Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

811 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Преобразование Дарбу и условия сшивки

Замечание. Величина λ — не космологическая постоянная, а спектральный параметр, необходимый для итерации ПД. Космологическая постоянная считается уже включенной в потенциал V(φ) .

Предположим, что величины ψ(y) , v(y) , λ заданы и требуется найти A(y) , φ(y) и V(φ) . Рассмотрим область вдали

от браны, где можно не учитывать слагаемое с дельта-функ- цией в (3.7). Будем считать, что потенциал v(y) удовлетворяет

условию:

	+∞
~	∫dy(1+		)	~		(3.8)
~				~
v(y) = const + v(y) ,		y		v(y)	< ∞.
		y		v(y)	< ∞.

−∞

Справедливость (3.8), вообще говоря, несущественна для использования ПД, но в рамках этой работы нам будет удобно ограничиться именно такими потенциалами. Очевидно, что масштабный фактор может быть восстановлен, только если волновая функция (т. е. решение уравнения Шредингера (3.8)) неотрицательна при всех y. В физическом спектре уравнения Шредингера (3.8) этому условию удовлетворяет только волновая функция основного состояния. Замечательным является то обстоятельство, что это единственная функция, которой соответствуют физически осмысленные функции A(y) и φ(y) .

В самом деле, уравнение (3.7) всюду допускает положительные решения при значении спектрального параметра, меньшем величины основного состояния. Такие решения не лежат в пространстве интегрируемых с квадратом функций и не описывают связанных состояний, однако «масштабный фактор» будет вещественным. Тем не менее эти решения не подходят для восстановления полевой функции для потенциалов, удовлетворяющих условию (3.8). Причина этого в следующем: если использовать волновую функцию основного состояния, то при больших значениях y кинетический член скалярного поля будет положителен. Если же в качестве решения (3.7) выбрать функции, отвечающие спектральному параметру, меньшему по величине, чем «энергия основного состояния», то кинетический член окажется отрицательным. По этой при-

Глава 3

чине мы ограничимся изучением решений, отвечающих основному состоянию уравнения (3.7).

Известно, что ПД позволяют построить потенциалы с любым наперед заданным конечным дискретным спектром, поэтому естественно рассмотреть эти преобразования как метод построения точных решений системы ((3.6)). Пусть ψ1 = ψ(y;λ1 ) и ψ2 = ψ(y;λ2 ) — два решения уравнения (3.7),

причем ψ1 > 0 для всех y , на которых оно определено. Будем называть такую ψ1 опорной функцией для ПД:

(1)

ψ&

−ψ&

ψ2 →ψ2

(3.9)

ψ1

Преобразование Дарбу (3.9) является изоспектральной

симметрией уравнения (3.7): одетая функция ψ(21)

— решение

одетого уравнения (3.7):

&& (1)

= (v

(1)

−β

(1)

δ(y)

(1)

ψ2

−λ2 )ψ2

с новым (одетым) потенциалом v(1)

и с тем же собственным

значением. Закон преобразования для опорной функции дается соотношением:


ψ1	→ ψ1(1)			=	1		(C1 +C2 ∫ψ12		(y)dy),

		= (v			ψ1			δ(y) −λ1 )ψ1	(3.10)
&&	(1)		(1)	−β		(1)			(1)
ψ1

с произвольными константами C1,2 . Для нас главный интерес

представляет основное состояние одетого гамильтониана. Здесь возможны три варианта.

1. Если ψ1 является волновой функцией основного состояния и λ2 — энергия первого возбужденного уровня, то после

ПД (3.9) одетая функция ψ(21) будет волновой функцией основного состояния нового гамильтониана. В этом случае весь дискретный спектр гамильтониана с потенциалом v(1) получается просто вычеркиванием уровня λ1 из спектра исходного гамильтониана.

