Математические методы в психологии. Учебное пособие-1

Величина, представляющая собой квадратный корень из несмещённой оценки дисперсии D (или S), называется стандартным отклонением или средним квадратичным отклонением. В психоло-

гии принято обозначать эту величину σ (сигма):

= D или σ = √∑(xi – М)2/(n-1)

Втех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или наоборот, ниже среднего, образуются ассиметричные распределения (левосторонняя – положительная, правосторонняя – отрицательная).

Показатель асимметрии вычисляется по формуле:

А = Σ(xi – x)3/(n σ3)

Для выявления факта наличия асимметрии её показатель сравнивается с ошибкой асимметрии (mа=√6/n), и если он превосходит эту ошибку более чем в три раза, то констатируется наличие асимметрии (в зависимости от знака).

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом («выпуклость» кривой нормального распределения). Если же в распределении преобладают крайние значения, причём одновременно и более низкие и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом («вогнутость» кривой нормального распределения).

Показатель эксцесса вычисляется по формуле:

Е = (Σ(xi – x)4/(n σ4)) – 3

Для выявления факта наличия эксцесса его показатель сравнивается с ошибкой эксцесса (mе=2√6/n), и если он превосходит эту ошибку более чем в три раза, то констатируется наличия эксцесса (в зависимости от знака).

Параметры распределения оказывается возможным определить только по отношению к данным, представленным, по крайней мере,

винтервальной шкале.

2.4.Методы количественной обработки данных. Первичная и вторичная количественная обработка

Процесс количественной обработки данных имеет две фазы: первичную и вторичную.

Первичная количественная обработка нацелена на упорядочивание информации об объекте и предмете изучения, полученной на

31

эмпирическом этапе исследования. К основным методам первичной обработки относятся: табулирование, построение диаграмм, гистограмм (ступенчатая диаграмма), полигонов распределения (верхние точки центральных осей всех участков гистограммы соединяются прямыми отрезками) и кривых распределения (полигон распределения, но с плавными кривыми линиями). Диаграммы отражают дискретное распределение, остальные графические формы – непрерывное.

Вторичная количественная обработка заключается главным образом в статистическом анализе итогов первичной обработки. Здесь важно получить ответы на следующие вопросы.

1. Какое значение наиболее характерно для выборки?

Для решения этого вопроса вычисляются т.н. «меры центральной тенденции». Это величины, являющиеся обобщающими, и к ним относят: среднее арифметическое, медиану, моду, среднее геометрическое и среднее гармоническое. В психологии обычно используют первые три.

-среднее арифметическое (оценка математического ожидания); описано выше;

-медиана (Ме) – это точка на измерительной шкале, выше и ниже которой находится ровно по 50 % величин ряда (наблюдений). Её определяют по срединному рангу по формуле:

Ме=(RN+1)/2

То есть чтобы вычислить медиану, необходимо ранжировать ряд значений (наблюдений). Полученное значение медианы может не соответствовать значению ряда, а находится между двумя соседними значениями, тогда вычисляется среднее арифметическое этих значений.

Например, имеем ряд 3-5-6-7-9-10-11-12. Проранжировав его, имеем 1-2-3-4-5-6-7-8. Ранговая медиана в этом ряду: Ме=8+1/2=4.5. Этому рангу соответствует середина между членами первоначального ряда, имеющими ранги 4 и 5. Следовательно, медиана этого ряда равна 8 (7+9/2). Следует отметить, что величины 8

вряду нет, но таково значение медианы этого ряда.

-мода (Мо) – это значение, наиболее часто встречающееся в выборке (самое «модное» значение в выборке). Пример: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; Мо=9.

Если все значения в группе встречаются одинаково часто, то считается, что моды нет. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, то-

32

гда мода есть среднее этих двух значений (например: 1, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 7; Мо=3). Если то же самое относится к двум несмежным значениям, то существует две моды, а группа значений признака является бимодальной (пример: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7;

Мо=1 и 4).

Обычно среднее арифметическое применяется при стремлении к наибольшей точности, и когда впоследствии нужно будет вычислять стандартное отклонение. Медиана – когда в значениях признака есть нетипичные данные (например: 1, 3, 5, 7, 9, 26, 13). Мода – когда не нужна высокая точность, но важна быстрота определения меры центральной тенденции.

2. Велик ли разброс данных относительно среднего значения? Для ответа на этот вопрос применяются меры изменчивости

(рассеивания, разброса). Они позволяют судить о степени однородности полученного множества, о его компактности, и косвенно – о надёжности получаемых результатов. Наиболее используемые в психологических исследованиях: размах, среднее отклонение, дисперсия, стандартное отклонение, квартильное отклонение.

