Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

995 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

1	,	1	. Так как концы этого интервала – точки	x	1	– лежат
4		4		3,4	4
4		4			4

в интервале	1 ,	1	, то ряд
в интервале	1 ,	1	, то ряд	uk (x) в этих точках сходится, а
	2	2		k 1
					x3,4 1
ряд vk (x) – расходится. Таким образом, в точках					x3,4 1	ис-
m 1					4
ходный ряд будет расходиться.
Отсюда следует,			что множество сходимости заданного степен-

ного ряда – интервал 14 , 14 .

6.2. Разложение функций в степенные ряды

Определение 6.3. Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производные всех порядков, то степенной ряд

f (x )

f (x0 )

(x x

)

f (x0 )

...

f (n) (x0 )

(x x

)n ...

f (n) (x

)

(x x0 )n

(6.5)

n 0

называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x0 .

В случае, когда x0 0, ряд (6.5) называется рядом Маклорена.

Замечание 6.2. Отметим, что ряд Тейлора (6.5) можно записать по-другому (формула Тейлора)

n	f (k ) (x )
f (x)	0	(x x0 )k Rn (x),
f (x)	k!	(x x0 )k Rn (x),
k 0	k!

где Rn (x) – остаточный член, который может быть представлен в

разных формах (Шлемильха–Роша, Лагранжа, Коши, Пеано). Определение 6.4. Говорят, что функция f (x) раскладывается в

степенной ряд в окрестности точки x0 , если существуют действи-

101

тельные числа a0 , a1, …, an , … и положительное число R, такие, что для любого x (x0 R, x0 R) справедливо представление


f (x) an (x x0 )n .	(6.6)

n 0

Теорема 6.5 (необходимые условия разложения функции в ряд Тейлора, единственность разложения). Если функция f (x)

представима в некоторой окрестности точки x0 степенным рядом

(6.6), то эта функция бесконечно дифференцируема (имеет производные всех порядков) в данной окрестности точки x0 , и коэффи-

циенты an однозначно определяются равенством

	f (n) (x )
an	0	,	n ,
an	n!	,	n ,
	n!

т.е. степенной ряд (6.6) является рядом Тейлора функции f (x) в окрестности точки x0 .

Теорема 6.6 (достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора). Если в некоторой окрестности точки x0 функция

f (x) бесконечно дифференцируема и существуют числа M и q, такие, что f (n) (x) Mqn для всех n и для всех x из данной

окрестности точки x0 , то функция f (x) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки x0 :

	f (n) (x )
f (x)	0	(x x0 )n .
f (x)	n!	(x x0 )n .
n 0	n!

Теорема 6.7. Пусть в условиях определения 6.4 число R – радиус сходимости степенного ряда (6.6). Тогда:

1) функция f (x) имеет в интервале (x0 R, x0 R) производ-

ные всех порядков, и они находятся из ряда (6.6) почленным дифференцированием;

2) для любого x (x0	R, x0 R)
x		(x x	0	)n 1
f (t) dt an			0		,
f (t) dt an		n 1			,
x0	n 0	n 1
x0	n 0

102

т.е. внутри интервала сходимости ряд (6.6) можно почленно интегрировать;

3) степенные ряды, полученные из ряда (6.6) при почленном дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и степенной ряд (6.6).

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:

ex 1 x

...

;

(6.7)

n 0

sin x x

... ( 1)n

x2n 1

...

(2n 1)!

x2n 1

( 1)n

;

(6.8)

(2n 1)!

n 0

cos x 1

... ( 1)

x2n

...

(2n)!

( 1)n

;

(6.9)

(2n)!

n 0

4) ln (1 x) x

...

( 1)

n 1 xn

...

( 1)n 1

1 x 1;

(6.10)

n 1

sh x

ex e x

...

x2n+1

...

(2n

1)!

2n 1

;

(6.11)

(2n 1)!

n 0

ch x

ex e x

...

x2n

...

(2n)!

;

(6.12)

(2n)!

n 0

103

7) (1 x)

m(m 1)

...

m(m 1)...(m n 1)

...=

1)...(m n 1)xn ,

m .