Преобразование Дарбу и условия сшивки

2. Опорная функция ψ1 = ψ1 (y;λ1 ) не лежит в простран-

стве интегрируемых с квадратом функций, но не имеет нулей и экспоненциально быстро возрастает на бесконечности. В этом случае после ПД (3.9) дискретный спектр нового гамильтониана получается добавлением нижнего уровня λ = λ1 к

спектру исходного, который тем самым будет отвечать новому основному состоянию. Соответствующая волновая функция (3.10) с C2 = 0 будет волновой функцией основного состояния.

3. Опорная функция, описанная выше, может быть представлена как линейная суперпозиция двух всюду положитель-

ных линейно-независимых решений		ψ1(±)	со следующими
свойствами: ψ1(±) →0	при y → m∞	и	ψ1(±) →e+p2	y	при


y → ±∞. Используя ψ1(+)	или ψ1(−) в качестве опорных функ-

ций, мы получим новый гамильтониан, дискретный спектр которого полностью совпадает со спектром исходного. Мы будем в основном использовать случай 2.

Теперь рассмотрим условия сшивки на бране, которые

можно записать в виде
ψi+ (0) = ψi−		(0) = ψi (0),	(3.11)
&	&	= −βψi (0),
ψi+ −ψi− (0)

где ψi± (y) являются решениями уравнения Шредингера (3.7)

с одним и тем же потенциалом, но разными собственными значениями:

ψi± = (v(y) −λi )ψi± .	(3.12)
&&

Можно показать (сделайте это), что ПД сохраняют условия сшивки (3.12):

ψ(12+) (0)		= ψ(12−) (0)		≡ ψ(1)2	(0),	(3.13)
& (1)	(0)	& (1)	(0)	≡ +βψi (0).

ψ2+		= ψ2−

Доказательство проводится прямым вычислением. Используя этот результат, легко заключить, что n-кратное ПД приводит к одетым функциям, удовлетворяющим (3.11) с натяжением, совпадающим по модулю с исходным, при условии, что

Глава 3

n опорных функций-решений исходного уравнения Шредингера (3.12) и одно преобразованное решение ψ(n+1)± = ψ с тем

же потенциалом, но различными собственными значениями удовлетворяли (3.11). Удобно использовать формулы Крама и представить результат в виде:

(n)

(y) =

(n±) (y)

A±

(n±) (y)

(3.14)

v±n (y) = v −2

log

(n±) (y),

dy2

где

ψ[n−1]

ψ[n−2]

n±

ψ[n−1]

ψ[n−2]

n−1±

(n±) (y) =

ψ[n−1]

ψ[n−2]

2±

ψ[n−1]

ψ[n−2]

1±

ψ[±n]

ψ[±n−1] ψ[±n−2]

K ψ±

ψ[n]

ψ[n−1]

ψ[n−2]

K ψ

n±

ψ[n]

ψ[n−1]

ψ[n−2]

K ψ

n−1±

D(n±) (y) =

ψ[n]

ψ[n−1]

ψ[n−2]

K ψ

2±

ψ[n]

ψ[n−1]

ψ[n−2]

K ψ

1±

Преобразование Дарбу и условия сшивки

причем квадратными скобками обозначены производные соответствующего порядка. В частности, легко проверить справедливость важного условия:

u(+n) (0) −u(−n) (0) = (−1)n+1 2σ30 ,

где un± обозначает логарифмическую производную от масштабного фактора и σ0 — натяжение на исходной бране. На-

конец, используя процедуру добавления уровней 2, можно показать, что волновая функция основного состояния n-кратно одетого потенциала определяется формулой:

ψ(nn±) = (A(±n) )2	±
ψ(nn±) = (A(±n) )2	= n±−1 .	(3.15)

Волновая функция основного состояния нигде не обращается в нуль, что, очевидно, равносильно условию знакоопределенности масштабного фактора. Используя n-кратно одетый масштабный фактор, можно вычислить соответствующую скалярную кривизну:

		&&	(n)	(n)	&	(n) 2
(n)		&&	±		&		)
(n)	= −	4A	±	A± +(A±			)
R±								,	(3.16)
R±				(A(±n) )2				,	(3.16)

где знак плюс относится к y > 0 (над браной), а минус к y < 0

(под браной). Поскольку знаменатель этого выражения нигде не обращается в нуль, то из (3.15) и (3.16) следует, что скалярная кривизна остается конечной как на бране, так и в bulk-про- странстве. Таким образом, использование ПД позволяет легко построить множество точных, несингулярных решений уравнений (3.6) для случая стационарной браны.

