Эмиссионная электроника. Учебное пособие

61

2.В микромире имеются беспричинные флуктуации энергии микрообъектов, их квантового состояния, их пространственной лока-

лизации, а также беспричинные статистические флуктуации количества частиц в статистическом ансамбле по закону ΔN / N = 1 /N1/2, где ΔN – беспричинная флуктуация, беспричинный статистический шум; N – количество частиц в ансамбле.

3.В микромире нет сил, нет траекторий, а есть квантовые состояния, энергии объектов.

4.Электроны как микрообъекты неотличимы друг от друга.

5.Результаты измерений в микромире зависят от наблюдателя, определяющего, задающего квантовое состояние микрообъекта и влияющего на результат измерения. Согласно неопределенности Гейзенберга невозможно отделить исходное квантовое состояние объекта от воздействия наблюдателя в процедуре получения сведений об объекте. Это пояснение сути принципа дополнительности Бора. Авторское определение в литературе найти не удается, имеются только трактовки его и других авторов.

6.Ряд теоретиков квантовой физики (например, Р. Фейнман) считали и считают, что для понимания процессов и объектов микромира вполне достаточно их математического описания.

Из многочисленных моделей волновых свойств электрона, которые группируются в три принципиально разные группы, конвенциональным образом (путем соглашения) была принята трактовка Макса Борна: волновые свойства в микромире проявляются как результат дифракции, но наблюдаются как волнообразно-неравномерное попадание на экран электронов большого статистического ансамбля. Поэтому волновые свойства объясняются как вероятность попадания электронов как частиц в заданную точку.

Неравномерное, селективное отражение медленных электронов по углу от кристаллической решетки и корреляция углов преимущественного отражения с формулами де Бройля и Вульфа – Брэгга считаются неопровержимым доказательством волновых свойств электрона. За окончательное доказательство волновых свойств электрона был принят результат эксперимента Бибермана, Сушкина, Фабриканта по прохождению одиночных электронов (электронных волн) через два отверстия и образованию дифракционной картины на экране, расположенном за отверстиями, наподобие опыта Юнга со светом.

Мы не будем рассматривать внутренние противоречия квантовой теории в применении для описания поведения электронов проводимости в металле. Однако отметим сложность квантового подхода к решению проблемы и неоднозначность толкования экспериментов.

62

Дифракция света наблюдается как разность хода при отражении от дифракционной решетки и формирования максимумов и минимумов при интерференции отраженных волн в определенных направлениях. Это описывается формулой Вульфа – Брэгга. В дифракционных рефлексах нет интерференции. Они могут быть получены последовательностью одиночных электронов, но как «волна вероятности попадания». Дифракционные максимумы электронов формируются не по разности хода, а, возможно, по селективности отражения.

10. Волновая механика. Уравнение Шредингера

Для описания волновых свойств электрона была создана квантовая теория – волновая механика и матричная механика. Так как электрон есть квантово-механический объект, то Эрвин Шредингер в классическом волновом уравнении струны (и других колебаний), вы-

раженном в частных производных

∂2u / ∂x2 + ∂2u / ∂y2 + ∂2u / ∂z2 = (1 / v’ 2) ∂2u / ∂t2 , (10.1)

заменил символ функции «u» на символ «ψ» для выразительности и для отделения квантовых колебаний от колебаний в классических системах:

а фазовую скорость волнового процесса v’ выразил из классической формулы v’ = λν как фазовую скорость «электронной волны», длину волны λ которой выразил формулой де Бройля λ = h / mv, где λ - длина волны электрона; ν - частота волнового процесса (колебаний волны); m

– масса электрона; v – скорость электрона как частицы; h – постоянная Планка. Для волнового уравнения коэффициент производной по времени получился равным

(1 / v’ 2) = 1 / (hν / mv)2 = 2m (mv2/2) / (hν)2 = 2m Wкин / (hν)2 , (10.3)

где Wкин – кинетическая энергия электрона как частицы.

Из математики известно, что решение дифференциального урав-

где ψ(x,y,z) – пространственная составляющая волновой функции электрона; ψ(t) – временная составляющая волновой функции электрона; i - мнимая единица.

Ψ’’ (x,y,z,t) = ( - 2πiν)2 ψ(x,y,z) exp( - 2πiνt) = 4π2ν2 ψ(x,y,z) exp( - 2πiνt).