1 m(m

(6.13)

n 1

Если

m 0, то

1 x 1;

если

1 m 0, то

1 x 1; если

m 1, то 1 x 1.

Отметим еще, что при

формула (6.13)

превращается в

классическую формулу бинома Ньютона (ряд состоит из конечного числа слагаемых и сходится при x ( , ) ). Приведем некото-

рые частные случаи последней формулы:

8)		1	1 x x2					x3			... ( 1)n xn ...
8)	1	x	1 x x2					x3			... ( 1)n xn ...
	1	x

											( 1)n xn ,								x	1;										(6.14)
											( 1)n xn ,								x	1;										(6.14)
												n 0
		1
9)			1	x x2				x3			... xn ... xn ,											x		1;						(6.15)

	1	x
	1	x																n 0
10)		1		1	1 x					1 3		x2				1 3 5	x3		... ( 1)n (2n 1)!! xn										...
10)		1 x		1	1 x					2 4		x2				2 4 6	x3		... ( 1)n (2n 1)!! xn										...
		1 x			2					2 4						2 4 6											(2n)!!
															(2n 1)!! xn , 1 x 1;
					1 ( 1)n										(2n 1)!! xn , 1 x 1;															(6.16)
								n 1								(2n)!!
11)		1		1	1 x					1 3		x2				1 3 5	x3		... (2n 1)!! xn ...
11)		1 x		1	1 x					2 4		x2				2 4 6	x3		... (2n 1)!! xn ...
		1 x			2					2 4						2 4 6						(2n)!!
																			1 x 1;
						1 (2n 1)!! xn ,													1 x 1;											(6.17)
											n 1			(2n)!!
12)		1 x 1			1	x			1 1			x	2			1 1 3	x	3	... (		1)				n 1		(2n 3)!!	x	n	+… =
12)		1 x 1			2	x			2 4			x			2 4 6		x		... (		1)						(2n)!!	x		+… =
					2				2 4						2 4 6												(2n)!!

				1				x	( 1)n 1 (2n 3)!! xn												,		x			1;		(6.18)
								x

							2			n 2						(2n)!!
							2			n 2						(2n)!!

104

13) 1 x 1

1 x

1 1

1 1 3

x3 ...

(2n 3)!! xn ...

2 4

2 4 6

(2n)!!

(2n 3)!! xn ,

(6.19)

n 2

(2n)!!

Задача 6.7. Разложить функцию

f (x)

3x 4

x2 x 6

в степенной ряд с центром в точке x0 0 и найти радиус сходимо-

сти полученного ряда.

Решение. Представим функцию f (x) в виде суммы элементарных дробей

		f (x)						3x 4												3x 4											A								B			.
		f (x)					x2 x					6					(x 2)(x								3)					x		2					x				3	.
							x2 x					6					(x 2)(x								3)					x		2					x				3
Находим A и B:
	A	3x 4							6 4 2, B													3x 4											9 4										1.
	A	3x 4							6 4 2, B													3x 4											9 4										1.
Итак,		x 3				x 2				5														x 2						x 3								5
		x 3				x 2				5														x 2						x 3								5
				3x 4								2								1							1				1				1
				3x 4								2								1							1								1						.
				x2 x 6							x		2							x 3									x												.
																									1				x		3			1					x
																									1						3			1
																													2									3
Используя формулы (6.14) и (6.15), запишем
															n
															n
					1										x			, если						x	1,					т.е.				x			2,
					1										x									x
							x								n								2
				1			x			n 0				2
						2				n 0				2
						2
																				n
																				n
	1		1					1	( 1)n										x		, если					x			1,			т.е.						x		3.
	1		1					1											x							x
					x														n
	3				x			3 n 0									3									3
	3	1			3			3 n 0									3									3
		1			3
Таким образом, при											x		2
Таким образом, при											x		2
f (x)		3x			4										xn												xn									( 1)n								1		xn .
f (x)																			( 1)n																											xn .
	(x 2)(x 3)									n 0				2		n				n 0						3		n 1				n 0						3		n 1				2	n
	(x 2)(x 3)									n 0				2						n 0						3						n 0						3						2

105

Степенной ряд функции f (x) получен суммированием степенных рядов с радиусами сходимости R1 2, R2 3, поэтому согласно теореме 6.4 имеем R min {R1, R2} 2.

