Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие
.pdfРОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. КАНТА
А.А. Юрова А.В. Юров
ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ КОСМОЛОГИИ И ТЕОРИИ БРАН
Рекомендовано Редакционно-издательским советом РГУ им. И. Канта в качестве учебного пособия
Издательство Российского государственного университета им. И. Канта
2005
УДК 22.632.9я73 ББК 524.83(07)
Ю78
Рецензент Чарльз Ли, профессор Университета Миссури (США)
Юрова А.А., Юров А.В.
Ю78 Элементы современной космологии и теории бран: Учебное пособие. — Калининград: Изд-во РГУ им.
И. Канта, 2005. — 78 с. ISBN 5-88874-647-9.
Пособие посвящено обсуждение современных проблем космологии, включая элементы теории бран. Предназначено студентам и аспирантам физических и математических специальностей, знакомых с элементами общей теории относительности, теории поля и квантовой механики. Может быть рекомендовано преподавателям, читающим курс «Космология».
УДК 22.632.9я73 ББК 524.83(07)
ISBN 5-88874-647-9 |
© А.А. Юрова, А.В. Юров, 2005 |
© Издательство РГУ им. И. Канта, 2005 |
Оглавление |
|
Предисловие ............................................................................ |
4 |
Глава1. Построениеинтегрируемыхмоделейвметрике |
|
Фридмана— Леметра— Робертсона — Уокера... |
22 |
Введение ............................................................................. |
22 |
Точно решаемые космологии ........................................... |
24 |
Постановка задачи ............................................................. |
28 |
Простейшая модель ........................................................... |
32 |
Преобразование Дарбу ...................................................... |
37 |
Заключение ......................................................................... |
42 |
Глава 2. Общие решения уравнений Эйнштейна |
|
и энергетические условия .................................... |
45 |
«Фантомная космология» ................................................. |
45 |
Список возможных объяснений ....................................... |
49 |
Глава 3. Теория бран ............................................................. |
56 |
Постановка задачи ............................................................. |
56 |
Преобразование Дарбу и условия сшивки ...................... |
60 |
Однократное одевание RS-браны ..................................... |
65 |
Развитие метода ................................................................. |
68 |
Заключение ............................................................................. |
76 |
Список рекомендуемой литературы .................................. |
77 |
|
3 |
Предисловие
Существуют ли другие копии Вас, кто читает эти строки, но принял решение оставить чтение, не дойдя до конца данного предложения, тогда как Вы все-таки дочитали его? Люди, живущие на планете, называемой Землей, с горами, среди которых есть Гималаи, с плодородными полями, растущими городами (среди которых есть Лондон и Москва)? Люди, живущие в Солнечной системе, содержащей еще восемь планет? Жизнь этих людей совпадает с Вашей во всех отношениях, до того мгновения, когда Вы приняли решение дочитать первое предложение до конца, решение, свидетельствующее, что Ваша жизнь и жизни этих «копий» стали различаться? Вероятно, эта картина покажется Вам странной и невозможной, и как раз таковой была первая реакция и авторов этих строк. Тем не менее именно это предсказывает простейшая и наиболее популярная сегодня космологическая модель, причем согласно этой модели вышеупомянутые персоны живут в галактике,
находящейся приблизительно на расстоянии 101029 метров от нас. Для того чтобы сделать столь странное предсказание, вовсе не требуются какие-то необоснованные предположения о структуре физических законов. Напротив, достаточно принять два обстоятельства: (1) вселенная пространственно бесконечна и (2) она однородно заполнена веществом. При этом последнее подтверждается всеми астрономическими наблюдениями, включая самые последние, сделанные с использованием орбитальных телескопов. Существование вашего alter ego является простым следствием (или предсказанием) так называемой модели коркоданс (concordance), которая нахо-
4
Предисловие
дится в согласии со всеми известными астрономическими наблюдениями, расчетами и компьютерными симуляциями. В отличие от космологического коркоданса, другие модели, такие как фрактальная вселенная, замкнутая или многосвязная вселенная, сталкиваются с серьезными проблемами при сравнении теоретических предсказаний с данными наблюдений.
Наибольшее расстояние, которое в принципе можно наблюдать, составляет примерно 14—15 миллиардов световых лет, поскольку столько лет назад произошел Большой взрыв, послуживший началом нашей вселенной. В метрах это состав-
ляет примерно 4 1026 , и сфера с таким радиусом, в центре которой находимся мы, определяет так называемую видимую вселенную, иначе называемую хаббловским объемом. Аналогично вселенная одного из Ваших вышеупомянутых двойников имеет такой же размер, с центром в другой точке и не имеет никакого физического контакта с нашей вселенной. Это простейший (но не единственный) пример «параллельных вселенных». Наша наблюдаемая вселенная оказывается лишь малой частью колоссальной структуры, называемой мультиверсом. Представление о мультиверсе может показаться метафизическим, однако следует помнить, что граница между физикой и метафизикой определяется, в конечном счете, экспериментальной тестируемостью теории, а вовсе не наличием странных или даже ненаблюдаемых сущностей. Развитие физики, во многом связанное с колоссальным увеличением технологических возможностей в области эксперимента, постоянно сдвигает фронт физической науки в область все более абстрактных (и даже противоинтуитивных) концепций, таких как вращение Земли вокруг своей оси и Солнца, электромагнитное поле, замедление времени при больших скоростях, квантовая суперпозиция, искривленное пространство и черные дыры. Также становится все яснее, что существование мультиверса, вытекающее из базовых (по-видимому, неопровержимых) физических принципов, может быть эмпирически протестировано или фальсифицировано по Попперу. В на-
5
Предисловие
стоящее время вопрос ставится даже не о том, существует мультиверс или нет, а скорее, сколько уровней он допускает.