Подставив производные в волновое уравнение, Шредингер получил

Так как кинетическая энергия электрона есть разность полной энергии Е и потенциальной энергии U (x,y,z), то окончательно полу-

чается уравнение Шредингера в общем виде

∂2 ψ / ∂x2 + ∂2 ψ / ∂y2 + ∂2 ψ / ∂z2 + (8π2m/h2) [(E - U (x,y,z)] ψ = 0. (10.7)

Если в это уравнение подставить полную Е и потенциальную U энергии, то можно получить значения ψ – функции по координатам и во времени. Потенциальная энергия для электронов в твердом теле определяется потенциальным рельефом атомной (ионной) решетки кристаллической структуры. Как отмечено выше, в модели свободных электронов Зомммерфельда величина потенциальной энергии принята равной для всех электронов Епот = U (x,y,z) = - e. Зонную модель Зомммерфельда (энергетическую схему твердого тела) с пространственно неизменной потенциальной энергией называют моделью с плоским дном или потенциальным ящиком с плоским дном (рис. 4.1; 4.5; 7.3). Так как периодическое расположение атомов очевидно изменяет пространственно потенциальную энергию электронов, то в развитие модели с плоским дном появились модели с «рифленым» дном, представляемым, например, функцией в виде синусоиды. В общем виде потенциальная энергия (форма дна потенциальной ямы – энергетического уровня W = 0) будет содержать периодическую функцию U = - e + δU, где + δU ( << e ) – периодическая функция, изменяющаяся с периодом решетки атомов. Если принять δU << e, то такая модель называется моделью слабосвязанных электронов. Если потенциальная энергия неизменна по кристаллу, то получается модель свободных электронов. В модели слабосвязанных электронов при бесконечном кристалле пси-функция и другие квантово-механические параметры полностью повторяются с периодом решетки. Такое повторение называют трансляционной симметрией в кристалле. На поверхности трансляционная симметрия кристалла нарушается.

Оппенгеймер ввел для модели слабосвязанных электронов пси-функции атомов решетки и получил хорошее приближение для моделирования поведения свободных электронов в слабосвязывающем потенциальном поле атомов, близком к действительному распределению потенциального поля атомов. Для большего уточнения потенциального поля атомов далее было выдвинуто большое число разнообразных функций, называемых общим определением – псевдопотенциалы. В электронной теории имеется отдельное направление – «Теория псевдопотенциалов». Надо отметить, что до настоящего времени имеются приближенные экспериментальные подтверждения только кулоновских и резерфордовских потенциалов. Все поверхно-

64

стные и атомные потенциалы и псевдопотенциалы носят чисто теоретический характер.

11. Квантование свободных электронов

Для построения зонной теории твердого тела использована модель слабосвязанных электронов. Но все же наиболее распространенной для качественных анализов физических процессов в эмиттерах и полупроводниках остается модель Зоммерфельда – потенциального ящика с плоским дном.

Кинетическая энергия свободных и слабосвязанных электронов (далее рассматриваем их вместе) в твердом теле определяется из принятых начальных условий, а именно задается квантовыми условиями и принципом запрета Паули. Согласно принципу запрета в одном квантовом состоянии могут быть только два электрона с разными спинами. В литературе нет однозначно сформулированных условий квантования свободных, валентных электронов металла, а также критериев направленности спинов. Из описаний электронной теории можно заключить, что одно квантовое состояние свободного электрона определяется одной ячейкой в конфигурационном пространстве.

Конфигурационное пространство – это математическое шести-

мерное пространство с координатами ( x, y, z, px, py, pz ). Конфигурационный размер одной квантовой ячейки определяется условием не-

определенности Гейзенберга, а именно

x y z px py pz ≥ h3. (11.1)

Многомерные пространства, в том числе конфигурационное пространство, методами и средствами классической физики не моделируются. Их нужно воспринимать математическими категориями.

Вторым квантовым условием является требование целого числа s волн на длине кристалла L = s λ и целого числа n полуволн на постоянной решетки a0 = n λ/2. Поведение электронов удобно рассматривать в волновом аспекте. Кинетическая энергия электрона как частицы равна

Величина 1/ λ есть число длин волн на единице длины в направлении распространения волны, то есть по нормали к фронту волны. Обозначим

65

фронту волны. Его величина равна количеству волн на единице длины, например количествуо волн на длине 1 см. Вектор k называют вол-

то волновой вектор k может быть выражен через полное целое число

Аналогичные равенства получаются и для межатомного расстояния a0, на котором должно укладываться целое число n = 2a0k полуволн:

эти числа дискретные, то и энергия электрона изменяется дискретно.

