Элементы современной космологии и теории бран. Учебное пособие

Список возможных объяснений

(Б) В самом деле, потенциалы, приводящие к таким странным решениям, едва ли могут быть получены в рамках квантовой теории поля и даже теории струн, а раз так, то и решения, нарушающие слабое энергетическое условие, не появляются в реальности.

Наверняка такое решение покажется удовлетворительным большинству космологов. Однако (Б) на самом деле сводится к (А). Действительно, рассмотрим систему уравнений Эйнштейна для вселенной с метрикой ФЛРУ — при условии, что вселенная заполнена самодействующим скалярным полем. Если считать, что плотность и давление связаны (алгебраическим) уравнением состояния, то можно исключить обе величины, сведя задачу к одному, сильно нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка для масштабного фактора, которое мы обозначим U(a) . Другими словами, зная

масштабный фактор как функцию времени, можно найти плотность, давление, а значит, функциональную зависимость полевой переменной и потенциала от времени и, следовательно, зависимость потенциала от поля. Что же до масштабного фактора, то он определяется (i) формой уравнения и (ii) начальными условиями. В свою очередь форма уравнения U(a) зависит от формы (алгебраического) уравнения состоя-

ния. Итак, на этом этапе мы свели вопрос о форме потенциала к вопросам об уравнении состояния и начальным условиям.

Что можно сказать об уравнении состояния? На самом деле мы можем использовать любое (алгебраическое) уравнение состояния, если оно не нарушает энергетических условий. Но

у нас как раз проблема с энергетическими условиями. Точнее

втечение некоторого времени все энергетические условия выполняются и лишь потом начинают нарушаться. Но форма уравнения состояния подразумевается не меняющейся со временем. Следовательно, проблема вовсе не в необычном виде уравнения состояния. Ведь вначале это уравнение приводило к динамике, согласованной с энергетическими условиями. Отсюда следует, что все неприятности связаны только с необычными начальными условиями, т. е. (Б) сводится к (А).

51

Список возможных объяснений

рых, интенсивность процесса рождения частиц при фактически постоянном φ будет также стремиться к нулю.

(Д) Когда φ = const, вселенная становится вселенной Де-

ситтера. С другой стороны, модель Деситтера является стационарной (преобразованием координат метрика может быть записана в стационарном виде, с компонентами, не зависящими, от времени). Не может ли быть так, что вселенная становится деситтеровской и остается в этом состоянии навечно?

Идея, безусловно, интригующая, однако выглядит она, по нашему мнению, весьма неправдоподобно. Ясно, что если это действительно так, то происходит нечто странное: в некоторый момент времени t смысл пространственно-временных координат полностью меняется, причем происходит это с точки зрения наблюдателя, живущего в этой вселенной. В частности, время t , измеренное по его часам, перестает быть временем при t > t1 . С нашей точки зрения, такая ситуация выгля-

дит просто нелепо. Тем не менее эту идею, может быть, и не стоит сразу отбрасывать, ибо не исключено, что в будущем ее удастся как-то осмыслить.

(Е) Коль скоро у нас нет никаких указаний на существование особой физики, управляющей начальными условиями, то, может быть, кроме начальных условий следует задавать какую-то дополнительную информацию? Например, не окажется ли более правильным использовать граничные условия не только в прошлом, но и в будущем?

Хотя такая точка зрения может показаться очень странной и экстравагантной, есть определенное указание на то, что в ряде случаев действительно следует задавать финальные, а не начальные условия! Например, так обстоит дело с горизонтами, динамика которых задается именно граничными условиями в будущем (такие условия называют телеологичными). Излучение Хокинга тоже происходит из за наличия горизонта, который с точки зрения наблюдателя в шварцшильдовских координатах находится в бесконечно далеком будущем. Тем не менее это излучение должно фиксироваться наблюдателем,

53

Список возможных объяснений

(З) Что, если уравнения Эйнштейна, которые допускают такие странные решения, просто неверны? Может быть, в простейшем варианте следует дополнить их ка- кими-то слагаемыми, которые существенны лишь при ρ+ p ≈ 0 и малы в остальных случаях?

Идея о том, что уравнения Эйнштейна должны быть как-то дополнены, является в определенном смысле общепризнанной. Согласно современным представлениям, гравитация — один из секторов моделей супергравитации, которая, в свою очередь, является низкоэнергетическим пределом теории струн (в идеале

— всеобъемлющей М-теории). Однако поправки к уравнениям Эйнштейна возникают в однопетлевом приближении и существенны при больших энергиях (например, на планковских масштабах). У нас совершенно другая ситуация: если и в самом деле решения, о которых идет речь, нефизичны из-за того, что мы используем неправильные уравнения, то эти уравнения неправильны уже при низких энергиях. Другими словами, мы неправильно понимаем не физику высоких энергий, а низкоэнергетическую физику. Это выглядит странно и неправдоподобно. Тем не менее такую возможность нельзя исключить на основе одних лишь логических рассуждений. Более того, в современной литературе достаточно широко обсуждается возможность того, что уравнения Эйнштейна следует модифицировать уже на классическом уровне. Наиболее популярны две причины для такой модификации:

1)предполагается, что одна или несколько фундаментальных постоянных меняется со временем;

2)предполагается, что мы живем на бране; при этом скалярное поле не является физическим полем, наподобие электромагнитного, а связано с расстоянием D до соседней браны.

