Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

Крон Р. В., Попова С. В.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Ставрополь «АГРУС»

2018

УДК 519.2 ББК 22.171 К83

Крон Р. В., Попова С. В. Элементы теории К83 вероятностей: учебное пособие /

– Ставрополь: АГРУС, 2018. – 100 с.

Учебное пособие входит в серию методических разработок, способствующих овладению студентами теоретическими основами материала и появлению у них навыков решения задач по основным разделам курса математики.

Предназначена для использования во время практических занятий и в качестве задачника для самостоятельной работы и контроля знаний студентов.

УДК 519.2 ББК 22.171

© Авторский коллектив, 2018 © ФГБОУ ВО Ставропольский государственный аграрный университет, 2018

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Правило сложения. Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект B можно выбрать n способами, то выбор « A или B » можно осуществить m n способами.

Пример 1. От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 4, а во втором – 3. Сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?

Решение. Так как пути от Октябрьской площади до цирка взаимно исключают друг друга, то применим правило сложения.

Тогда число таких дорог равно 4 + 3 = 7.

Правило умножения. Пусть некоторый выбор требует выполнения одного за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1

способами, второе (после него) – n2 способами, третье – n3 способами и так до k -го действия, которое можно выполнить nk способами (после выполнения

предыдущих k 1 действий), то все k действий в указанном порядке можно выполнить n1 n2 ... nk способами.

Пример 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

1)ни одна цифра не повторяется больше одного раза в записи числа;

2)цифры в записи числа могут повторяться;

3)цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечетным.

Решение.

а) Первой цифрой при этом может быть любая из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не может быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырехзначное). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5

способами, третья – 4 способами, четвертая – 3 способами. Согласно правилу произведения общее число способов равно 5 5 4 3 300.

б) Для первой цифры имеем 5 возможностей (1, 2, 3, 4, 5), для каждой из

следующих цифр – 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Следовательно, общее количество чисел равно 5 6 6 6 1080.

в) Первой цифрой может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5, а последней – 1, 3, 5. Следовательно, общее количество чисел равно 5 6 6 3 540.

Соединениями называются различные группы, составленные из какихлибо предметов и отличающиеся одна от другой либо предметами, либо их порядком.

Предметы, из которых составлены соединения, называются элементами

иобозначаются буквами латинского алфавита.

К соединениям относятся:

–перестановки,

–размещения,

–сочетания.

3

Перестановки без повторений.

Перестановками называются такие соединения, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются друг от друга только их порядком.

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду. Число перестановок обозначается Pn (читается «P из n »).

Определяется по формуле Pn n!.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется

«n-факториалом» 1 2 3 (n 2)(n 1)n и обозначается n!.

По определению:

1! 1, 2! 1 2 2, 3! 1 2 3 6, , n! 1 2 3 (n 2)(n 1)n .

Принято считать: 0! 1.

Пример 3. Сколько существует вариантов замещения 5-ти различных вакантных должностей 5-ю кандидатами?

Решение. Так как распределяются пять кандидатов по пяти должностям, то имеем перестановки без повторений: Pn 5! 1 2 3 4 5 120 (вариантов).

Ответ. Существует 120 вариантов.

Перестановки с повторениями.

Соединения из n элементов, среди которых есть п1 элементов первого

Пример 4. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?

Решение. Буква «м» встречается в слове 2 раза, буква «а» – 3 раза, буква «т» – 2 раза, буквы «е», «и», «к» – по 1 разу. Следовательно, число слов – это число перестановок с повторениями:

Ответ. Переставляя буквы слова «математика», можно составить 151200 различных «слов».

Пример 5. Друзья в количестве 23 человек собираются отправиться в путешествие на собственных машинах: двух пятиместных, одной семиместной и трех двухместных. Сколько существует способов их размещения по машинам, если каждый из них умеет водить машину?

4

Решение. Так как нужно разместить всех друзей по машинам, то это перестановки. Но они могут разместиться по шести машинам разной вместимости, тогда это перестановки с повторениями.

Размещения без повторений.

Размещениями называются такие соединения, которые составлены из n элементов по m в каждом и отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком.

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений:

1)Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2)Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается Anm (читается «А из n по m »).

Вычисляются по формуле Anm (n n!m)!.

Одно размещение из n элементов по m элементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.

В задачах о размещениях полагается m n. В случае, если m n , то легко получить Anm Pn n!.

Пример 6. Сколькими способами можно составить расписание для одной группы на один день из 10 предметов по три неповторяющиеся пары?

Решение. По условию n 10, m 3, при этом каждое новое расписание

будет отличаться от ранее составленного расписания либо названием предмета, либо временем его проведения. Тогда:

Ответ. Существует 720 способов.

Пример 7. Сколько существует различных вариантов выбора четырех кандидатур из девяти специалистов для поездки в 4 различные страны?

Решение. Так как составляемые соединения отличаются друг от друга, как самими элементами, так и их порядком, то это размещения без повторений.

5

Ответ. 3024 варианта.

Размещения с повторениями.

Соединения из m элементов n – элементного множества, отличающиеся друг от друга, как порядком элементов, так и самими элементами, среди которых могут быть одинаковые, называются размещениями с повторениями.

Вычисляются по формуле Аnm nm .

Пример 8. Группа из 25 студентов сдает экзамен. Возможные оценки: 2, 3, 4, 5. Сколькими способами может быть заполнена экзаменационная ведомость?

Решение. Для каждого студента выбирается одна оценка из четырех, всего выбор делается 25 раз. Возможны повторения, так как каждая оценка может быть выбрана любое количество раз. Порядок важен, так как он показывает, какому именно студенту достается выбранная оценка. Следовательно, число способов есть число размещений с повторениями из 4 по

25: A254 425 1,126 1015 .