Как видно численно, условием стоячих волн на длине кристалла задается дискретность на уровне 10 – 15 эВ, не измеряемом современными средствами. Возможно из-за принципа неопределенности Гейзенберга такие величины останутся принципиально не измеряемыми. Условием межатомных стоячих волн задается дискретность изменения энергии в единицы и более электронвольт. Решением уравнения Шредингера была получена зависимость энергии от числа n с малой дискретностью. По формуле энергии E = f (s ) – это парабола c дискретными значениями аргумента и функции. Фактически это квантование энергии. По формуле E = f (n) функция энергии тоже парабола, точно повторяющая первую. Но с большой дискретностью аргумента и функции.

При укладке длин волн на длине кристалла есть еще одно важное условие – равенство импульса нулю на границах кристалла, а это значит – равенство нулю импульса при каждом значении числа s. Между точками s функция импульса не равна нулю. Графически зависимость

66

импульса от числа s показана на рисунке. Условие равенства импульса нулю возникает из положения об отсутствии переноса энергии в кристалле как внутри кристалла, так и через границу «металл-вакуум».

В окрестностях точек n энергия изменяется не по параболе. Физической причиной этому является удовлетворение величины волнового вектора условию Вульфа – Брэгга, приводящему к условию равенства импульса при целочисленном значении n.

запрещенных полос энергий получена для каждого материала одна зонная энергетическая схема. В общем случае зонные энергетические схемы имеют три вида зон: энергетическую полосу с занятыми электронами уровнями энергии, энергетическую полосу с незанятыми уровнями энергии (рис. 4.1) и для диэлектриков и полупроводников образуется полоса, не содержащая квантовых энергетических состояний, а именно запрещенная полоса энергий (рис. 4.5). Для металлов эти заполненная и свободная полосы перекрываются. Для диэлектриков между этими полосами имеется широкая энергетическая полоса,

67

сравнимая с шириной заполненной и незаполненной зоны. Таким образом, зонная энергетическая схема Зоммерфельда содержит валентную заполненную зону шириной ɛF = |eχпот – EF|, в которой все квантовые состояния заняты электронами, зону со свободными от электронов квантовыми состояниями (при Т=0), называемую зоной проводимости или свободной зоной шириной |EF| = eφ (рис. 4.1). В схемах диэлектриков и полупроводников ширину зоны проводимости назы-

вают сродством к электрону и обозначают |Eс| = eχсрод, где Eс – энергия дна зоны проводимости; eχсрод – энергия сродства полупроводника

(рис. 4.5). На зонной схеме диэлектриков и полупроводников между валентной зоной и зоной проводимости всегда есть запрещенная зона

шириной Езапр = |Ev – Ec|, где Ev – энергия верха валентной зоны; Ec – энергия дна зоны проводимости. Энергия уровня Ферми всегда равна

ЕF = (Ev + Ec) / 2 (с учетом отрицательных знаков уровней ЕF < 0). Число квантовых состояний в валентной зоне соответствует числу

валентных электронов. Если считать, что коллективизованными оказываются по одному электрону из атома, то число квантовых состояний в валентной зоне будет равно половине количества атомов в кристалле, так как в каждом квантовом состоянии по два электрона с противоположными спинами. При температуре, равной абсолютному нулю, согласно принципу минимизации свободной энергии все электроны находятся в нижних квантовых состояниях, то есть в состояниях валентной зоны.

И здесь выделяем ключевое следствие из принципа запрета Паули. При нулевой температуре валентные электроны обладают кинетической энергией. Не считая спинов, все электроны обладают разными импульсами. При упрощении конфигурационного шестимерного пространства до сферического импульсного трехмерного пространства валентные электроны имеют некоторое распределение по скоростям, некоторый максимальный импульс и максимальную кинетическую энергию. Максимальная кинетическая энергия электронов при абсолютном нуле температуры называется энергией Ферми F. Эта энергия отсчитывается от нулевой кинетической энергии W = 0. В соответствии с этим положением все валентные электроны обладают кинетическими энергиями при Т = 0. Эти энергии иногда называют «нулевые энергии», нулевые, в смысле исходные, начальные и беспричинные, не нуждающиеся в пояснении.

Внутри твердого тела связанность и ограниченность движения электронов характеризуются потенциальной энергией. Энергию связывания условно считаем отрицательной. Поэтому кинетическая энергия электронов отсчитывается от энергии связи электронов. Пол-

68

ная энергия электрона отсчитывается от нулевого уровня вакуума. Она для всех электронов твердого тела отрицательна, то есть все электроны связаны решеткой атомов. Полная энергия электрона с кинетической

энергией Ферми равна E = Eпот + Eкин = - e . + F = – EF, называется энергией уровня Ферми и по знаку отрицательная. Энергия уровня