-Размах (Р) – это интервал между максимальным и минимальным значениями признака. Он определяется легко, но чувствителен

кслучайностям, особенно при малом числе данных. Пример: (0, 2, 3, 5, 8; Р=8); (-0.2, 1.0, 1.4, 2.0; Р=2.2)

-Среднее отклонение (описано выше).

Множество всех конкретных отклонений от среднего характеризует изменчивость данных, но, если их не взять по модулю, то их сумма будет равна нулю, и мы не получим информации об их изменчивости. Среднее отклонение показывает степень скученности данных вокруг среднего (иногда вместо М берут Ме или Мо).

-Дисперсия (D); описана выше;

-Стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение (описано выше).

-Коэффициент ковариации является относительной характеристикой рассеивания и рассчитывается по формуле:

V= (σх / хср)*100%,

где σх – среднее квадратическое отклонение для данного ряда значений; хср – М, среднее арифметическое для данного ряда значений.

- Квартильное отклонение (Q). На практике нам часто важно узнать не точку, а интервал значений, следовательно, ось накопленной частоты (если все значения разместить на оси) разбивается на

33

равное количество интервалов. Это S-образная кривая (ось накопленной частоты), где М – генеральная средняя. Точки на оси накопленной частоты, делящие её в установленной пропорции, называются квантилями (отсюда название квантильной стандартизации тестов).

Среди квантилей выделяют квартили, квинтили, децили, процентили. Например, 3 квартиля (Q1, Q2, Q3) делят выборку на 4 равные части (кварты) таким образом, что 25% испытуемых ниже Q1, 50% ниже Q2, 75% ниже Q3, 99 процентилей делят выборку на 100 равных частей (процентов) и т.д.

Квартиль первая вычисляется по формуле: Q1=(R1+Rn/2)/2, т.е. полусумма первого и последнего рангов первой (левой от медианы) половины ряда.

Квартиль третья вычисляется по формуле: Q3=(Rn/2+Rn)/2, т.е. полусумма первого и последнего рангов второй (правой от медианы) середины ряда.

Полученным значениям рангов соответствуют определённые величины в исходном ряду данных. Для характеристики распределения вычисляется среднее квартильное отклонение:

Q=(Х1(Q3)-Х2(Q1))/2,

где Х1 и Х2 – значения ряда, соответствующие третьей и первой квартили.

Понятно, что при симметричном распределении Q2 и Ме будут совпадать. А вообще точка на оси, соответствующая Q2 определяется после отделения 50% всех значений выборки.

Выводы. Измерение – это приписывание числовых форм объектам или событиям в соответствии с определёнными правилами. Следование этим правилам (шкалирование) определяют шкалу измерения. В результате процедуры шкалирования данные измерения представляются в виде одной из четырёх традиционных типов шкал измерения – номинативной, порядковой, интервальной

ишкалы отношений.

Сэтого момента начинается обработка результатов исследования. При этом можно выделить первичную (табулирование, построение графиков и диаграмм) и вторичную обработку (расчёт различного рода параметров и использование статистических критериев).

34

Вопросы для самопроверки

1.Понятие об измерении. Измерение и шкалирование.

2.Шкалы измерения.

3.Шкала наименований и её свойства.

4.Шкала порядка и её свойства.

5.Шкала интервалов и её свойства.

6.Шкала отношений и её свойства.

7.Распределение признака. Параметры распределения.

8.Методы количественной обработки данных. Первичная и вторичная количественная обработка.

Рекомендуемая литература и интернет-источники

Основная: 1–3. Дополнительная: 1– 3. Методическая: 1–2. Интернет-ресурсы: 1– 3.

35

3. Статистические гипотезы. Статистические критерии. Экспериментальная выборка

План

3.1.Сущность и виды статистических гипотез.

3.2.Статистические критерии и уровень статистической значимости.

3.3.Экспериментальная выборка и способы её создания.

3.1. Сущность и виды статистических гипотез

Формулирование гипотез систематизирует предположения исследователя и представляет их в чётком и лаконичном виде. Благодаря гипотезам исследователь не теряет замысла в процессе расчётов и ему легко понять после их окончания то, что он собственно обнаружил.

Гипотеза – это научное предположение о:

-наличии явления;

-наличии связи между явлениями;

-наличии причинно-следственной связи между явлениями. Общая экспериментальная гипотеза исследования ставится в

самом начале работы, выступая тем самым основанием для постановки уточняющих её статистических гипотез.

