика (а с ней – и математическая статистика) считается наиболее объективным «инструментом» для такого доказательства. Преобразование психологического знания в математическую (формальную) модель, её обработка и обратное преоб-

14

разование – составляют этапы математико-статистической обработки результатов исследования.

Правильное применение математической статистики позволяет психологу доказывать правильность и обоснованность используемых методических приёмов и методов; строго обосновывать экспериментальные планы; обобщать данные эксперимента; находить зависимости между экспериментальными данными; выявлять наличие существенных различий между группами испытуемых по како- му-либо признаку; строить статистические предсказания; избегать логических и содержательных ошибок и др.

Вопросы для самопроверки

1.Основные понятия математической статистики для психологов.

2.Признак и переменная в психологии.

3.Исторические аспекты становления и развития идеи использования математической статистики в психологии.

4.Математико-статистическая обработка: суть и составляющие.

5.Эмпирическое и формальное множества.

6.Виды операций при интерпретации результатов математикостатистической обработки в психологии.

Рекомендуемая литература и интернет-источники1

Основная: 1–3. Дополнительная: 1– 3. Методическая: 1–2. Интернет-ресурсы: 1– 3.

1 Общий список рекомендуемой литературы для всех тем ищи на странице 33 в конце пособия.

15

2. Измерение в психологии. Шкалы измерений. Распределение признака

План

2.1.Понятие об измерении. Измерение и шкалирование.

2.2.Шкалы измерения.

2.2.1.Шкала наименований и её свойства.

2.2.2.Шкала порядка и её свойства.

2.2.3.Шкала интервалов и её свойства.

2.2.4.Шкала отношений и её свойства.

2.3.Распределение признака. Параметры распределения.

2.4.Методы количественной обработки данных. Первичная и вторичная количественная обработка.

2.1. Понятие об измерении. Измерение и шкалирование

В основе применения математических методов и моделей в любой науке лежит измерение. В психологии объектами измерения являются свойства системы психики или её подсистем, такие, как восприятие, память, направленность личности, способности и т.д.

С точки зрения теории измерения, всё множество различных измерительных процедур, применяемых в психологии, является процедурами построения шкалы психологической переменной, иначе говоря, процедурами психологического шкалирования.

Шкалирование совмещает в себе черты количественного и качественного изучения реальности. Количественный аспект шкалирования состоит в том, что в его процедуру в подавляющем большинстве случаев входят измерение и числовое представление данных. Качественный аспект выражается в том, что, во-первых, оно позволяет манипулировать не только количественными данными, но и данными, не имеющими единиц измерения, а во-вторых, включает в себя элементы качественных методов (классификации, типологизации, систематизации).

Точно не определены истоки шкалирования: на звание его «родителя» претендуют сразу несколько наук, среди которых и психология. Над теорией и практикой шкалирования работали такие вы-

дающиеся учёные, как Л.Л. Терстон, С.С. Стивенс, В.С. Торгерсон, А. Пьерон.

Шкалирование представляет собой процесс отображения по заданным правилам эмпирических множеств в формальные. При шкалировании обязательным условием является взаимооднозначное

16

(изоморфное) соответствие между элементами эмпирического и формального множеств. Это означает, что каждому элементу первого множества должен соответствовать только один элемент второго, и наоборот.

Итогом шкалирования является построение шкал, т.е. некоторых знаковых (числовых) моделей исследуемой реальности, с помощью которых можно эту реальность измерить. Отношения между элементами эмпирического множества и соответствующие допустимые математические операции обусловливают уровень шкалирования и тип получаемой шкалы. Первому типу отношений – шкала наименований, второму – порядка, третьему – интервалов, четвёртому – отношений.

В зависимости от объектов исследования психологическое шкалирование выступает в двух разновидностях: психофизическое или психометрическое.

Психофизическое шкалирование заключается в построении шкал для измерения субъективных (психологических) характеристик объекта, имеющих физические корреляты с соответствующими физическими единицами измерения. Например, субъективным характеристикам звука (громкости, высоте, тембру) соответствуют физические параметры звуковых колебаний: амплитуда (в децибелах), частота (в герцах), спектр.

Психометрическое шкалирование заключается в построении шкал для измерения субъективных характеристик объектов, не имеющих физических коррелятов (характеристики личности, сплочённость коллектива, выразительность образов и т.п.).

Как физическое, так и психологическое шкалирование может быть одномерным и многомерным. Одномерное шкалирование – это процесс отображения эмпирического множества в формальное по одному критерию. Получаемые одномерные шкалы отображают либо отношения между одномерными эмпирическими объектами, либо изменения одного свойства многомерного объекта.

Под многомерным шкалированием понимается процесс отображения эмпирического множества в формальное одновременно по нескольким критериям. Многомерные шкалы отражают либо отношения между многомерными объектами, либо одновременные изменения нескольких признаков одного объекта. Здесь привлекается мощный математико-статистический аппарат (например, кластерный, факторный анализ и др.).

17

Косвенное (объективное) шкалирование – это процесс отображения эмпирического множества в формальное при взаимном несоответствии (отсутствии изоморфизма) между структурами этих множеств. Для количественного выражения эмпирических множеств используются внешние по отношению к ним (косвенные) единицы измерения.