Ферми EF есть энергия связи электрона с твердым телом, а энергия Ферми F – максимальная кинетическая энергия электронов при абсолютном нуле температуры. При удалении электрона с уровня Ферми в вакуум совершается работа, равная е = – EF . Работа как затрачиваемая энергия принята условно положительной величиной. Работу е называют работой выхода электрона с поверхности твердого тела. При повышенной температуре валентные электроны получают дополнительную к начальной тепловую энергию и переходят в свободные квантовые состояния зоны проводимости. Получив дополнительную энергию, энергия электронов может достигать и положительных величин E = – EF + ET = – e . + F + (3/2) kT > 0. В общем случае электрон возбуждается не только с уровня Ферми, но и с любого другого энергетического уровня E = – e . + Eкин + (3/2) kT > 0. Выход электронов за пределы твердого тела скорее происходит с энергетических уровней зоны проводимости, то есть уже возбужденных электронов. Так как средняя тепловая энергия равна (3/2) kT, то возбуждаемый слой оказывается при температуре 2500 0С равным по энергетической ширине (3/2) · 8.625·10 – 5 ·2800 = 0.36 эВ под уровнем Ферми и на такую же ширину над ним. Многоступенчатое возбуждение на ширину зоны проводимости, например, вольфрама е = 4,5 эВ происходит в результате взаимодействия электронов проводимости между собой и формирования свободного электронного газа зоны проводимости с энергетическим распределением Максвелла – Больцмана. Заметим, что в валентной зоне распределение электронов по энергиям формируется по другим начальным условиям – условиям распределения Ферми – Дирака. Использование энергетических распределений в построении теории поведения электронов в твердом теле и эмиссии электронов из твердого тела определило уравнения для расчета эмиссии с обобщенными статистическими и квантовыми параметрами как температура, работа выхода электрона, коэффициент прозрачности потенциального барьера поверхности.

69

12. Импульсное пространство и образование зон

Для упрощения решения уравнения Шредингера шестимерное конфигурационное пространство упрощают до трехмерного импульс-

имеет свой отличительный импульс с неопределенностью по величине,

неопределенности по координате в размере кристалла. Дальнейшим решением уравнения Шредингера для свободных и слабосвязанных электронов с использованием условия трансляционной симметрии, повторения свойств электронного газа в целом от ячейки атомов к ячейке получается периодически изменяющаяся пространственная составляющая пси-функции по всему кристаллу. Это указывает, со-

70

гласно Борну и Бору, на местонахождение электрона во всем пространстве кристалла. Однако как видно из упрощений, результат теории о локализации электрона на основе решения уравнения Шредингера о «размазанности» ψ-функции электрона по всему кристаллу следует считать результатом не физического характера, а следствием упрощенных начальных условий, частности, условия (12.1).

Как отмечено выше, интерпретация любого результата квантовой теории на основе классической физики приводит по меньшей мере к противоречию, а чаще к принципиальному расхождению. Такие расхождения объясняются некорректностью применения законов классической физики к объектам микромира, считаемым квантовыми объектами.

Основополагающие принципы квантовой теории были разработаны в 1926 году за 1.5 года в двух разных математических формах, согласующихся по результатам, а потом совершенствовались почти сто лет. Тем не менее, квантовая теория остается внутренне противоречивой по принципиальным вопросам и при изучении кванто- во-механических приложений к практике всегда возникают противоречия и трудности. Они возникали у самих разработчиков квантовой механики, они возникают у изучающих теорию.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул предположение о дуализме микрочастиц и предложил формулу длины волны движущейся микрочастицы, в том числе электрона. В 1925-26 годах Эрвин Шредингер разработал основу квантовой волновой механики, получил волновое уравнение для электрона на основе формулы де Бройля и применил его для решения задачи с осциллятором Планка (осциллятор Планка – криволинейно движущаяся микрочастица) с применением многочленов Эрмита. В этот же период Вернер Гейзенберг (и группа: Паскуаль Йордан, Вольфганг Паули, Макс Борн, Нильс Бор) и отдельно от них Поль Дирак разработали квантовую матричную механику с использованием математического аппарата Гамильтона на основе четырехмерных комплексных чисел, называемых кватернионами Гамильтона. Результаты обеих теорий совпали. Это была и конкуренция теорий и их триумф. Окончательно адекватность квантовой физики (волновой механики Шредингера + матричной механики группы Гейзенберга) экспериментально подтвердили в 1927 году Дэвиссон и Джермер опытами по дифракции медленных электронов на монокристалле никеля (см. раздел 4). Примечательно, что монокристалл никеля в приборе получился из поликристалла случайно в результате аварии с нагретым стеклянным вакуумным прибором.

Дифракционные картины современного вида (рис. 6.2) были по-