Электротехника и электроника электрические цепи постоянного тока. Практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра электротехники и информационно-измерительных систем

М.С. Анисимова И.С. Попова

Электротехника и электроника

Электрические цепи постоянного тока

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2018

УДК 621.3 А67

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Ф.И. Маняхин

Анисимова М.С.

А67 Электротехника и электроника : электрические цепи постоянного тока : практикум / М.С. Анисимова, И.С. Попова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 52 с.

Представлены задачи по разделу «Электрические цепи постоянного тока» курса «Электротехника и электроника». Изложены основные теоретические сведения, примеры решения типовых задач с пояснениями и задачи для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направле-

ниям подготовки 03.03.02, 09.03.03, 11.03.04, 15.03.02, 15.03.04, 20.03.01, 22.03.01, 22.03.02, 27.03.01, 28.03.01, 28.03.03, 29.03.04 для выполнения до-

машних заданий по курсу «Электротехника и электроника» и подготовки к практическим занятиям.

УДК 621.3

М.С. Анисимова, И.С. Попова, 2018

НИТУ «МИСиС», 2018

2

3

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные понятия, определения и законы

Электрической цепью называют совокупность элементов и устройств, образующих путь для прохождения электрического тока.

Электрическая схема – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и способы их соединения.

Электрическая схема простейшей электрической цепи с источником ЭДС, обладающим внутренним сопротивлением Rвн, и приемником электрической энергии с сопротивлением Rн, представлена на рис. 1.

Рис. 1

Последовательное соединение – неразветвленное соединение нескольких элементов цепи, при котором конец одного элемента соединен с началом другого.

Цепь с последовательным соединением элементов от разветвления до разветвления называется ветвью. Количество ветвей в электрической схеме принято обозначать буквой m. Ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных элементов.

Пример последовательного соединения представлен на рис. 2.

Рис. 2

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно соединенных резисторов равно сумме их сопротивлений:

4

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Узел – место соединения трёх и более ветвей. Число узлов принято обозначать буквой y.

Параллельное соединение – соединение, при котором несколько последовательных ветвей электрической цепи присоединяются к одной паре узлов (рис. 3), т.е. находятся под действием одного и того же напряжения.

Рис. 3

При параллельном соединении двух резисторов R1 и R2 их эквивалентное сопротивление

Смешанное соединение – соединение, представляющее собой комбинацию последовательного и параллельного соединения.

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 4)

в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 5) и обратного преобразования имеют вид

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Независимый контур – контур, в состав которого входят хотя бы одна ветвь, не принадлежащая другим контурам.

5

гому полюсу (отрицательный). Знак падения напряжения на элементе считается положительным со стороны входа тока.

Источник ЭДС на электрической схеме можно заменить источником напряжения, при этом условное положительное направление напряжения источника задается противоположным направлению ЭДС (см. рис. 6, напряжения U1 и U2).

Закон Ома для участка цепи:

I UR .

Для ветви 1–2 (см. рис. 6.) U3 = I3R3 называют напряжением или

падением напряжения на резисторе R3, I3 U3 – ток в резисторе.

R3

Первый закон Кирхгофа: сумма токов в узле равна нулю:

m

Ik 0,

k 1

где m – число ветвей, подключённых к узлу.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка 1: сумма ЭДС в любом контуре электрической цепи равна сумме падений напряжений на всех элементах этого контура, т.е.

где n – число источников ЭДС в контуре;

m – число элементов с сопротивлением Rk в контуре;

Uk – напряжение или падение напряжения на k-м элементе контура, Uk = Ik Rk.

Формулировка 2: сумма напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС, равна нулю, т.е.

m

Uk 0.

k 1

Правильность расчета токов проверяется для любых замкнутых контуров с помощью баланса мощностей источников и приёмников

7

Рист = Рпр.

Сумма мощностей, развиваемых источниками ЭДС, равна сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями

Еn In In2Rn .

Основные методы расчёта сложных электрических цепей

Расчёт электрических цепей с использованием законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа используют, как правило, при расчете относительно простых электрических цепей с небольшим числом контуров, хотя принципиально с их помощью можно рассчитать сколь угодно сложные электрические цепи.

Для определения токов в ветвях электрической цепи необходимо составить систему из n уравнений и решить её относительно токов.

