Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие
.pdf
Преобразование Дарбу
Рис. 5. Зависимость ψ(1) от времени при μ > 0
Здесь изображена динамика трех вселенных. Одна коллапсирует в конечную сингулярность, но не имеет начала. Вторая рождается в исходной сингулярности, некоторое время расширяется, после чего начинает сжиматься и коллапсирует в финальную сингулярность (напомним, что k = 0 ). Третья рождается, расширяется, проходитстадиюраздувания(граничныеточкисшиваются) и выходит на режим двух третей. В качестве последнего примера приведемрешение, полученноедвукратнымПД(рис. 6).
Рис. 6. Зависимость ψ от времени при двукратном ПД
41
Глава 1
Одна опорная функция является решением (1) с Λ = +1/ 3 ,
μ1 =1, μ2 = 2 , k =1; вторая с Λ = +4 / 3 , μ1 =1, μ2 = 3 , k = 2 .
Здесь тоже появляются три вселенные, причем теперь вторая, существующая конечное время, проходит через фазу инфляции, после чего коллапсирует.
Мы не ставили перед собой цели построить модель с двумя (или больше) ускорениями. Ясно, что такая задача действительно может быть в принципе решена с помощью описанного метода. Однако мы считаем, что начинать заниматься «моделестроительством» с использованием ПД пока рано. Необходимо понять, как включить в рассмотрение промежуточную фазу осцилляции. Нам пока не ясно, как можно это сделать. Очевидно, что без такой фазы любые инфляционные модели абсолютно нежизнеспособны. Некоторую «подсказку» дают удивительные потенциалы, полученные путем замыкания цепочек Веселова — Шабата. Эти потенциалы содержат модулированные по амплитуде осцилляции и должны быть отнесены к разряду точно решаемых. Их решения выражаются через функцию Вейерштрасса, а спектры представляют собой набор нескольких арифметических прогрессий.
Заключение
Предположим, что точное решение a(t) , описывающее две
фазы ускорения и промежуточную осцилляцию, будет построено. Очевидно, что мы столкнемся с задачей интерпрета-
ции потенциала V(N) , который, без сомнения, будет иметь «чудовищный» вид и вряд ли сможет быть получен из какойнибудь теории поля или даже теории струн.
Действительно, даже потенциалы, полученные однократным ПД, уже выглядят слишком сложно и потому нефизично, а ведь они еще слишком просты, чтобы описать даже два последовательных ускорения без осцилляций! Естественной реакцией на появление таких выражений будет, вероятно, заключение, что реальная космология не является точно решае-
42
Заключение
мой. С этой точки зрения точные космологии могут быть полезными моделями, но никак не способны описать реальную вселенную. Однако правильно ли такое заключение? Вероятно, но не обязательно. Вполне возможно, что правильный потенциал самодействующего скалярного поля вовсе не определяется физикой элементарных частиц, а появляется по причинам другого рода.
Что же это за причины? Ясно, что любые предположения на этот счет будут чрезвычайно ненадежны и спекулятивны. Тем не менее мы попробуем указать возможный источник странных потенциалов, лежащий за пределами и теории поля, и (будущей) теории струн. Согласно хаотической инфляции Линде в различных областях вселенной реализуются все возможные вакуумные состояния, что в свою очередь должно приводить к различным спектрам масс элементарных частиц, населяющих эти области. Идентификация нашей области не вытекает (в рамках такой парадигмы) из одних законов физики, а требует еще и чего-то вроде «слабого антропного принципа». Другими словами, если даже всеобъемлющая М-теория будет построена и ее мощь будет соответствовать ожиданиям, все равно этого окажется недостаточно для объяснения того, почему именно таково вакуумное состояние нашей вселенной, а не другое, и т. д. Иллюстрируя такую картину, Линде вводит понятие мультимира. В простейшем варианте мультимир можно определить как бесконечную сумму всех возможных действий, описывающих все возможные варианты квантовой теории поля и М-теории (на самом деле Линде идет еще дальше, предлагая включать и модели, не допускающие лагранжевой формулировки, и даже дискретные модели типа клеточных автоматов. Некоторые не останавливаются и на этом, предлагая рассматривать в качестве элементов мультимира все возможные математические структуры!). Хотя гипотезы такого рода могут показаться чудовищной спекуляцией, следует помнить, что все существующие объяснения наблюдаемого значения вакуумной энергии ( ≈ 0,7ρc ) получены на базе ан-
43
Глава 1
тропного принципа, который имеет смысл, по-видимому, лишь если гипотеза о существовании мультимира верна.