Однократное одевание RS-браны

Проиллюстрируем эффективность формул (3.9), (3.10) на примере одевания RS-браны, которой соответствует простой

квантово-механический потенциал v =μ2 = const . В этом слу-

Глава 3

чае константа в (3.8) равна нулю, а потенциал самодействующего скалярного поля V = −3μ2 /8 . Решение уравнения (3.7) с нулевым собственным значением имеет вид:

1±

= a

1±

eμy + b

e−μy , ψ

= ψ

(y > 0) ,

1±

ψ1− = ψ1(y < 0) .

(3.17)

Используя (3.11), получаем

1−

= a

+ β(a1+ + b1+ )

, b

= b

− β(a1+ + b1+ ).

(3.18)

2μ

1−

2μ

Удобно воспользоваться параметризацией:

1±

= r2 sin2 α

= r2 cos2 α

(3.19)

1±

Используя (3.19) и (3.18), получаем условия совместности

−sin2 α+ <

< cos2

α+ .

(3.20)

2μ

Таким образом, чтобы получить новые точные решения с помощью ПД на фоне решений RS, необходимо использовать (3.17) совместно с дополнительными условиями (3.18) и (3.20). Выберем в качестве опорной функции (3.17). После ПД (3.9) получаем

μ2 −βδ(y) →μ2 + v(±1) −β(1)δ(y) ,

где
(1)		8μ2a	b
v±	= −			.
		(a1±eμy + b1±e−μy )2

Этот потенциал испытывает скачок на бране:

(1)	(1)		β
					a1+ −b1+
v+	(0) − v−	(0) = −4μβ		+					,
			2μ		a	1+	+ b
								1+

который равен нулю, если выбрать натяжение равным

β =	2μ(b1+ −a1+ )			.	(3.21)

	a	1+	+ b
			1+

Однократное одевание RS-браны

Выберем постоянные интегрирования так, чтобы волновая функция описывала основное состояние. Тогда:

& (1)	& (1)	(0)	= −β	(1)	(1)	(1)	(0) ,
ψ1+	(0) −ψ1−	(0)	= −β		ψ1	(0) = +βψ1	(0) ,

как и должно быть в соответствии с (3.13). Используя решения, находим новую метрику

A(±1) =				1				.
		a		eμy + b
			1±				e−μy
				1±
В частном случае (3.21) имеем
A(±1) →	1		e−μ		y	/ 2 , y → ±∞.


	a1+

Можно так выбрать константы, чтобы «одетая» метрика редуцировалась в решение RS-системы (3.6).

Возвращаясь к общему случаю, находим

	(1)	2		3μ2a1±b1±
(φ&	±	)	=		,
				(a1±eμy + b1±e−μy )2

откуда после простого вычисления получаем хорошо известный синус-гордоновский потенциал и решение

						a	1±
φ(y)		= φ		+	3 arctan		1±	eμy	,
φ(y)		= φ		+	3 arctan	b		eμy	,
	±		0±			b
							1±

где появляются дополнительные аддитивные постоянные. Для полноты картины вычислим величину нового натяже-

ния. Простая выкладка дает:

(σ(1)0 )′ = φ&(+1) (0) −φ&(−1) (0) =μ 3 sin(α+ −α− )cos(α+ +α− ).

Отметим, что в случае (3.21)

β = 2μcos 2α+ , α− = α+ + π2 (2N +1) ,

где N — целое число.

Глава 3

Развитие метода

В этом параграфе мы кратко рассмотрим три вопроса, связанных с дальнейшим развитием и обобщением метода: двукратное (n = 2) одевание решений RS, роль форм-инвариант- ности и использование одевающих цепочек дискретных симметрий.