Вторая идея тесно связана с теорией струн и теорией Ди- рихле-бран (D-бран), хотя в чрезвычайно обширной литературе по этой теме обычно используются феноменологические браны, связь которых с D-бранами совершенно неочевидна.

Ктеории бран (феноменологических) мы теперь и обратимся.

55

Глава 3. Теория бран

Постановка задачи

В работах, посвященных космологическим приложениям теории бран, часто рассматривается модель, описывающая семейство параллельных 3-бран, погруженных в объемлющее пятимерное пространство, заполненное гравитацией и скалярным полем. Действие системы имеет вид:

— метрика, заданная на b-й бране; и используется система единиц, в которой гравитационная константа связи κ =1. Натяжение на b-й бране обозначается σb , а потенциал V(φ) счи-

тается функцией от внешнего (bulk) скалярного поля φ = φ(y) .

Решение полевых уравнений, получающихся варьированием (3.1), ищется в виде:

где A(y) — «масштабный фактор», подлежащий определе-

нию, а H = const — эффективный параметр Хаббла на бране. Если H = 0, то брана стационарна, а если H > 0, то имеем брану, расширяющуюся в режиме Деситтера.

56

Постановка задачи

Отметим, что если наблюдаемое космологическое ускоренное расширение порождается ненулевым космологическим членом, то четырехмерная метрика в выражении (3.2) вполне может описыватьнашувселеннуювдостаточнодалекомбудущем.

Получаемая из (3.1) система уравнений может быть записана в «суперсимметричном» виде, если ввести суперпотен-

циал W(φ) , определенный соотношением φ& ≡ W′(φ) / 2 , где

точка обозначает производную по y, а штрих — производную по φ. Если H = 0 , то справедлива формула

Используя это соотношение, некоторые авторы развили простой способ построения точных решений полевых уравнений, суть которого заключается в следующем:

—(i) выбираем V(φ) и W(φ) так, чтобы выполнялось уравнение (3.3);

—(ii) интегрируем уравнение φ& ≡ W′(φ) / 2 и находим зависимость φ = φ(y) ;

A& (y)/A(y)=−W(φ(y)) / 3.

Подставляя в явное выражение для W(φ) найденную функцию φ(y) и интегрируя, получаем искомый A(y) . Знаменитым решениям RS (Randall — Sundrum) соответствует вы-

бор W(φ) = ±a2 = const .

Достоинство описанного метода — в его простоте. Так, в рамках данного подхода легко понять принцип построения несингулярных решений. Рассмотрим случай одной браны,

локализованной при y = y0 . Из уравнения φ& ≡ W′(φ) / 2 можно выразить y как функцию полевой переменной φ:

где φ0 = φ(y0 ) — величина скалярного поля на бране.

57

Постановка задачи

гулярные потенциалы, если опорные функции, входящие в крамовские определители, имеют перемежающиеся нули. Поэтому совершенно естественной выглядит попытка написать непосредственно ПД для полевых уравнений и использовать их для генерации точных решений. Наличие простых алгебраических связей между скалярной кривизной и суперпотенциалом (3.5) показывает, что правильное применение ПД для построения несингулярных потенциалов в ССКМ позволит развить и систематическую процедуру для построения несингулярных решений ( R ≠ ∞ ) в теории бран, которая тем самым будет носить регулярный характер — в отличие от «феноменологического подхода», описанного выше. В частности, для построения бесконечного семейства точных несингулярных решений методом ПД требуется знание лишь одного точного решения такого вида, которое служит «затравкой» для построения всего семейства. Например, в данной работе в качестве «затравочного» решения используется решение RS. Другой способ использования ПД — построение цепочек дискретных симметрий и изучение их замыканий. Применение такой техники позволяет строить новые точные решения, которые выражаются через трансценденты Пенлеве и их высшие обобщения.

Глава организована следующим образом: в следующем параграфе мы рассмотрим преобразования Дарбу и их совместность с условиями сшивки Израэля на бране. Далее мы предъявим некоторые новые точные решения, полученные однократным Дарбу-одеванием решений RS. Обсуждаются двукратные ПД, роль форм-инвариантности и одевающие цепочки. В частности мы покажем, что четные, нечетные и показательные суперпотенциалы, изученные ранее, являются частными примерами форм-инвариантных относительно ПД потенциалов. В следующем параграфе, используя метод Адлера, мы построим нетривиальное обобщение моделей с нечетным суперпотенциалом. Будут вычислены спектр и натяжение на бране. Мы предъявим другое нетривиальное обобщение моделей с нечетным суперпотенциалом: точные решения полевых уравнений, выраженные через четвертую трансценденту Пенлеве.

59