Вернемся к нашим удаленным двойникам. Если пространство бесконечно и распределение материи достаточно однородно на больших масштабах, то даже самые маловероятные события должны где-то происходить. В частности, есть бесконечно много других населенных планет, включая планеты, населенные людьми, обладающими той же внешностью, именем и памятью, что и Вы. Это проистекает из того, что существует множество других областей того же размера, что и наш хаббловский объем, в которых реализуются все возможные сценарии развития событий! Этот уровень мультиверса принято называть Первым уровнем.
На первый взгляд такое заключение выглядит не только противоинтуитивно, но и попросту неверно. Однако мы хотим подчеркнуть, что оно является неизбежным следствием простейшей и наиболее общепризнанной современной космологической модели1. Для того чтобы объяснить эти странные заключения, кратко рассмотрим статус двух уже упоминавшихся выше предположений: пространственная бесконечность вселенной и достаточно однородное распределение вещества.
Насколько велика вселенная? Наблюдаемая нами нижняя граница постоянно растет, причем нет никаких указаний на то, что где-то скрывается верхняя граница. Все мы соглашаемся с существованием вещей, невидимых для нас в данный момент, но которые мы могли бы увидеть, двигаясь в нужную сторону или просто подождав некоторое время (как это происходит с кораблем, движущимся по направлению к нам, но находящимся ещё за линией видимого горизонта). Объекты, находя-
1 Кстати сказать, эта модель возводит в ранг закона природы одну из тех ересей, за которую Ватикан казнил Джордано Бруно в 1600 году. Идеи Бруно были фактически реанимированы и представлены в законченной и утонченной форме в работах физиков Брандрита
(Brundrit); Гарриги (Garriga) и Виленкина (Vilenkin), Эллиса (Ellis).
К счастью, никому из них костер теперь не грозит!
6
Предисловие
щиеся за пределами космологического горизонта событий, имеют тот же статус, так как размер хаббловского объема очевидно возрастает на один световой год с каждым прошедшим годом2. В школе все изучали геометрию Евклида и по этой причине нам трудно представить себе не-бесконечное пространство, пространство, содержащее границу типа «Конец пространства: посторонним вход запрещён». В действительности эйнштейновская общая теория относительности (ОТО) допускает существование замкнутых вселенных, например, вселенных с топологией четырехмерной сферы, в которых наблюдатель, в принципе, может, вылетев из заданной точки, вернуться назад, летя при этом постоянно в одном направлении (в его системе отсчета). Вообще говоря, справедливость таких моделей можно проверить, используя наблюдения за реликтовым излучением. Проведенные исследования в настоящее время не подтверждают факта замкнутости вселенной. Точнее, пока все известные факты достаточно уверенно свидетельствуют о том, что мы живем в плоской вселенной, которая, как это следует из уравнений Эйнштейна, должна быть бесконечной. Дополнительным аргументом в пользу бесконечности вселенной является то, что именно эта модель предсказывает космологическую инфляцию. Колоссальный успех инфляционной космологии служит веским основанием верить, что вселенная и в самом деле бесконечна и плоска, чему нас и учили в школе!
Теперь рассмотрим вопрос об однородности распределения вещества во вселенной. Раньше существовала (и даже была популярна) так называемая «островная модель», согласно которой пространство бесконечно, но вся материя сконцентрирована в некоторой конечной области. В частности, в начале XX века с таким «островом» ассоциировалась видимая
2 Как свидетельствуют современные наблюдения, вселенная не просто расширяется, а делает это с ускорением. Если причиной ускорения является ненулевая космологическая постоянная, то размер хаббловского объема «скоро» перестанет расти.