Если же принять предположение о существовании мультимира, то ясно, что возможно существование областей с самыми странными потенциалами самодействия. В этом случае следует пересмотреть те вопросы, которые мы обычно задаем. Например, как правило, потенциалы V(φ) берутся из физики час-
тицы: V ≈ φ2 , V ≈ φ4 ; или теории струн: V ≈ eαφ . Почему такие, а не, скажем, V ≈ φ8 ? Потому что при d = 4 квантовая тео-
рия с таким потенциалом будет неперенормируема. Есть все основания считать, что неперенормируемая теория — это «плохая» теория, поскольку на каждом новом масштабе она требует нового лагранжиана, а потому содержит, вообще говоря, бесконечное число неопределенных параметров. Кроме перенормируемости модели должны удовлетворять и другим общеизвестным требованиям: унитарность, ограниченность гамильтониана снизу и т.д. Теперь представим себе, что нам удалось построить семейство потенциалов, приводящих к согласованной с наблюдениями динамике вселенной (скажем, с помощью ПД). На следующем шаге следует проверить эти модели методами квантовой теории (перенормируемость и т.д.). Если какой-нибудь потенциал выдержит соответствующую проверку, то мы вполне можем использовать его, несмотря на то что он не получается из первых принципов теории поля (или струн). Он следует из концепции мультимира, а теория поля (струн) лишь должна проверить его согласованность.
44
Глава 2. Общие решения уравнений Эйнштейна и энергетические условия
«Фантомная космология»
Используя уравнения (1.1), можно находить общее решение, параметризованное двумя константами. Мы уже продемонстрировали это в предыдущей главе. Если в (1.4) положить c1 = 0 , то получим известное фридмановское решение, описы-
вающее расширение вселенной, заполненной нерелятивистским веществом. Если, напротив, положить равной нулю c2 ,
то получим модель, в которой слабое энергетическое условие нарушено всегда. Хотя такое решение и выглядит совершенно нефизично, следует отметить, что в последнее время изучение подобных моделей несколько активизировалось. Такие модели получили название «фантомных космологий» и активно обсуждаются в связи с теорией так называемого «большого разрыва» (Big Rip). Основная идея выглядит следующим образом: есть некоторые предварительные данные наблюдений, свидетельствующие якобы, о том, что в наблюдаемой вселенной реализуется уравнение состояния p = wρ, с w < −1 . Материю
с таким уравнением состояния принято называть «фантомной энергией». В плоской однородной и изотропной вселенной масштабный фактор принимает вид:
|
a(t) |
= |
a2 |
|
3ρ(t |
0 |
)(t |
* |
− t) −2/ 3α2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
a(t0 ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где α2 = −1− w , t0 |
— |
некоторый |
фиксированный момент |
||||||||
времени, ρ(t) — плотность. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
Глава 2
Очевидно, что при t → t* масштабный фактор «взрыва-
ется», что, собственно, и означает «большой разрыв». Существует немало работ, в которых обсуждается возможность существования фантомных полей с отрицательным кинетическим членом. Сюда входят модели супергравитации, теории гравитации с высшими производными, струнные и бранные модели фантомной энергии. Мы, однако, встанем на более реалистичную позицию и будем исходить (может, и ошибочно) из того, что слабое энергетическое условие (WEC) должно быть верным, а значит, фантомных полей на самом деле не существует. Анализ решений уравнений Эйнштейна показывает, что могут быть реализованы две возможности: (1) фантомные поля существуют все время; (2) WEC нарушается в определенный момент времени t1 . Первый вариант должен быть отброшен в
соответствии с нашим предположением, тогда как второй допускает два случая: (2а) в определенный момент времени t2 > t1 слабое энергетическое условие восстанавливается (та-
ких интервалов может быть несколько, но это несущественно); (2б) нарушившись при t = t1 , слабое энергетическое условие
остается нарушенным до конца существования вселенной (в закрытой модели) либо бесконечно долго (в открытой модели). Из анализа, проведенного в предыдущем пункте, следует, что в случае (2а) на интервале [ t1 , t2 ] возникает «боль-
шой разрыв». В случае же (2б) следует ожидать, что «большой разрыв» происходит в бесконечно далеком будущем. В дальнейшем мы будем рассматривать только вариант (2а). Именно для него действует описанная выше процедура вырезания области с нарушенным WEC и сшиванием краев. Очевидно, что после такой «хирургии» «большой разрыв» исчезает. Отсюда следует, что «большой разрыв» на самом деле не появляется вообще, а «фантомные поля» приводят к обычной инфляции (сшивка производится в точках t1 и t2 , где реализовано урав-
нение состояния p = −ρ, поэтому при приближении к t1 вто-
рая производная масштабного фактора непременно станет положительной, что и означает инфляцию) с выходом. Было
46
«Фантомная космология»
бы интересно попробовать применить приведенный сценарий для описания инфляции в ранней вселенной, особенно в закрытой модели, где построение инфляционного сценария сталкивается с известными трудностями. В связи с этим отметим, что метод сшивки работает не только в плоском случае, но и при k =1 или k = −1, как несложно убедиться.
