Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие
.pdf
Предисловие
радиусом 100 световых лет, такая, что для всех ее обитателей в течение 100 ближайших лет все произойдет в точности, как у
нас вплоть до 2100 года. Наконец, на расстоянии 1010115 метров должен располагаться ближайший хаббловский объем, полностью идентичный нашему.
Одним из интересных следствий описанной картины является то, что если наличествует множество «вас» — с одинаковой памятью и прошлой жизнью, но с разным будущим, — то вы в принципе не способны вычислить ваше будущее даже при условии, что вся полная история космоса вам известна! Происходит это потому, что нет никакого способа определить, какая из этих «копий» действительно «вы». Лучшее, что можно сделать, — это вычислить вероятность того или иного события, используя базовое предположение о том, что вы — типичный наблюдатель. Такая методика широко практикуется в современной космологии и лежит в основе вычислений с использованием так называемого антропного принципа.
Как видим, все эти объемы лежат за пределами нашего горизонта событий, поэтому, согласно специальной теории относительности (СТО), невозможна причинная связь с нашими «двойниками». Но как же тогда проверить справедливость этой поразительной картины?! Не превращается ли космология в разновидность философии? Ответ: нет, не превращается. Наличие мультиверса можно проверить с помощью уже упоминавшегося антропного принципа. Самым ярким примером является проблема космологической константы. Поясним это.
Космологическую константу (иначе Λ-член) ввел в свои уравнения Эйнштейн для того, чтобы получить решение, описывающее стационарную вселенную. Дело в том, что ускорение масштабного фактора (т.е. величины, пропорциональной расстоянию между любыми галактиками) пропорционально со знаком минус сумме плотности вещества, заполняющего вселенную плюс утроенное давление этого же вещества, деленного на квадрат скорости света. Если считать, что во вселенной имеется положительная космологическая постоянная, то
11
Предисловие
оказывается, что соответствующая плотность положительна, а давление отрицательно и равно со знаком минус этой плотности, умноженной на квадрат скорости света. В результате вселенная должна расширяться с ускорением (это так называемая модель Деситтера). Это ускорение понадобилось Эйнштейну для компенсации притяжения, вызываемого всем остальным, обычным, веществом вселенной, с целью получить статическую модель, поскольку именно такой, вечной и неизменной, она ему виделась. После открытия расширения вселенной от Λ-члена отказались, тем более что наблюдения вроде бы показывали расширение с отрицательным ускорением. На том всё на время и успокоилось.
Следующий шаг в реанимации космологической постоянной сделали теоретики, специалисты по физике элементарных частиц. В теории Вайнберга — Глэшоу — Салама фундаментальную роль играет механизм спонтанного нарушения симметрии. Считается, что первоначально все поля, описывающие элементарные частицы, были безмассовыми, однако полный лагранжиан должен был содержать скалярное поле (или набор скалярных полей) со специальным потенциалом, обладающим несколькими минимумами (а в моделях с непрерывной симметрией — и бесконечным числом). Такие потенциалы, называемые хиггсовскими, спонтанно нарушают симметрию, поскольку имеет место следующая странная ситуация: лагранжиан (или гамильтониан) инвариантен относительно некоторой симметрии, а основные состояния — нет: они перемешиваются этими симметриями. Если теперь считать, что эта симметрия локальна (т. е. параметры группы симметрий являются произвольными функциями координат и времени), то в теории появляются векторные калибровочные поля, которые описывают бозоны — переносчики взаимодействий. Эти поля тоже безмассовы (иначе нарушится калибровочная инвариантность), но, поскольку они взаимодействуют с хиггсовскими скалярными полями, оказывается, что у них появляется масса как артефакт спонтанного нарушения симметрии. Величина скалярного поля (или скалярных полей) в фиксированном ми-
12
Предисловие
нимуме называется конденсатом. Заметим, что конденсаты обнаружены в эксперименте. В частности, существует так называемый кварк-глюонный конденсат. Этот конденсат не является хиггсовским, но тем не менее факт наличия массивных глюонов служит веским аргументом в пользу существования хиггсовских полей.