Ответ. Экзаменационная ведомость может быть заполнена 1,126·1015 способами.

Пример 9. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита {а, б, к, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв. Сколько можно составить слов из четырех букв?

Решение. Число элементов множества, равновероятных исходов равно числу размещений с повторениями из 5 элементов по 4, то есть А54 54 625.

Ответ. Можно составить 625 слов.

Сочетания без повторений.

Сочетаниями называются такие соединения из n элементов по m в каждом, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний:

1)Сколько существует вариантов выбора 6-ти человек из 15 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

2)Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

Обозначаются Сnm (читается «C из n по m »).

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Пример 10. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из группы 20 человек на профсоюзную конференцию?

Решение. Необходимо выбрать три человека. Такие «тройки» будут различаться составом (порядок роли не играет). Так как получаемые соединения отличаются друг от друга только самими элементами (людьми), то это сочетания без повторений, где n 20, m 3.

(способов).

Ответ. 1140 способов.

Сочетания с повторениями.

Соединения из m элементов n – элементного множества, отличающиеся друг от друга только самими элементами, среди которых есть повторяющиеся,

называются сочетаниями с повторениями.

Пример 11. В кафе имеется мороженое 9 сортов. Поступил заказ на 13 порций мороженого. Сколькими способами можно выполнить этот заказ?

Решение. Из общего числа сортов мороженого n 9 составляется заказ из m 13 порций. Такой заказ может отличаться только сортами мороженого, но при этом они могут повторяться. Поэтому применим формулу сочетаний с повторениями.

Следовательно, заказ можно выполнить 203490 способами.

Схема решения комбинаторных задач

При решении комбинаторных задач следует ответить на следующие вопросы:

1.Из какого множества осуществляется выбор (надо найти n )?

2.Что требуется: расставить все в ряд (перестановки P ) или выбрать часть (найти m )?

3.Важен ли порядок? Если порядок важен, то применяем формулу размещений, если нет – формулу сочетаний.

4.Возможны ли повторения?

7

Пример 13. В фортепианном кружке занимается 10 человек, в кружке художественного слова – 15, в вокальном кружке – 12 и в фотокружке – 20. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа?

Решение. Разобьем задачу на подзадачи.

1. Сначала найдем, сколькими способами можно выбрать чтецов: а) производим выбор из 15 человек, тогда n 15;

б) выбираем 4 человек, следовательно m 4;

в) порядок не важен, тогда используем правило сочетаний; г) сочетания без повторений, так как люди выбираются разные:

Поскольку выбор производится по всем четырем позициям, а не по одной, применяем правило произведения:

С154 С103 С125 С201 1365 120 792 20 2,595 109

Ответ. Бригаду можно составить 2,595 109 способами.

Пример 14. Риэлторская фирма предлагает на продажу 5 элитных квартир и 4 квартиры бизнес-класса. Банк намеревается купить 4 квартиры, причем среди них не должно быть более двух бизнес-класса. Сколько вариантов выбора имеет банк?

Решение. Банк может купить 4 элитные квартиры. У него есть возможность выбрать 4 из 5-ти предлагаемых квартир, и число вариантов здесь

квартиры и одну бизнес-класса, то число вариантов выбора у него будет равно

решение купить две квартиры бизнес-класса и две элитные квартиры, то число вариантов будет равным C42 C52 60.

По правилу сложения С54 С41 С53 С42 С52 5 40 60 105. Ответ. У банка есть 105 вариантов выбора.

8

Задачи для решения в аудитории

1.Директор фирмы составил список из 5-ти человек, которых он может назначить на вакантную должность своего заместителя, и список из 4-х человек, которых он может назначить на вакантную должность главного бухгалтера. Сотрудник Иванов вошел в оба списка. Других пересечений в этих списках не оказалось. Сколько вариантов заполнения двух вакантных должностей имеет директор?

2.Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

3.Из пяти заводов организация должна выбрать два для размещения двух различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

4.Сколькими способами можно выбрать делегацию из пяти человек на студенческую конференцию от группы в 25 человек?

5.При встрече сотрудники обменялись рукопожатиями. Сколько было сотрудников, если этих рукопожатий оказалось 78?

6.Автокомбинат имеет 7 автомобилей малой грузоподъемности и 10 большегрузных автомобилей. Необходимо выбрать 3 автомобиля малой грузоподъемности для обслуживания трех торговых организаций и 5 большегрузных автомобилей для работы на стройке. Сколькими способами автокомбинат может осуществить свой выбор?

7.Автокомбинат получил заявку от строительной фирмы на 5 тяжелых грузовиков для работы на стройке. Тяжелый грузовик можно заменить двумя легкими грузовиками. На автокомбинате в настоящий момент имеется 5 свободных тяжелых грузовиков и 5 свободных легких грузовиков. Сколько вариантов составления колонны грузовиков для работы на стройке имеет автокомбинат? (Учесть, что каждая машина закреплена за своим шофером.)

8.Сколько нужно взять элементов, чтобы число всех перестановок из этих элементов было меньше 400?

9.Для полета на Марс необходимо укомплектовать экипаж космического корабля, в составе которого есть командир, первый помощник, второй помощник, два бортинженера и одна медсестра. Командующую тройку выбирают из 13 человек, бортинженеров из 9 человек, медсестру из 5 женщин. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

10.У клоуна цирка в руках 11 воздушных шариков различного цвета, которые он может произвольным образом подарить 8 зрителям. Сколькими способами можно это сделать?

11.Сколько различных раскладов можно получить, раздавая колоду из 36 карт шести игрокам?

12.Группа из 25 человек вышла с экзамена. В отчете показано, сколько и каких оценок было получено. Сколькими способами может быть составлен отчет?

13.Решить уравнение 5Cx3 Cx4 2 .

9

10