Мы, однако, хотим рассмотреть другую задачу, связанную с вычислением потенциала самодействия по масштабному фактору. Предположим, что по результатам астрономических наблюдений нам удалось определить масштабный фактор как функцию времени a(t) . Разумеется, наши наблюдения охваты-
вают только маленький интервал времени, но выбор a = a(t)
удовлетворяет всем текущим наблюдениям. Для простоты будем считать, что вселенная заполнена одним скалярным полем. Тогда плотность и давление определяются соотношениями
ρ = |
& |
2 |
+ V(φ) , p = |
& |
2 |
− V(φ) . |
|
φ |
|
φ |
|
|
|||
Введем обозначение |
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
&2 |
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
||
WEC ≡ ρ+ p = φ |
= −2N(t) , |
||||||
где N(t) = log(a(t) / a(t0 )) — число |
|
e-расширений, |
или, как |
||||
принято говорить, число e-фолдингов. Для «нормальной» материи WEC ≥ 0 .
Предположим, что по данным наблюдений удалось найти a = a1(t) . В принципе, зная a1(t) , можно найти все остальные
величины: из базовых уравнений определить ρ(t) и p(t) , из (2.1) определить φ(t) , из (1) найти V(t) и, наконец, определить V = V(φ) . Описанные действия совершенно тривиальны (кроме фантастически сложной задачи нахождения a1 (t) , ко-
торую мы взвалили на астрономов!). Осложнения могут возникнуть, если вдруг окажется, что WEC < 0 и параметрически заданная функция V(t) , φ(t) не может быть однозначно вы-
ражена как V(φ) , однако мы проигнорируем эти проблемы и
будем предполагать, что описанная процедура проведена и мы знаем все величины, входящие в космологические уравнения.
47
Глава 2
Теперь покажем, что даже при этих, казалось бы, полностью определенных условиях динамика вселенной может оказаться гораздо богаче, чем кажется. В самом деле, используя aнабл и
(1.1), находим V(t) . С другой стороны, общее решение (1):
ψ(t) = c1ψ1(t) +c2ψ2 (t) ,
где ψ1 = a13 , ψ2 — решение, линейно независимое с ψ1 , c1,2
— произвольные константы. Другими словами, общее решение a(t) , которое согласуется с потенциалом V(t) , имеет вид
|
|
t |
dt′ |
|
1/ 3 |
|
a(t) = a1 + |
|
+c2 ∫ |
|
|
|
|
c1 |
|
|
. |
(2.2) |
||
6 |
′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 (t ) |
|
|||
Пусть t0 — момент времени, в который проводится на-
блюдение (например, соответствует наблюдению, проводимому современным астрономом). Если выполнено неравенство
c1 |
|
|
t0 |
dt′ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
>> |
∫ |
, |
(2.3) |
|||
c2 |
6 |
||||||
|
|
|
a1 (t′) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
то современные наблюдатели могут просто «не заметить» второго слагаемого в (2.2) и будут ошибочно считать, что a(t) ≈ a1 (t) . Однако понятно, что при определенных значениях
времени неравенство (2.3) будет нарушаться, что способно кардинально изменить глобальную эволюцию вселенной. В качестве простого примера допустим, что вселенная заполнена скалярным полемсуравнением состояния p / ρ = w = const . Приэтом
|
a1 (t) ≈ t |
k |
, |
ρ(t) = |
3k2 |
, p = |
k(2 −3k) |
|
|
|
|
||
и |
|
t2 |
t2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
k(3k −1) |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
V(φ) |
= |
e |
2/ k (φ0 φ(t)) , |
φ(t) = φ0 + 2k log |
|
, |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
t02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
||
где t0 — |
современный возраст вселенной, |
φ0 =φ0 (t0 ) , |
|||||||||||
k=2 /(3(w+1)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Фантомная космология»
Легко видеть, что если −1 < w <1 , то выполняется слабое энергетическое условие и, кроме того, V(φ) > 0 . Другими сло-