Далее: оказывается, что наличие хиггсовского конденсата при учете гравитации приводит к наличию ненулевой энергии вакуума. Эта энергия появляется в уравнениях Эйнштейна как раз в виде того самого Λ-члена. Таким образом, у теоретиков возникла возможность рассчитать величину космологической постоянной, исходя из базовых принципов! Ответ оказался обескураживающим: величина космологической постоянной, полученная из этих расчетов, оказалась необычайна велика! Загвоздка в том, что во Вселенной, содержащей Λ-член такой величины, вообще не было бы ни одной галактики! Происходит это по следующей причине: по мере расширения вселенной плотность всего обычного вещества (включая излучение) падает, в то время как плотность вакуумной энергии остается неизменной. Поэтому настает такой момент, когда Λ-член начинает доминировать и вселенная не просто расширяется, а делает это с растущим ускорением. Если это произойдет до того, как вследствие гравитационной неустойчивости возникнут первые галактики, то галактики уже не сумеют образоваться — ускоренное расширение вселенной предотвратит конденсацию вещества. Поэтому существование галактик совместимо лишь с очень маленькой величиной Λ-члена. Расчет показал, что эта величина должна быть примерно на сто (!) порядков меньше той, что вычислили теоретики! Так возникла проблема космологической постоянной. Какое-то время теоретики надеялись, что фундаментальная теория элементарных частиц (теория струн, или, как теперь говорят, М-теория) предскажет, что величина Λ будет в точности равна нулю. Надежды эти основывались на том, что теории струн обладают чрезвычайно обширными группами симметрий. Теоретики надеялись, что этих симметрий «хватит» для того, чтобы об-
13
Предисловие
нулить космологическую постоянную5. Однако обнаружение (с помощью космических телескопов) ускорения вселенной фактически однозначно похоронило эти надежды: Λ-член действительно есть и он на самом деле поразительно мал6. Ясно,
что если наблюдаемая величина в 10100 меньше величины, предсказываемой теорией, то с теорией что-то «не в порядке». Заметим, что несравнимо меньшее расхождение теории с экспериментом в опытах по обнаружению «эфирного ветра» (Майкельсон — Морли) привело к специальной теории относительности. Учитывая колоссальное расхождение теории и эксперимента в случае космологической постоянной, можно, казалось бы, прийти к выводу, что мы находимся на грани научной революции!
Так вот: это неверно. Используя антропный принцип (т. е. гипотезу о мультиверсе) крупнейший космолог Алекс Виленкин фактически предсказал ту величину космологической постоянной, которую мы наблюдаем! Суть рассуждений Виленкина такова: представим себе бесконечное множество хаббловских объемов, в которых наличествует ненулевая вакуумная энергия, причем с огромной плотностью — той самой, какую вычислили теоретики из первых принципов. Современная теория поля (и струн) предсказывает наличие целого набора скалярных полей. Рассмотрим одно из таких полей, генерирующее ненулевой конденсат, который будем обозначать ϕ. Величина ϕ считается постоянной и одинаковой во всем
хаббловском объеме (так как это лоренцевский скаляр), но
5Примером может служить масса фотона, которая, как известно, равна нулю. Если записать лагранжиан какого-нибудь безмассового поля (например, скалярного), то окажется, что учет квантовых поправок приведет к появлению у него массы. С фотоном этого не происходит, потому что группы локальных калибровочных симметрий оказывается достаточно, чтобы не допустить появления у фотона ненулевой массы. Нечто подобное и хотели сделать с Λ-членом.
6Его плотность составляет примерно семь десятых от критической
плотности, т.е. от 10−29 грамм, деленных на кубический сантиметр.
14
Предисловие
разной в разных хаббловских объемах. Это предположение понятно и разумно: величина ϕ обозначает одну из точек ми-
нимума хиггсовского потенциала, причем годится любая. Поэтому в разных хаббловских объемах будут реализовываться разные величины скалярного конденсата. Это означает, что величину ϕ дóлжно рассматривать как случайную величину,
используя теорию случайных процессов. Математическая теория стохастических процессов непроста, и мы ограничимся лишь качественным пояснением результата Виленкина.
Так как величина ϕ случайна, то в некоторых (немногих)
хаббловских объемах она может полностью скомпенсировать величину космологической постоянной. В несколько большем числе объемов она скомпенсирует эту величину не полностью и т. д. В любом случае, в большинстве хаббловских объемов величина Λ остается большой. Но мы можем обнаружить себя лишь в объемах с Λ, не большей некоторого малого критического значения, при котором возможно образование галактик, поэтому мы должны ограничиться лишь такими — благоприятными для жизни — объемами, проигнорировав все остальные (как сказал Зельманов: «Мы являемся свидетелями процессов определенного типа, потому что процессы другого типа проходят без свидетелей»). Теперь следует задать вопрос: каких хаббловских объемов, совместимых с возникновением галактик, должно быть больше всего — ведь именно в одном из таких объемом мы и должны себя обнаружить. Виленкин проделал аккуратные вычисления и показал, что большинство таких, «хороших», объемов будут отвечать величине эффективной космологической постоянной (т.е. Λ + ϕ) примерно
равной критической плотности. Напомним, что наблюдения дают 0,7 от этой величины. Таким образом, факт наличия мультиверса получил первое экспериментальное (или наблюдательное) подтверждение. И не надо ждать новой научной революции!