7
Предисловие
часть нашей Галактики — Млечный Путь. Другая любопытная альтернатива — это теория фрактальной вселенной, в которой распределение материи носит самоподобный характер и все когерентные структуры в распределении наблюдаемых галактик повторяются в больших масштабах в когерентной структуре, частью которой они являются. И «островная» и фрактальная модели были недавно отвергнуты посредством тщательного анализа известных наблюдений, а также в свете новых данных, полученных с помощью орбитальных космических телескопов. Построенные карты трехмерных галактических распределений показали, что наблюдаемая трехмерная крупномасштабная структура (группы галактик, кластеры, суперкластеры и т. д.) демонстрирует унылую однообразность, т. е. отсутствие когерентных структур на масштабах больших,
чем 1024 метров. Точнее, наблюдения показали, что отклонения от средней величины массы, заключенной в сфере радиуса
1023 метра, составляет менее одного процента, а в сфере ра-
диуса 1027 метра отклонение не превышает одной тысячной процента! Таким образом, современные наблюдения однозначно утверждают, что вселенная продолжается и за пределы нашего хаббловского объема, причем там она по-прежнему заполнена галактиками, звездами и планетами.
Есть несколько способов того, как получить отсюда вышеупомянутую сюрреалистическую картину вселенной, заполненной нашими двойниками. Первый способ основан на гипотезе эргодичности. Как известно, физическая задача определяется уравнениями динамики и начальными условиями. Согласно современным представлениям начальные условия в ранней вселенной, приведшие к наблюдаемой структуре космоса, были фиксированы квантовыми флуктуациями во время инфляции. Эти флуктуации порождают флуктуации в плотности, которые оказываются эргодически случайными полями. Эргодичность означает, что если вообразить ансамбль вселенных (точнее, хаббловских объемов) со случайно распределенными начальными условиями, то вероятностное распределе-
8
Предисловие
ние исходов в данном объеме совпадает с распределением, полученным случайным выбором объема из всех возможных. Другими словами, при наличии эргодичности все, что может, в принципе, произойти, на самом деле где-то происходит.
Более изящен второй способ, предложенный Виленкиным и использующий так называемое ограничение Бекенштейна. Суть его сводится к следующему: количество информации, которое может содержаться внутри объема, не может превышать площадь этого объема, умноженную на некоторую постоянную, общую для всех возможных объемов3. Можно легко пояснить, откуда берется ограничение Бекенштейна. Рассмотрим квантовую, одномерную (для простоты) систему. Неразличимые квантовые состояния лежат в ячейках, меньших, чем произведение неопределенности координаты на неопределенность импульса, поэтому общее число различных квантовых состояний получается делением всего фазового объема на размер такой ячейки. Так как (в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга) размер последней не может быть меньше постоянной Планка, размер полного числа квантовых состояний не может быть больше фазового объема PR (где P — импульс, а R — координата), деленного на постоянную Планка. В свою очередь информация — в простейшем случае, когда все исходы равновероятны, — равна логарифму по основанию два от этого числа4. Так как при больших N логарифм от N меньше N, мы можем в качестве верхнего предела (причем с колоссальным запасом) использовать само это число, а не логарифм от него. На следующем шаге надо вспомнить, что в релятивистской теории импульс P всегда меньше (либо равен — для безмассовых полей) энергии E, деленной на скорость света. Но энергия пропорциональна мас-
3Иногда это ограничение называют голографическим принципом, имея в виду, что вся информация внутри данного объема может быть полностьюзакодировананаповерхности, ограничивающейэтотобъем.
4Если не все исходы равновероятны, то следует использовать формулу Шеннона, но это не меняет наших выводов.
9
Предисловие
се ( E = mc2 ), а значит, число возможных состояний не больше некоторой константы, умноженной на размер исследуемого объема R и на его массу. Наконец, следует учесть, что масса объема при заданном R не может быть сколь угодно велика, ее максимально допустимое значение пропорционально R, поскольку при бóльших массах начнется гравитационный коллапс. Окончательно получаем, что число допустимых, физически различимых квантовых состояний оказывается равным некоторой константе (являющейся комбинацией скорости света, постоянной Планка и гравитационной постоянной), умноженной на квадрат радиуса R, что и требовалось доказать. Во избежание недоразумений отметим, что вышеприведенный вывод не является строгим, однако можно сделать все строго, если использовать мощный математический аппарат квантовой теории поля, что, впрочем, выходит за рамки этой книги.
Ограничение Бекенштейна легко позволяет понять, откуда берутся «двойники». В силу этого ограничения число начальных условий, приводящих к разным динамическим конфигурациям в заданном хаббловском объеме, — конечно. Виленкин
в 2002 году оценил его в e10200 ! Это, безусловно, колоссальное, но конечное число. Таким образом, число всех возможных «историй» внутри данного хаббловского объема — конечно, тогда как число всех хаббловских объемов в бесконечной (ибо плоской) вселенной — бесконечно. Это означает, что если начать перебирать хаббловские объемы один за другим, то рано или поздно мы переберем все объемы с разными историями, после чего начнутся повторения. Другими словами, все возможные истории, всё, что могло произойти в нашем мире, но почему-то не произошло, — где-то происходит. Кроме того, существует бесконечно много одинаковых миров, буквально совпадающих с нашим, а также миров, лишь чуть-чуть отличающихся от нашего, и т.д. Грубые оценки показывают, что ближайшие к вам
ваши же двойники находятся на расстоянии примерно 101029 метров от вас. На расстоянии 101091 метров располагается сфера
10