Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие
.pdf
Развитие метода
Мы получили гармонический осциллятор, т. е. ФМ-потен- циал, преобразующийся аддитивно при ПД. Этот пример мы используем в качестве «затравки» для построения новых точных решений с помощью ПД.
В. Обобщение моделей с нечетным суперпотенциалом: ПД на фоне гармонического осциллятора.
Как мы видели, нечетный суперпотенциал приводит к
φ(y) = φ0 + kb2y , |
|
|
(3.25) |
|
2 |
|
2 |
|
|
log A(y) = log A0 + φ0 |
−φ |
|
(y) |
, |
|
3 |
|
|
|
где индексами-нулями обозначено значение соответствующих функций на бране, т. е. при y = 0 . Используя (3.25), получаем
уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с потенциалом:
v(y;k) = 169 b4 (kb2 y + φ0 )2 .
Основное состояние этого потенциала хорошо известно. Отличие от того, с чем мы обычно имеем дело в квантовой механике, заключается в условии скачка:
ψ&1(0;+1) −ψ&1(0;−1) = −βe−2φ02 / 3 .
Все остальные собственные функции и собственные значения могут быть получены по формулам
ψn (y;k) = (∂y −4b2 (b2 y + kφ0 )/ 3)n−1ψ1 |
(y;k), |
(3.26) |
|
|
λn = 4b2 (2n −1) / 3.
Адлер предложил более общий способ удаления целых групп возбужденных уровней. Разумеется, при такой процедуре нижний уровень преобразованного гамильтониана остается тем же самым, хотя и будет описываться другой волновой функцией. Используя этот результат и (3.14), мы можем уда-
71
Глава 3
лить из спектра четное число соседних уровней (в противном случае новый потенциал окажется сингулярным). Удаляя третий и четвертый по счету уровни, получаем потенциал хиггсовского типа:
|
(2) |
= |
|
16b4 |
|
|
|
10 |
+ |
|
8 |
+ 21888x |
6 |
+ |
||
v |
|
|
(4096x |
|
12288x |
|
|
|||||||||
|
9(64x4 + 27)2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
+10368x4 −22599x2 + 2187), |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ψ1(2) = |
8x |
2 |
+3 |
e−2x2 / 3 , |
|
|
|
|
(3.27) |
|||
|
|
|
|
64x |
4 |
+ 27 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
β(2) = |
8b2φ0 (512φ06 +960φ04 +792φ02 −243) |
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3(64φ04 + 27)(8φ02 +3) |
|
|
|
|
||||||||
где x = κb2 y + φ0 .
Потенциал (3.27) изображен на рисунке 7. Удаляя уровни с номерами 3, 4, 6 и 7, получаем интересный потенциал, изображенный на рисунке 8. Наконец, на рисунке 9 представлен график потенциала, полученный удалением уровней от 4-го до 7-го включительно.
Рис. 7. Гармонический осциллятор без уровней λ2 и λ3
72
Развитие метода
Рис. 8. Гармонический осциллятор без уровней λ3 , λ4 , λ6 , λ7
Рис. 9. Гармонический осциллятор без уровней с λ4 поλ7
Выражения для потенциалов, собственных функций (включая основное состояние) и натяжений на бране могут быть легко получены с помощью формул (3.14) и (3.26). Мы опустим их ввиду громоздкости.
Причина, по которой эти потенциалы имеют «хиггсоподобную» форму, очень проста. Дело в том, что спектр потенциала с двумя симметрично расположенными минимумами с необходи-
73
Глава 3
мостью содержит широкую лакуну между двумя нижними уровнями и остальным спектром. Удаляя уровни 3 и 4, мы как раз конструируем спектр, обладающий таким свойством. Аналогично, удаляя четыре уровня (4—7), получаем спектр с лакуной между тремя нижними уровнями и остальным спектром, что приводиткпотенциалу с тремяминимумами(рис. 9).
Вернемся к потенциалу (3.27). Используя явный вид этого потенциала и волновой функции основного состояния, можно найти потенциал V(φ) в параметрической форме. График
функции dφ(x) / dx для y > 0 изображен на рисунке 10. Это выражение вещественно при x ≥ x* ≈0,25735, поэтому, отождествляя φ0 = x* , мы получаем поле φ(y) , определенное всюду в объемлющем пространстве.
Рис. 10. Функция φ′(x)
Г. Одевающие цепочки и четвертое уравнение Пенлеве как обобщение нечетного суперпотенциала.
Другое интересное обобщение нечетного суперпотенциала (т.е. гармонического осциллятора) можно получить, используя одевающие цепочки дискретных симметрий, введенные в работе
74
Развитие метода
Веселова — Шабата (вне связи с бранной тематикой). Предположим, что семейство функций fk = ∂y logψ(kk−1) , где ψ(kn) явля-
ются n-кратно одетыми решениями уравнения (3.7). Эти функции оказываются решениями уравнений одевающей цепочки:
f&k +f&k+1 = fk2 −fk2+1 + αk , |
(3.28) |
где αk — постоянные, которые можно выразить через величины спектрального параметра λk .
