Числовые и функциональные ряды. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

мость функциональный

а) X1 (0,1],

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

995 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Решение. Так как x 0, то

lim arctg nx

и предельная функция

f (x) lim (x arctg nx) x.

Отметим, что y 0

справедливы равенства

arctg y arcctg

arctg y arcctg y

и неравенство arctg y y. Используя эти соотношения,

x X

n получим

fn (x) f (x)

x arctg nx x

x x arctg nx

arctg nx x arcctg nx

x arctg

Обозначим

x X

an n ,

n . Тогда

fn (x) f (x)

an ,

n , причем

lim

an lim

1 0.

n n

Согласно теореме 5.1 получаем, что

fn (x) x arctg nx X f (x) 2 x.

Задача 5.4. Исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость в указанном промежутке

fn (x) xn xn 1, 0 x 1.

Решение. Очевидно, что предельная функция

f (x) lim fn (x) lim (xn xn 1 ) 0,

x X [0,1].

Найдем

sup

fn (x) f (x)

sup

xn xn 1

max (xn xn 1 ).

0 x 1

Обозначим r (x) xn

xn 1. Тогда

rn (x) nxn 1 (n 1)xn xn 1(n (n 1)x) 0

в точках

x 0 (при

n 2 ) и

. В точке x

(0,1)

n 1

функция rn (x) достигает абсолютного максимума на отрезке [0, 1]. Следовательно,

sup

0 x 1

откуда

fn (x) f (x)

n 1

1 n

n 1

	fn (x) f (x)	lim	1		1 n	0.

lim sup				1

n 0 x 1		n n 1			n

Поэтому согласно теореме 5.2 получаем, что

fn (x) xn xn 1 f (x) 0.

Задача 5.5. Исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость в указанном промежутке

		fn (x) xn x2n ,			0 x 1.
Решение. Очевидно, что предельная функция
f (x) lim		fn (x) lim (xn x2n ) 0, x X [0,1].
	n		n
Найдем
sup	fn (x) f (x)		sup	xn x2n		max (xn x2n ).


0 x 1			0 x 1			0 x 1

Обозначим r (x) xn x2n . Тогда

rn (x) nxn 1 2nx2n 1 nxn 1(1 2x n ) 0,

если

x 0

(при n 2 ),

x 2

n. В точке

n (0,1) функция

rn (x)

достигает абсолютного максимума на отрезке [0, 1]. Имеем

sup

xn x

1 ,

откуда

0 x 1

lim

sup

xn x2n

0 x 1

Поэтому согласно теореме 5.2 получаем, что

fn (x) xn x2n

f (x) 0.

Задача 5.6. Доказать, что функциональная последовательность

fn (x) xn , n , сходится равномерно на [0, q], где		0 q 1, и
сходится неравномерно на (0, 1).
Решение. Сначала найдем предельную функцию:
x [0,1) lim	fn (x) lim xn 0 f (x).
n	n

Рассмотрим два случая.
1. Пусть X [0, q],	0 q 1.	Тогда x X		и n имеем
	fn (x) f (x)		xn qn .
	fn (x) f (x)		xn qn .

Обозначим an qn , n . Тогда

fn (x) f (x) an , x X и n ,

причем

lim an lim qn 0.

n n

Согласно теореме 5.1 получаем, что

fn (x) xn f (x) 0.

2. Пусть X (0,1). Покажем, что

fn (x) f (x).

Полагаем 0

13. Для каждого n выберем

m n,

x 2

n (0,1).

Тогда

xn 1

1 .

(x ) f (x

)

Отсюда согласно определению 5.3 следует, что

fn (x) xn

f (x)

5.2. Функциональные ряды

Определение 5.4. Если функциональный ряд un (x) сходится

n 1

на множестве X, то предельную функцию S (x) последовательности его частичных сумм Sn (x) на множестве X называют суммой функционального ряда. Таким образом,

S (x) lim Sn (x),		x X .
n
Функция

rn (x) S(x) Sn (x)	uk (x),		x X ,

k n 1

называется n-м остатком сходящегося функционального ряда (см.

также определение 1.1).

Определение 5.5. Говорят, что функциональный ряд un (x)

n 1

равномерно сходится на множестве X, если последовательность его

частичных сумм Sn (x) равномерно сходится к функции S(x) на этом множестве, т.е.

Sn (x) S(x).

Теорема 5.3 (критерий равномерной сходимости функцио-

нального ряда). Пусть функциональный ряд сходится на множестве X. Для равномерной сходимости этого ряда на X необходимо и достаточно, чтобы

rn (x) 0,

или, что равносильно,

lim sup rn (x) 0.

n x X

Теорема 5.4 (достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть функции un (x),

n , определены на множестве Е. Функциональный ряд un (x)

n 1

сходится абсолютно и равномерно на множестве X E, если су-

ществует числовой ряд cn , такой, что:

n 1

1) n и x X : un (x) cn ;

2) ряд cn сходится.

n 1

Замечание 5.1. В случае, когда выполняется первое условие

теоремы 5.4, говорят, что функциональный ряд un (x) мажори-

n 1

руется числовым рядом cn .

n 1

При доказательстве равномерной сходимости ряда un (x) на

n 1

множестве X полезно использовать следующие утверждения.

Теорема 5.5 (критерий

Коши

равномерной

сходимости

функционального ряда). Для того чтобы ряд un (x) равномер-

n 1

но сходился на множестве X необходимо и достаточно, чтобы вы-

полнялось условие: 0 N ( ) : n N

n p

x X

Sn p (x) Sn (x)

uk (x)

k n 1

Если условие из критерия Коши нарушается,

т.е. 0

0 N

n N p x

n p

)

, то ряд не облада-

k n 1

ет на множестве X свойством равномерной сходимости.