вами, мы имеем обычную фридмановскую плоскую вселенную, родившуюся при t = 0 из исходной сингулярности и претерпевающую вечное расширение. Однако можно воспользоваться (2.2) и найти общее решение:
a(t) = tk (c |
+c |
2 |
t1−6k )1/ 3 . |
(2.4) |
1 |
|
|
|
Если выполнено условие (2.3), то доминирует первое слагаемое в (2.4), а значит, мы имеем ситуацию, о которой шла речь в предыдущем абзаце. Если же доминирует второе слагаемое, то
a(t) ≈ t(w-1)/(3(w+1)) ,
т. е. мы имеем приближенное уравнение состояния p = w′ρ, w′ = ww +−13 .
Очевидно, при w <1 имеем w′< −1. Другими словами, вто-
рое слагаемое в (2.4) описывает фантомную вселенную. Если c1 = 0 , то (2.4) описывает вечную фантомную вселенную. Ес-
ли же обе нормировочные константы отличны от нуля, то динамика выглядит следующим образом: при больших значениях времени доминирует первое слагаемое, которое описывает нормальную фридмановскую вселенную, где выполняется слабое энергетическое условие. «Фантомная зона», т. е. промежуток времени, в котором доминирует второе слагаемое, оказывается конечным. Наличие таких решений и выглядит физическим нонсенсом, требующим объяснений. Мы сочли целесообразным представить список возможных объяснений отдельным параграфом.
Список возможных объяснений
Мы увидели, как много точных космологических решений можно получить, редуцируя уравнения Эйнштейна в уравнение Шредингера (1) и используя преобразование Дарбу. Было показано, что существует множество точных решений, в которых слабое энергетическое условие нарушается в некоторый момент
49
Глава 2
времени, а до того — выполняется. У нас нет никаких оснований исключать такие решения «из общих соображений». Конечно, решения, для которых слабое энергетическое условие нарушается все время, вполне могут быть исключены как нефизические, но у нас другая ситуация: до определенного момента времени вселенная развивается вполне нормально — в том смысле, что все энергетические условия выполнены. Откуда вселенная может «знать», что в будущем WEC будет нарушено?
Таким образом, подобные решения действительно представляют проблему. Попробуем перечислить возможные подходы к устранению возникшей трудности вместе с комментариями, в которых будут отражены недостатки этих подходов.
(A) Решения, о которых шла речь, не реализуются в реальном мире, так как требуют для своего возникновения весьма специальных начальных условий.
Если, как обычно, мы предполагаем, что эволюция полностью определяется начальными условиями, то, по-видимому, единственный способ избежать таких неприятных ситуаций — предположить, что начальные условия, приводящие к вышеописанной динамике, не могут бытьреализованы. Но если это так, то получается, что должна существовать некая не известная нам физика, определяющая не только динамические уравнения, но и начальные условия; причем начальные условия, приводящие к описанным выше решениям, должны быть исключены этой неизвестной физикой. Вывод не слишком утешительный для космологов. Отметим в связи с вышесказанным: мысль о том, что начальные условия вселенной описываются некой новой физикой, пропагандируется Роджером Пенроузом. Он предполагает, что существует неведомый пока физический закон, требующий обращения в нуль тензора Вейля в начальной сингулярности. В нашу задачу невходитразборточкизренияПенроуза. В любом случае, даже если такой закон существует, нам от него мало прока в обсуждаемой проблеме, поскольку метрики, которыми мы занимаемся, являются конформно-плоскими, а значит, у нас тензор Вейля равен нулю всегда. Другая попытка исключить эти решения как нефизические может быть связана с «патологической» формой потенциаласамодействия.
50