А. Двойное одевание модели RS.

Еще одно решение уравнения Шредингера с λ2 = μ2 −ν2 может быть выбрано в виде:

ψ2± = a2±eνy + b2±eνy , ψ2+ = ψ1(y > 0) ,
ψ2− = ψ1(y < 0) .								(3.22)
Положим
a2− = a2+ + β(a2+ + b2+ ),					b2− = b2+		− β(a2+ + b2+ ).	(3.23)
2ν							2ν
Используя (3.9) для (3.22), получаем
ψ(1)	=				Ω2±		,
ψ(1)	=	a		eμy + b		e−μy	,
2±		a	1±	eμy + b		e−μy
			1±		1±
Ω± = (ν −μ)(a1±a2±e(μ+ν)y −b1±b2±e−(μ+ν)y )+								(3.24)
+(ν +μ)(a2±b1±e(ν−μ)y −a1±b2±e(μ−ν)y ).

Функцию (3.24) будем использовать как опорную функцию для второго ПД. Для порождения нового основного состояния с энергией λ2 < 0 следует выбрать ν >μ > 0 , a2± > 0 и b1± < 0 . В этом случае дважды одетая волновая функция не

имеет узлов. Учитывая (3.23), мы приходим к заключению, что должны выполняться неравенства:

a	2+		2ν		a	2−		2ν
	2+	>		,		2−	>		.
		>		,			>		.
a2−					a2+
a2−			2ν +β β>0		a2+			2ν −β β<0

Развитие метода

Если эти соотношения выполнены, то можно использовать (3.14) и (3.15) для второго ПД, которое приводит к

v(±2)	= μ2		d2	logΩ± , A(±2) =	a	1±	eμy + b	e−μy
		− 2					1±		.
			dy2				Ω±

Можно убедиться, что мы получаем брану с правильным условием сшивки и натяжением, совпадающим с натяжением на исходной бране. Отметим, что новый потенциал имеет два уровня.

Б. Форм-инвариантные потенциалы.

Один из способов генерировать точно решаемые потенциалы заключается в использовании ПД совместно с требованием форм-инвариантности. Это означает следующее: пусть исходный потенциал зависит от y и набора параметров. Если после ПД новый потенциал отличается от исходного только переопределением параметров, то он называется форм-инва- риантным (ФМ) потенциалом. Такие потенциалы широко распространены в квантовой механике. В качестве примера можно указать гармонический осциллятор или безотражательные потенциалы. Для нас важным является следующее наблюдение: все известные точно решаемые бранные потенциалы (для моделей без космологического расширения) оказываются ФМ-потенциалами. Мы ограничимся рассмотрением трех примеров.

а) Показательный суперпотенциал.

Суперпотенциал является экспонентой от полевой функции. Можно показать, что в этом случае потенциал имеет вид

v(y) =	c	,
	(by −a)2

Глава 3

что является хорошо известным ФМ-потенциалом, который преобразуется при ПД мультипликативно, т. е. преобразованный потенциал получается из исходного простым умножением на некоторую (специальную) константу.

б) Четный суперпотенциал.

Для популярной модели DFGK (названной по первым буквам фамилий четырех авторов, впервые исследовавших такие модели) имеем (при A(0) = 1):

log A(y) = − ay3 + g(1−e−2by ).

В этом случае

v(y) = 83 gb(2a −3b)e−2by +16g2b2e−4by + 49a2 .

После ПД

v → v(1) = v − 4 d2 log A dy2

находим

v(1) (y) = 83 gb(2a +3b)e−2by +16g2b2e−4by + 49a2 .

Таким образом, одетый потенциал может быть получен из v изменением знаков перед двумя параметрами (задание читателю: перед какими?). Другими словами, v(y) относится к

типу ФМ-потенциалов.

в) Нечетный суперпотенциал. В этом случае

log A(y) = −ay − by2 .

Вычисление показывает, что

v(y) = 4(2by +a)2 −4b .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]