Статистические гипотезы подразделяются так:

1. Нулевая гипотеза (Н0) – это гипотеза об отсутствии различий; это – то, что мы хотим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

Существуют некоторые особенности при формулировке статистических гипотез. Традиционно нуль-гипотезу мы формулируем так – «различий нет». В общем случае при использовании того или иного любого статистического критерия мы гипотезу действительно можем свести к данной формулировке.

Кроме того, в зависимости от того, что мы сравниваем, в формулировке гипотезы добавляется соответствующее указание – «различий между группами (двумя, тремя или более) по измеряемого признаку нет», «различий между срезами или замерами (двумя, тремя или более) на одной группе испытуемых нет», «различий между рядами измеренного признака (двумя, тремя или более) нет» и др.

Наконец, в формулировке гипотезы использованное слово «нет» отображает общий и основной замысел исследовательского предположения, однако в каждом конкретном случае правильнее было бы говорить о том, что «различия есть, но они недостоверны, несущественны, статистически не значимы, случайны» или же ещё более «мягко»: «в

36

данном случае, для данных испытуемых, с использованием данного математико-статистического критерия различий не обнаружено»; этот же самый тезис справедлив и для альтернативной гипотезы.

2. Альтернативная гипотеза (Н1) – это гипотеза о значимости различий; это – то, что мы хотим доказать. Стандартная формулировка нуль-гипотезы звучит так – «различия есть». Все тезисы и уточнения, приведённые выше для нуль-гипотезы, справедливы и для альтернативной гипотезы.

Глубоко статистически и правильнее говорить о том, что мы либо принимаем нуль-гипотезу, либо её отвергаем (и в этом, втором, случае мы добавляем, что, отвергая нуль-гипотезу, мы принимаем альтернативную).

Бывают задачи, когда нам нужно подтвердить именно нульгипотезу, когда, например, нам нужно доказать, что выборки перед началом эксперимента не различаются между собой.

Кроме эти базовых гипотез (Н1 и Н0), есть ещё второстепенная классификация, но которая иногда может быть основной:

-направленная гипотеза: различия между группами есть, и при этом одна группа больше (сильнее, лучше и пр.) по какому-либо признаку другой (или других) группы (групп);

-ненаправленная гипотеза: звучит просто как формулировка основных статистических гипотез – различия есть или различий нет.

Сложности формулирования или же различения сформулированных гипотез могут возникнуть на уровне формулы нулевой ненаправленной и направленной гипотез, поскольку и та и другая могут звучать так – «различия случайны».

Часто можно не тратить много времени на выверение формулировки гипотезы, т.к., как уже подчёркивалось, любую гипотезу можно свести к формуле о наличии или отсутствии различий. Однако есть один интересный нюанс, который полезно знать: уровень статистической значимости для одного и того же эмпирического значения критерия для направленной альтернативы в два раза меньше этого уровня для ненаправленной альтернативы.

3.2. Статистические критерии и уровень статистической значимости

Проверяются гипотезы статистическими критериями. Статистический критерий – это решающее правило, обеспе-

чивающее принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью.

37

Статистические критерии обозначают также метод расчёта определённого числа и само это число.

Пусть достоверность различий определялась с помощью критерия χ2. Предположим, мы получили значение 17.563 – это эмпирическое значение критерия. По соотношению эмпирического и критического (табличного) значений критерия мы судим о принятии или отклонении нуль-гипотезы. χ2эмп>χ2кр, нуль-гипотеза отвергается. В большинстве случаев (кроме критерия U-Манна-Уитни, G-критерия знаков, Т-критерия Вилкоксона) мы придерживаемся правила, что эмпирическое значение должно быть больше критического, то есть именно в случае превышения нашего рассчитанного значения над теоретическим отвергается нуль-гипотеза, для выделенных в скобках критериев действует обратное правило – чем меньше наше рассчитанное значение табличного, тем с большей вероятностью мы можем отклонить нуль-гипотезу.

В большинстве случаев одно и то же эмпирическое значение критерия может оказаться значимым или незначимым в зависимо-

сти от так называемого количества (числа) степеней свободы – df

(дэ-эф) или ν (ню).

Число степеней свободы равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован (например, объём выборки, пол и в целом – любые сравниваемые параметры или разряды измеряемого признака).

υ=(с-1) или υ=(с-1)*(к-1),

где с и к – разряды или уровни измеренного признака.

Например, мы сравниваем юношей и девушек по какому-либо признаку (уровень интеллекта, уровень тревожности и пр.), в этом случае количество степеней свободы будет равно 1, т.к. υ=(2-1).