До сих пор мы обсуждали первый уровень мультиверса. Инфляционная космология предсказывает, однако, наличие и
15
Предисловие
второго уровня. Чтобы понять это, следует познакомиться с теорией вечной инфляции, развитой другим крупнейшим космологом Андреем Дмитриевичем Линде. Суть его подхода в следующем: представим себе область вселенной, заполненной скалярным полем, и предположим, что в этой области выполняются два условия: (1) поле однородно (с высокой точностью) и (2) кинетическая энергия поля много меньше потенциальной. Тогда область пространства-времени, заполненная этим полем, начнет экспоненциально быстро раздуваться (инфляция). По мере раздувания, согласно классическим уравнениям движения, величина поля будет уменьшаться. Если потенциал имеет
обычный полиномиальный вид ( φ2 или φ4 ), то потенциальная
энергия тоже будет уменьшаться. Рано или поздно условие (2) перестанет выполняться и раздувание прекратится. Однако в действительности следует учесть и наличие квантовых флуктуаций. Оказывается, эти флуктуации могут противодействовать уменьшению поля, внося положительный вклад и увеличивая тем самым величину φ. Грубо говоря, «половина» разду-
вающихся областей схлопнется, как только нарушится условие (2), но во второй «половине» квантовые флуктуации поддержат раздувание и приведут к появлению новых раздувающихся областей, из которых опять-таки «половина» схлопнется, а вторая «половина» породит новые раздувающиеся области и т.д. Другими словами, процесс раздувания никогда не прекратится, он вечен. Линде назвал эту картину «самовоспроизводящейся вселенной». Подчеркнем, что эта картина неизбежно следует из двух простых предположений, сделанных выше, и, по-види- мому, является действительно правильной, несмотря на ее пугающе грандиозный размах.
Сделаем несколько качественных замечаний. Во-первых, когда говорят о вечной инфляции, имеют в виду инфляцию, вечную в будущем. Как недавно показали Борде, Гут и Виленкин, любая геодезическая, продолженная назад неизбежно оказывается конечной. Поэтому неверно говорить, что у мультиверса второго уровня нет начала. Другое дело, что это начало не является «одной точкой», как считалось в наивных моделях,
16
Предисловие
основанных на метрике Фридмана. Начал этих много, и все они образуют некоторый «геометрический инстантон», структура которого нам пока не ясна. Во-вторых, множество раздувающихся доменов образует фрактальную структуру, изучение которой теоретиками только начинается. В-третьих, второй уровень мультиверса, состоящий из раздувающихся «вселенных», которые принято называть доменами, сильно отличается от первого уровня. Дело в том, что в хаббловских объемах мультиверса первого уровня действуют одинаковые физические законы. Разница лишь в начальных условиях и, следовательно, в разных историях. В доменах же мультиверса второго уровня должны реализовываться разные значения фундаментальных констант — например, в них массы элементарных частиц должны быть другими, чем у нас. Происходит это потому, что, согласно современным представлениям, все эти массы получаются умножением хиггсовского конденсата на безразмерные параметры, называемые постоянными Юкавы. Так как в разных доменах реализуется разная величина хиггсовского конденсата, то и массы элементарных частиц будут другими. Таким образом, физика в доменах мультиверса второго уровня выглядит совсем иначе, нежели в нашем домене и в нашем хаббловском объеме — части этого домена.
Мы кратко обрисовали захватывающие перспективы самой романтической из всех наук — космологии. Предлагаемое пособие обращено к тем, кто захочет работать в этой удивительной области, но испытывает нехватку литературы. К сожалению, математический аппарат космологии основан на уравнениях Эйнштейна, которые чрезвычайно сложны. К счастью, все сильно упрощается в изотропных и однородных фридмановских моделях (а мы, как учит опыт, живем как раз в такой Вселенной). Уравнения Эйнштейна в такой метрике могут быть сведены к одномерному уравнению Шредингера, а значит, мы можем воспользоваться формализмом преобразований Дарбу для построения точных решений с заранее заданными свойствами. Эти возможности иллюстрируются в тексте пособия, основан-
17
Предисловие
ного главным образом на оригинальных работах авторов. Мы также позволили себе затронуть новейшую так называемую бранную парадигму. Поскольку теория бран не вошла пока в обязательный учебный курс физиков и астрономов, сделаем несколько кратких замечаний, полезных читателю, пожелавшему разобраться в последней главе данного пособия.
