Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

995 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

при m 2n имеем

I2n	2n 1 I2n 2 ...		(2n 1)(2n 3) ... 1 I0				(2n 1)!! .
	2n			2n(2n 2) ... 2			(2n)!! 2
Из формулы (П2.1) получается формула Валлиса
		1			(2n)!!	2
	lim	1			(2n)!!	.	(П2.2)
	lim					.	(П2.2)
	n 2n 1				(2n 1)!!	2

Докажем ее. При n и 0 x / 2 справедливо неравенство sin2n 1 x sin2n x sin2n 1 x.

Интегрируя в пределах от 0 до 2 , получим

/ 2

sin2n 1 x dx

sin2n x dx sin2n 1 x dx.

Согласно (П2.1) имеем

(2n)!!

(2n 1)!!

(2n 2)!!.

(2n 1)!!

(2n)!!

(2n 1)!!

Вводя обозначения xn , yn ,

запишем

(2n)!!

(2n)!! 2

2n 1

(2n 1)!!

Поскольку в силу последнего двойного неравенства

(2n)!!

2n 2n

(2n

2n 2

1)!!

при n ,

то

lim x

lim y

Первый из полученных

пределов приводит к формуле Валлиса (П2.2).

141

Приложение 3

Формула Стирлинга

С помощью разложения логарифмической функции в степенной ряд можно получить формулу, описывающую асимптотическое поведение факториала n! при n . Эта формула называется формулой Стирлинга и может быть записана в виде

	2 nn 21	n n		n .
n!		2 n	,		(П3.1)
	en
		e

Из разложения логарифмической функции (см. формулу (6.10))

ln (1 x) ( 1)n 1

, 1 x 1,

n 1

следует, что

ln 1 x ln (1 x) ln (1 x) ( 1)n 1

( 1)n 1 ( x)

1 x

n 1

1 x 1.

(П3.2)

2k 1

k 0

Полагая x

, n , и подставляя в (П3.2), получим

...

2n 1

3 (2n 1)2

(2n 1)4

2n 1

n 1

откуда

142

		1		1	1.
n		2	ln 1		1.
		2		n
Потенцируя последнее	неравенство			и	учитывая, что функция
y ln x монотонно возрастает, при всех					n имеем


			1	n		1
						2	e.
1
			n
Положим		n!en
xn
					,		n .
	nn 1/ 2

(П3.3)

(П3.4)

Тогда с учетом (П3.3) получим, что

x	1		1	n 1/2
n	e	1	n		1,

xn 1

т.е. последовательность {xn } убывает, и кроме того, она ограниче-

на снизу: xn 0. Следовательно, существует
	lim x	a.
	n n
Поэтому
xn a (1 n ),			(П3.5)
где lim n 0.
n
Подставим (П3.5) в (П3.4) и запишем
n! a	nn 1/ 2	(1 n ).	(П3.6)
n! a	en	(1 n ).	(П3.6)
	en

Для того, чтобы получить формулу (П3.1), осталось лишь показать,

что a	2 .
Согласно (П3.6) имеем
		(2n)!! [(2n)!!]2		22n (n!)2		n (1 n )2
					a	2 1 2n .	(П3.7)
		(2n 1)!!	(2n)!	(2n)!	a	2 1 2n .	(П3.7)

143

Используем формулу Валлиса (см. прил. 2)

		1	(2n)!!	2
	lim			(П3.8)
2
	n 2n 1		(2n 1)!!

(отметим, что она фактически фигурировала в задаче 7.4). Подставляя (П3.7) в (П3.8), запишем

		1	a2	n	(1	n	)4	a2
	lim					n			,
2	lim	2n 1		2	(1 2n )2			4	,
2	n	2n 1		2	(1 2n )2			4

откуда a 2 . В итоге получена формула Стирлинга (П3.1).

В заключение укажем, что другое доказательство формулы Валлиса, основанное на тригонометрических тождествах, предложено в статье: А.М. Яглом, И.М. Яглом «Элементарный вывод формул

Валлиса, Лейбница и Эйлера для числа » // Успехи матем. наук. 1953. Т. 8. № 5 (57). С. 181–187.

144

Список рекомендуемой литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.

В2-х ч. Ч. 1. 7-е изд. М.: Наука, 2005.

2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.

В2-х ч. Ч. 2. 4-е изд. М.: Наука, 2002.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 2-х т. Т. 1.

М.: Высшая школа, 1981.

4. Ляшко И.И., Боярчук А.К. и др. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. Т. 2. М.: УРСС, 1998.

5.Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды). М.: Факториал, 1996.

6.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математиче-

скому анализу. М.: Астрель, 2002.

7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1986.

9.Теляковский С.А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр III. М.: МИАН, 2013.

10.Методические указания по теме «Числовые ряды. Функцио-

нальные последовательности и ряды» / Сост. И.Л. Гусева, Е.В. Сандракова. М.: МИФИ, 1992.

145

		СОДЕРЖАНИЕ
1.	Числовые ряды. Основные понятия и определения.
Сходимость числовых рядов.....................................................................................			3
2.	Числовые ряды с неотрицательными членами.
Признаки сходимости .............................................................................................			13
3.	Знакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости.
Абсолютная и условная сходимости.......................................................................			28
4.	Области абсолютной и условной сходимости
функциональных рядов...........................................................................................			54
5.	Равномерная сходимость функциональных последовательностей
и функциональных рядов........................................................................................			68
	5.1.	Функциональные последовательности.....................................................	68
	5.2.	Функциональные ряды.............................................................................	74
	5.3. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов...........		85
6.	Степенные ряды ..................................................................................................		92
	6.1. Радиус и интервал сходимости степенного ряда......................................		92
	6.2. Разложение функций в степенные ряды.................................................		101
	6.3. Применение степенных рядов к вычислению пределов
		и определенных интегралов...................................................................	110
7.	Некоторые методы нахождения сумм числовых и функциональных рядов.....		116
	7.1.	Суммирование числовых рядов..............................................................	117
	7.2.	Суммирование функциональных рядов.................................................	126
Приложение 1........................................................................................................			134
Приложение 2........................................................................................................			140
Приложение 3........................................................................................................			142
Список рекомендуемой литературы .....................................................................			145
		146

Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков

Числовые и функциональные ряды

Учебно-методическое пособие

Редактор М.В. Макарова Оригинал-макет подготовлен М.В. Макаровой

Подписано в печать 20.10.2021. Формат 60х84 1/16.

Уч.-изд. л. 9,25. Печ. л. 9,25. Тираж 100 экз.

Изд. № 057-1. Заказ № 50.

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ.

115409, Москва, Каширское ш., 31

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]