При этом по первому закону Кирхгофа записывают уравнений n = (y – 1) для любых узлов цепи, а недостающие n = m – (y – 1) уравнения записывают по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, где y – количество узлов, m – количество ветвей.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направ-

ленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла, – с противоположным знаком.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1)задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2)выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3)записать уравнение, пользуясь одной из формулировок. Правило знаков. Слагаемые, входящие в уравнение, берут со зна-

ком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если они противоположны. Токи, входящие в узел, берутся со знаком «плюс», выходящие – со знаком «минус».

Метод контурных токов

При расчете цепи этим методом составляют систему уравнений по второму закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Затем по-

8

лагают, что в каждом независимом контуре k протекает свой контурный ток Ikk, условное положительное направление которого совпадает с направлением обхода этого контура. Выразив токи в ветвях через контурные токи, получают систему уравнений для контурных токов.

В общем случае система уравнений для цепи, имеющей n независимых контуров, имеет следующий вид:

R11I11 + R12I22 + R13I33 + … + R1nInn = E11

R21I11 + R22I22 + R23I33 + … + R2nInn = E22

..........................................................

Rn1I11 + Rn2I22 + Rn3I33 + … + RnnInn = Enn,

где E11, E22, E33, .... Enn – контурные ЭДС, равные алгебраической сумме ЭДС в соответствующих контурах. При этом ЭДС считают положительными, если их условные положительные направления совпадают с направлением обхода контура (контурного тока), и отрицательными, если их направления противоположны; R11, R22, R33, ... Rnn – собственные сопротивления тех же контуров, равные сумме сопротивлений всех резисторов, принадлежащих соответствующему контуру;

R12 = R21, R23 = R32, … – взаимные сопротивления контуров. Это сопротивления резисторов смежных ветвей, принадлежащих как первому, так и второму контурам и т. д.

При этом взаимные сопротивления надо принимать:

–положительными,есликонтурныетокивнихнаправленыодинаково;

–отрицательными, если они направлены встречно;

–равными нулю, если контуры не имеют общей ветви.

Число независимых контуров, следовательно, и уравнения, определяют из соотношения n = m – (y – 1), где m – число ветвей, а y – число узлов.

После решения системы уравнений относительно контурных токов определяют токи в ветвях, предварительно задав их условные положительные направления.

Если некоторые токи в ветвях окажутся отрицательными, это означает, что действительные направления токов в них противоположны условно принятым.

Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви электрической цепи можно определить по известным потенциалам узлов, к которым она подключена, или напряжению между этими узлами.

9

Метод расчета электрических цепей, в котором в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Метод более эффективен по сравнению с методом контурных токов в случае, если число узлов в схеме меньше или равно числу независимых контуров, так как в любой электрической цепи потенциал одного из узлов можно принять равным нулю, а число узлов, потенциалы которых следует определить относительно этого узла, станет равным (y – 1).

Система уравнений для неизвестных потенциалов любой электрической цепи, имеющей y узлов, может быть получена из системы уравнений, составленной по первому закону Кирхгофа, если в ней токи в ветвях выразить через потенциалы узлов и в общем случае эта система имеет вид

G11 11 + G12 22 + G13 33 + … + G1n nn = I1n

G21 11 + G22 22 + G23 33 + … + G2n nn = I2n

.......................................................................

Gn1 11 + Gn2 22 + Gn3 33 + … + Gnn nn = Inn,

где n = (y – 1);

1, 2,…, n – потенциалы 1, 2 …, n узлов относительно узла y, потенциал которого принят равным нулю;

G11 – сумма проводимостей всех ветвей, подключённых к узлу 1; G12 = G21 – сумма проводимостей ветвей между узлами 1 и 2, взятая со знаком «минус», если же между узлами нет ветвей, то

принимают G12 = G21 = 0;

I1n – узловой ток, равный сумме токов всех ветвей, содержащих источники ЭДС и подключённых к узлу 1, причём каждый из них определяется по уравнению E/Rветви.

После решения системы относительно узловых потенциалов определяют напряжения между узлами и токи в ветвях по закону Ома.

Метод двух узлов

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое принимают узловое напряжение.

Метод узловых потенциалов особенно эффективен при расчете электрических цепей с двумя узлами и большим количеством параллельных ветвей.

10