Косвенные психологические шкалы по способам их построения, исходным допущениям и единицам измерения образуют несколько групп, главные из которых следующие: шкалы накопления или логарифмические шкалы; шкалы, основанные на измерении времени реакции; шкалы суждений (сравнительных и категориальных). Аналитическим выражениям этих шкал присвоен статус зако-

нов: логарифмический закон Вебера-Фехнера; закон Пьерона для простой сенсомоторной реакции; закон сравнительных суждений Терстона; закон категориальных суждений Торгерсона.

Прямое (субъективное) шкалирование представляет собой процесс отображения эмпирического множества в формальное при взаимооднозначном соответствии (изоморфизм) структур этих множеств.

Прямые шкалы по способу их построения образуют две основные группы:

-шкалы, основанные на определении сенсорных отношений;

-шкалы, основанные на определении величин стимулов. Значительная часть прямых шкал хорошо объяснимо степенной

функцией, и аналитическое выражение прямых шкал называется

степенным законом Стивенса.

Для количественного выражения ощущений при субъективном шкалировании используются психологические единицы измерения. Многие из единиц имеют общепринятые наименования – «сонны» для громкости, «брилы» для яркости, «густы» для вкуса, «веги» для тяжести и др.

Понятно, что относительно разных эмпирических систем мы должны использовать разные методики измерения, т.е. применять измерительные шкалы разных типов. Понимание исследователем формальных аспектов измерения является необходимым условием для адекватного выбора им измерительных инструментов и процедур, а также для применения адекватных методов анализа полученных в наблюдении и эксперименте данных. Основываясь на правилах измерения, принято различать несколько типов шкал, с каждым из которых могут быть соотнесены конкретные процедуры шкали-

18

рования. При этом каждый тип шкалы может быть охарактеризован соответствующими числовыми свойствами.

Рассмотрим ниже более подробно основные свойства разных типов шкал, эмпирические операции, допустимые на уровне этих шкал, а также статистические приёмы обработки и анализа исходных или, как их чаще называют, первичных результатов исследования.

2.2. Шкалы измерения

2.2.1. Шкала наименований и её свойства

Шкала наименований представляет собой взаимооднозначное отображение некоторой эмпирической системы в числовой системе. Таким образом, она отображает соответствие между классами эквивалентности, т.е. классами эмпирических объектов – обозначений. Само название «шкала наименований» указывает на то, что в этом случае шкальные значения играют роль лишь названий классов эквивалентности.

Шкалы наименований подчиняются законам равенства. То есть объект А может быть равен объекту В по признаку X, так что ХА=ХВ; но по отношению к третьему объекту С по признаку Х он может быть неравным: ХА ХС. Любая другая связь между шкальными значениями, за исключением равенства, не имеет отношения к данному случаю, так как для данного типа шкал не существует никакого дополнительного определения.

Шкала наименований представляет собой наиболее общую форму шкал. Все типы шкал в каждом отдельном случае являются некоторыми видами шкал наименований, но обладающими при этом теми или иными дополнительными свойствами. При построении шкал наименований должны быть выполнены следующие требования:

-во-первых, каждый член некоторого множества объектов должен быть отнесён лишь к одному классу объектов (или к собирательному классу «прочие объекты»);

-во-вторых, ни один из объектов не может быть отнесен одновременно к двум или большему числу классов. К примеру, если принять, что глаза у людей могут быть только светлыми или тёмными, то все люди по этому признаку разделяются на две группы. При этом люди с множеством оттенков глаз: голубых, серо-зелёных

исерых попадут в класс «люди со светлыми глазами», а те, у которых глаза карие и тёмно-коричневые, - в класс «люди с тёмными

19

глазами». Из приведённого примера видно, что отношения эквивалентности по заданному признаку между классифицируемыми объектами, как правило, грубее реальных отношений, существующих между объектами.

С формальной точки зрения установление классов эквивалентности как будто не вызывает никаких затруднений. В действительности понятие «равенство» можно трактовать более узко или более широко в зависимости от «тонкости» или «грубости» используемой классификации по заданному признаку. Так, если делается попытка упорядочить события по признаку «мороз/оттепель», то температуры, обозначаемые как +1° и ˗1°, будут входить в два разных неэквивалентных класса, в то время как температуры +1° и +10° попадут в один класс и по признаку «мороз/оттепель» будут рассматриваться как эквивалентные события.

Приведённые примеры должны были показать, что при построении шкал наименований главными являются качественные различия, а количественные не принимаются во внимание. Поэтому числа, используемые в качестве обозначений классов эквивалентности в этих шкалах, не отражают количественных различий выраженности изучаемого признака.

В примере с температурой мы имели дело с дихотомической шкалой (делением на два класса), или альтернативной классификацией. Эти классификации можно образовать по логическому принципу «А/не-А», т.е. согласно принципу наличия или отсутствия определённого признака. Примерами такого рода классификации могут быть: «нормальный / аномальный», «женатый / холостой», «решает задачу / не решает задачу» и т.п. В случае так называемой истинной дихотомии классы могут быть чётко разделены по определённому признаку, например: «мужской / женский пол».

Однако бывают классификации с менее жёсткими переходами признака, т.е. с довольно произвольными границами между классами эквивалентности, например: «способен к концентрации внимания / не способен к концентрации внимания». Именно с такого рода классификациями чаще всего и имеет дело психолог. Это так называемые «квазидихотомические» классификации. Построение и использование таких шкал с квазидихотомическими границами классов вызывает ряд затруднений. Первая трудность, которая при этом возникает, состоит в установлении границы классов. В частности, каков же будет в нашем примере критерий «способности» к концен-

20