Теорема 5.6 (необходимый признак равномерной сходимости

функционального ряда). Если функциональный ряд un (x)

n 1

сходится равномерно на множестве X, то последовательностьun (x) членов этого ряда равномерно сходится к нулю на X.

Следствие 5.1. Из последней теоремы вытекает, что если

X
un (x)	0,	то ряд	un (x) не обладает свойством равномерной

n 1

сходимости на множестве X.

Следующие достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов применяются обычно к условно сходящимся рядам, когда воспользоваться признаком Вейерштрасса не удается.

Теорема 5.7 (признак Дирихле). Пусть функции an (x) и bn (x),

n , определены на	множестве	E.	Функциональный	ряд

an (x)bn (x) равномерно	сходится	на	множестве X E,	если
n 1

выполняются следующие условия:
1) последовательность an (x) монотонна при каждом	x X и
равномерно стремится к нулю на X;

2) последовательность частичных сумм ряда bn (x) ограни-

				n 1
чена на множестве X, т.е. M 0 x E и
		n
		n
n		bk (x)	M .
		k 1
Теорема 5.8 (признак Абеля). Пусть функции an (x) и bn (x),
n , определены на	множестве			E. Функциональнй	ряд

an (x)bn (x) равномерно	сходится на			множестве X E,	если
n 1

выполняются следующие условия:

1) последовательность an (x) ограничена на множестве X (т.е.

M 0	x E и n	an (x)	M ) и монотонна при каждом
M 0	x E и n	an (x)	M ) и монотонна при каждом
x E;

2) ряд bn (x) равномерно сходится на множестве X.

n 1

Задача 5.7. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

	xn		xn 1
				, 1	x 1.
		n	n 1
n 1

Решение. Найдем n-ю частичную сумму ряда:

S (x) x

, S

(x) x

xk 1

xn 1

(x) x

, …,

Sn (x)

k 1

n 1

k 1

Тогда сумма ряда

			xn 1	x, x X [ 1,1].
S(x) lim	Sn (x) lim x
S(x) lim	Sn (x) lim x
n		n	n 1
Поэтому
	sup	Sn (x) S(x)	sup		rn (x)
	sup	Sn (x) S(x)	sup		rn (x)
	x X		x X

sup

xn 1

sup

xn 1

n 1

x X

Поскольку

lim sup	Sn (x) S(x)	lim	1	0,


n x X		n n 1

то по теореме 5.3 функциональный ряд сходится равномерно на множестве X [ 1,1].

Задача 5.8. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд

(1 x)xn , 0 x 1.

n 0

Решение. Найдем n-ю частичную сумму ряда:

(x) 1 x, S (x) 1 x x(1 x) 1 x2 , …,

Sn (x) (1 x)xk 1 xn 1.

k 0

Тогда сумма ряда при x X [0,1] вычисляется так:

1, если0 x 1;

S (x) lim Sn (x) lim (1 xn 1)

0, если x 1.

Отсюда

sup

Sn (x) S(x)

sup

Sn (x) S(x)

x X

x [0,1)

1 xn 1 1

sup

xn 1

xn 1 1.

sup

lim

Вычислим

x [0, 1)

x 1 0

lim sup

Sn (x) S(x)

lim sup

rn (x)

1 0.

n x X

По теореме 5.3 функциональный ряд сходится неравномерно на множестве X [0,1]. В связи с задачей 5.8 отметим следующее.

Замечание 5.2. Если функциональный ряд непрерывных на отрезке функций сходится на этом отрезке к разрывной функции, то такая сходимость не является равномерной.

Задача 5.9. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать абсолютную и равномерную сходимость функционального ряда

un (x) на множестве X, если:

n 1

а) un (x)

arctg nx

X ;

x4 n3 n

б) un (x) sin

X (0; );

в) un (x)

X [0; ).

n4 x2

Решение.

2 , то при тех же x и n име-

а) Так как x n

arctg nx

ем

un (x)

arctg nx

/ 2

x4 n3 n

x4 n3

2n 3 n

Мажорантный числовой ряд

4/3

n 1

2 n 1

сходится. Согласно признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве

X .

б) Воспользуемся

известными

неравенствами

sin y

ln (1 y) y, выполняющимися

y 0.

Получим,

что x 0

un (x)

sin

ln 1

n3/2

Мажорантный числовой ряд

3/ 2

n 1

X(0, ).

в) Найдем

sup	u	n	(x)	sup		x	.


					1	n4 x2
0 x				0 x	1	n4 x2

Решаем задачу на нахождение глобального максимума функции

(x)

на промежутке X [0, ). Запишем (здесь x –

n4 x2

точка экстремума)

(x)

1 n4 x2

xn4 2x

1 n4 x2

(1 n4 x2 )2

если x

Получаем, что

sup

1 n4 x2

2n2

0 x

Мажорантный числовой ряд

cn 1

n 1

2 n 1

сходится. Согласно признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве X [0, ). В этом примере можно обойтись без вычисления про-

изводной, если заметить, что

1 n4 x2 2 1 n4 x2 2n2 x при всех x 0 и n .

Задача 5.10. Исследовать на сходимость и равномерную сходи-

б) X2 (1, ).

Решение. Заметим, что функциональный ряд сходится абсолютно на множествах X1 и X2 . В самом деле, x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]