Уровень значимости – это вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны.

Если мы указываем, что различия достоверны на 5% уровне значимости, или при p≤0.05, то мы имеем в виду, что вероятность того, что они всё-таки не достоверны, составляет 0.05.

Уровень значимости – это вероятность отклонения нульгипотезы, в то время как она верна.

Ошибка, состоящая в том, что мы отклонили верную нульгипотезу тогда, как она верна, называется ошибкой первого рода. Чем меньше вероятность этой ошибки (α), тем больше вероятность верного решения.

38

В связи с таким условием существует правило отклонения нуль-гипотезы:

-если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему p≤0,05 или превышает его, то нуль-гипотеза отклоняется, но мы ещё не можем принять альтернативную гипотезу;

-если же эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему p≤0.01 или превышает его, то нуль-гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Ошибка, состоящая в том, что мы приняли нуль-гипотезу, в то время как она ложна, называется ошибкой второго рода.

Вероятность такой ошибки обозначается β. Мощность критерия состоит в его способности не допустить ошибку 2-го рода.

Таким образом, можно говорить о том, что ошибка первого рода отвечает за значимость вывода, а ошибка второго рода – за мощность.

3.3. Экспериментальная выборка и способы её создания

Для проверки выдвинутых в исследовании гипотез обращаются к сбору эмпирической информации об исследуемом признаке. Исследовательские гипотезы формулируются относительно множества объектов, обладающих некоторыми свойствами (качественным или количественным признаком), которые изучаются. Однако проверить гипотезу на всём множестве объектов невозможно. В связи с этим эмпирическая проверка проводится на ограниченной по численности группе респондентов, представляющих данное множество объектов. Ограниченность объектов связана с трудностями исследования всех возможных изучаемых объектов, в этом случае исследование было бы бесконечным. Данное обстоятельство привело к тому, что в математической статистике были выделены понятия генеральной и выборочной совокупности.

Генеральная совокупность рассматривается как все множество объектов, которые подлежат изучению. Сплошное изучение генеральной совокупности крайне затруднительно, поэтому из генеральной совокупности выбирается некоторое множество объектов. Данное множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупно-

сти, называется выборочной совокупностью, или выборкой. Объекты отбираются для изучения свойств генеральной совокупности, которые неизвестны и которые необходимо выделить на выборке.

Выбор объектов, участников исследования с точки зрения проверки гипотезы является одной из важных задач, которая в меньшей

39

степени обсуждается при планировании исследования. Однако от того, кто попал в группу участников, сколько их, по каким признакам они должны быть представлены в группе, зависит результат. На основе изучения выборки мы делаем выводы о генеральной совокупности, переносим полученный на ограниченном количестве объектов результат на всю генеральную совокупность. В связи с чем вопросы формирования группы участников являются важными и с позиции организации исследования, и со стороны применения статистических методов.

Итак, всю совокупность потенциальных испытуемых, которые могут быть объектами данного психологического исследования,

обозначают как популяцию, или генеральную совокупность. Выбор популяции зависит от целей исследования. Специалист по психогенетике выбирает в качестве испытуемых моно- и дизиготных близнецов, а также их родителей, дедушек и бабушек. Медицинский психолог при изучении агрессивного поведения у лиц с синдромом посттравматического стресса исследует выборку ветеранов афганской войны. Исследователь закономерностей оперантного научения проводит эксперименты на выборке крыс.

Все потенциальные испытуемые характеризуются разным полом, возрастом, социальным положением, уровнем образования, состоянием здоровья и т.д. Кроме того, они обладают различными индивидуально-психологическими особенностями, например разными уровнями интеллекта, нейротизма, агрессивности.

Для того чтобы на основе ограниченного количества объектов выделить свойства генеральной совокупности, выборка должна обладать определёнными свойствами. Состав экспериментальной выборки должен моделировать, представлять (репрезентировать) генеральную совокупность, поскольку выводы, получаемые в эксперименте, распространяются на всех членов популяции, а не только на представителей этой выборки. Объекты должны быть отобраны таким образом, чтобы все возможные свойства совокупности объектов были представлены в той мере, в какой они представлены в генеральной совокупности. Таким образом, выборка должна быть репрезентативной, т.е. отражать свойства и характеристики изучаемой совокупности, репрезентировать их.

Подбор объектов для выборки, которая действительно была бы репрезентативной генеральной совокупности, – весьма непростое дело. Выборка должна качественно и количественно представлять

40