Рассмотрим периодическую версию fk = fk+N , αk = αk+N с
натуральным N, которое в дальнейшем будет именоваться периодом. Теории одевающих цепочек для нечетных (N = 2n + 1) и четных (N = 2n) периодов весьма различны. Это же справедливо для случаев α = 0 и α ≠ 0 , где
N
α = ∑αk .
k=1
Вслучае α ≠ 0 и N =1 получаем гармонический осциллятор. В случае N = 3 ( α ≠ 0 ) получаем четвертое уравнение
Пенлеве для функции P(y) = −f1 − y : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
&& |
|
&2 |
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
(y |
2 |
−a)P + |
b |
|
|
= |
P |
+ |
|
+ 4yP |
+ 2 |
|
|
||||||||
P |
|
|
P |
|
|
|
|
, |
(3.29) |
||||||
2P |
2 |
|
|
|
P |
||||||||||
где α = 2 , a = −α1 −α2 / 2 +1, b = −α22 / 2 .
Таким образом, потенциал v(y) выражается через четвер-
тую трансценденту Пенлеве (так называют решения уравнения (3.29)) и имеет следующее поведение:
|
|
|
α2 y2 |
ay2 |
|
|
|
|
|
v(y − y |
0 |
) ≈ |
|
+ Mycos |
|
+ δ |
0 |
. |
(3.30) |
|
|
||||||||
|
|
36 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя (3.30), заключаем, что этот потенциал действительно является обобщением гармонического осциллятора, в частности растет по квадратичному закону.
Отметим, что спектр v(y) может быть точно вычислен. В частности, основное состояние имеет нулевую «энергию».
75
Заключение
Таким образом, использование ПД является удобным средством для изучения как космологических моделей с инфляцией, так и бранных космологий. В списке литературы содержатся современные работы, чтение которых позволит заинтересованному читателю быстро войти в курс дела. Учитывая то обстоятельство, что в России журналы типа Phys. Rev. и т. д. практически недоступны вследствие хронического недофинансирования университетских библиотек, всюду, где это возможно, мы даем адреса электронного Лос-Аламосского архива (ArXiv), которые приводятся в квадратных скобках в конце основной ссылки. Поисковая система запускается через Интернет командой xxx. lanl. gov.
Утверждение о том, что все возможные истории (т. е. истории, могущие произойти с ненулевой вероятностью) должны действительно где-то происходить, доказано в [1]. Различные следствия представлены в работах [2; 3]. Теория вечной инфляции описана в [4]. Теорема об ограничении вечной инфляции на прошлое доказана в [5]. C антропным принципом можно познакомиться по работам [6; 7]. C преобразованием Дарбу в традиционном аспекте можно ознакомиться с помощью пособия [8], а применением его в космологии по работе [9]. Для желающих мы приводим точную ссылку на оригинальные работы Дарбу [10] и Крама [11]. C различными аспектами теории бран более подробно можно ознакомиться, используя ра-
боты [12—17].
76
Список рекомендуемой литературы
1.Garriga J., Vilenkin A. Many Worlds in One // Physical Review. 2001. D64. 043511 [arXiv:gr-qc/0102010].
2.Knobe J., Ken D. Olum, Vilenkin A. [arXiv:physics/0302071].
3.Ken D. Olum. Conflict between anthropic reasoning and observation [arXiv:gr-qc/0303070].
4.Linde A. Eternally Existing Self-Reproducing Chaotic Inflationary Universe // Physics Letters. 1986. B175. P. 395—400.
5.Borde A., Guth A.H., Vilenkin A. Inflationary spacetimes are not past-complete [arXiv:gr-qc/ 0110012].
6.Dvali G., Vilenkin A. Cosmic Attractors and Gauge Hierarchy [ar- Xiv:hep-th/0304043].
7.Tegmark M., Vilenkin A. Anthropic predictions for neutrino masses [arXiv:astro-ph/0304536].
8.Юров А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике: Учеб. пособ. Калининград, 1998.
9.Верещагин С.Д., Юров А.В. // ТМФ. 2004. Т. 139. № 3. С. 405.
10.Darboux G. C. R. Acad. Sci. 1882. 94. Р. 1456—1459.
11.Darboux G. Theorie generale des surfaces. New York: Chelsea,
1972.
12.Flanagan E.E., Tye S.-H.H., Wasserman I. [arXiv:hep-th/ 0110070v2].
13.Randall L., Sundrum R. // Phys. Rev. 1999. Lett. 83. Р. 3370 [ar- Xiv:hep-th/9906064].
14.Tye S.-H.H., Wasserman I. // Phys. Rev. 2001. Lett. 86. Р. 1682 [arXiv:hep-th/0006068].
15.DeWolf O., Freedman D.Z., Gubser S.S., Karch A. // Phys. Rev. 2000. D62. Р. 046008 [arXiv:hep-th/9909134].
16.Kakushadze Z. // Nucl. Phys. 2000. B589. Р. 75 [arXiv:hep-th/ 0005217].
17.Yurov A.V., Yurov.V.A. The nonsingular brane solutions via the Darboux transformation // Phys. Rev. 2005. D72. Р. 026003 [arXiv:hepth/0412036].
77
Учебное издание
Алла Александровна Юрова Артем Валерьянович Юров
ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ КОСМОЛОГИИ И ТЕОРИИ БРАН
Учебное пособие
Редактор Л.Г. Ванцева. Корректор Л.Г. Владимирова Оригинал-макет подготовлен И.В. Осадчей
Подписано в печать 18.10.2005 г.
Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16. Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 4,9. Уч.-изд. л. 3,4. Тираж 100 экз. Заказ .
Издательство Российского государственного университета им И. Канта 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14