Теория бран возникла в работах ученых, занимающихся физикой струн. Оказалось, что уравнения теории допускают существование многообразий меньшей размерности, за которые «цепляются» концы открытых струн, вложенных в многообразия большей размерности. Эти малые многообразия назвали Дирихле-бранами (так как на струны наложено краевое условие Дирихле), или просто бранами. Так как все элементарные частицы возникают как моды колебаний этих струн, то становится ясно, что частицы могут распространяться лишь вдоль браны. В простейшем случае брана трехмерна (имеются в виду лишь пространственные координаты) и вложена в четырехмерное внешнее объемлющее пространство, для которого используют термин bulk. Исключение составляют лишь гравитация и, возможно, скалярные поля. Дело в том, что гравитация отвечает модам со спином двойка, которые порождаются замкнутыми, а не открытыми струнами. Поэтому гравитация способна распространяться в bulk-пространстве. Это, кстати, немедленно порождает проблему: в нашем мире сила гравитационного взаимодействия убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Из курса общей физики известно, что такое поведение гравитации есть общее свойство всех безмассовых полей в трехмерном пространстве (это можно получить, используя теорему Гаусса). Поэтому непонятно, как согласовать известное поведение гравитации с наличием высших измерений7.
7 В простейшем случае четырехмерного bulk-пространства сила гравитационного притяжения должна убывать обратно пропорционально кубу расстояния, чего вовсе не наблюдается.
18
Предисловие
Есть два подхода к решению этой проблемы. Первый основан на гипотезе, согласно которой брана хитро изогнута в bulkпространстве и геометрия ее такова, что она сама экранирует собственную гравитацию. Кроме того, оказывается, что bulkпространство должно быть заполнено отрицательной вакуумной энергией (говорят об антимодели Деситтера). Такие решения действительно найдены и называются решениями РэндалСандрум (RS). Мы подробно обсудим их в соответствующей главе. Второй подход основан на гипотезе двух бран. Вторая, невидимая брана расположена рядом с нашей и экранирует гравитацию, которая поэтому не уходит в bulk-пространство. Преимущество этой модели в том, что она способна объяснить природу темной материи и даже темной энергии. Первая оказывается просто гравитацией, создаваемой веществом второй браны, а последнее связано со скалярным полем, тоже заполняющим bulk-пространство. Эта «двубранная» модель вдохновила известных космологов Стэйнхарда (он, кстати, один из авторов теории так называемой новой инфляционной модели, первенство на которую, вероятно, справедливо оспаривает Линде) и Турока на создание так называемого циклического сценария. В рамках этой модели имеются две браны с bulk-пространством между ними, снабженным геометрией так называемого орбиобразия8, или орбифолда. Браны участвуют в колебаниях, причем на фазе сближения, галактики на видимой бране должны разбегаться с ускорением. Столкновения бран интерпретируются авторами как «большие взрывы». Это красивая модель, однако в ней есть ряд непонятных моментов. Например, как показал Линде, браны должны быть плоскими и параллельными с немыслимой точностью. Трудно понять, как произошла такая тонкая подстройка в естественной системе!
8 Орбиобразие — это поверхность, которая получается, если взять тор и факторизовать его с помощью дискретной группы. Орбиобразия не являются многообразиями (отсюда и другое название), потому что они имеют неподвижные точки.
19
Предисловие
Интерес физиков к бранам связан с тем, что при наличии больших (или даже бесконечных) дополнительных измерений можно получить естественное решение проблемы иерархий. Суть этой проблемы в следующем: характерный энергетиче-
ский масштаб квантовой гравитации составляет 1019 ГэВ, в то время как масштаб теории электрослабых взаимодействий лежит в области ТэВ. Непонятно, как такие разные величины могут описываться одной теорией. Оказывается, в многомерье эта проблема элегантно решается. Представьте себе гравитационное действие, т.е. интеграл от лагранжиана по всему многомерному пространству. Если мы считаем, что все поля зависят лишь от трех пространственных координат нашей браны (и времени), то можно проинтегрировать по остальным координатам. В итоге получаем привычное четырехмерное действие, умноженное на объем bulk-пространства. Но перед действием стоит гравитационная, многомерная, т.е. истинная, константа связи. Таким образом, получается, что «наша» четырехмерная гравитационная константа связи равна истинной константе, умноженной на объем bulk-пространства. Истинная константа может быть (и даже должна быть) небольшой, т. е. лежать где-
то в ТэВ-й области. Наша же огромная константа 1019 ГэВ так велика лишь потому, что велик объем bulk-пространства. Другими словами, если это пространство сжать (как на половине периода в циклической модели), то мы обнаружим, что гравитация на самом деле лежит в области тех же энергетических масштабов, что и другие взаимодействия!
Аналогичное решение предложено для проблемы Λ-члена. Если рассмотреть одну брану с bulk-пространством, обладающим симметрией орбиобразия и заполненным скалярным полем, то окажется, что ненулевое и большое значение вакуумной энергии в bulk-пространстве получается очень малым на том бране, на которой мы живем. Происходит это потому, что эффективное значение космологической постоянной на бране равно величине Λ-члена в bulk-пространстве, умноженной на экспоненту в степени минус объем bulk-пространства (с соот-
20