Задача 6.8. Разложить функцию f (x) в степенной ряд с центром в точке x0 0 и найти радиус сходимости полученного ряда:

а) f (x) arctg x;

б) f (x) 2xarctg x ln (1 x2 ) 3.

Решение.

а) Найдем производную функции f (x) :

f (x) (arctg x) 1 1x2 .

Заменив в формуле (6.14) переменную x на x2 , получим

( 1)

f (x)

n 0

если

1. Интегрируя последний ряд почленно, имеем

x2n 1

f (x) f (0) f

(t) dt arctg0

( 1)

1 t

2n 1

n 0

Радиус сходимости R 1.

б) Заметим, что

f (x) 2arctg x

2arctg x.

1 x2

Согласно предыдущему пункту а) запишем

2n 1

2arctg x 2

( 1)n

2n 1

n 0

Почленно интегрируя последний ряд, получим

f (x) f (0)

arctg t dt

(t) dt 3 2

106

	x	t2n 1		( 1)n x2n 2
3	2( 1)n		dt 3		,	x	1.
		2n 1		(2n 1)(n 1)	,	x	1.
		2n 1		(2n 1)(n 1)
n 0	0		n 0

Радиус сходимости R 1.

Отметим, что справедливость полученных в пунктах а) и б) разложений на концах интервалов сходимости следует из второй теоремы Абеля (см. разд. 7).

Задача 6.9. Разложить функцию

f (x) ln x3 x6 9

в степенной ряд с центром в точке x0 0 и найти радиус сходимости полученного ряда.

Решение. Полагаем x3 z, тогда

f (x) ln x3 x6 9 g(z) ln z z2 9 .

Найдем производную функции g(z) :

											1		1
										z2 9						z2 .
							g (z)			z2 9			1			z2 .
												3
												3				9
																9
Заменив в формуле (6.16) переменную x на																z2	, запишем
Заменив в формуле (6.16) переменную x на																9	, запишем
																9
						1				1					n	(2n 1)!! z2n
		g (z)									1	( 1)
		g (z)						z2		3	1	( 1)				(2n)!!		9	n
				3			1	z2		3		n 1				(2n)!!		9
				3			1	9
								9
при	z2	1,		т.е.	z		3.


	9															g(z) полученный ряд
	9
Для нахождения разложения функции
почленно проинтегрируем:
			z						1				n (2n 1)!!						z2n 1
									1		( 1)		n (2n 1)!!						z2n 1
g(z) g(0)				g (t) dt ln 3						z											,	z	3.
g(z) g(0)				g (t) dt ln 3						z											,	z	3.
									3		n 1			(2n)!!(2n				1) 3		2n 1
			0						3		n 1			(2n)!!(2n				1) 3

107

Возвращаясь к переменной x, получим

1 x3

( 1)

(2n 1)!!

6n 3

f (x) ln

x6 9

ln 3

(2n)!! (2n 1)

n 1

32n 1

3 3.

Радиус сходимости R 3 3. Задача 6.10. Разложить функцию

f(x) 1 x1 x2

встепенной ряд с центром в точке x0 0 и найти радиус сходимо-

сти полученного ряда.

Решение.

1-й способ. Представим функцию f (x) в виде суммы элементарных дробей

f (x)		1	1		1	1	1	,

		x x2	(x x1)(x2 x)	x2
	1				x1 x2	x	x x1

где	x 1		5 , x	5 1	, x	x	5, x x 1. Полученные

	1	2	2	2	2	1	1	2

числа x1, x2 – корни квадратного уравнения 1 x x2 0. Используя формулу (6.15), запишем

n 1

x2 x

x2 1

x2 n 0

n 0

1 1

n 1

x x1

x1 1

x1 n 0

n 0

xx2 ,

xx1 .

Поэтому при	x	min {x ,	x	} x	2	5 1	справедливо разложе-
						5 1

		2	1			2
ние						2
ние

108

		1					xn						xn		1					1			1
f (x)																								xn
f (x)		5		xn 1					xn 1						5							xn 1		xn
		5		xn 1					xn 1						5				xn 1			xn 1
			n 0			2			n 0			1				n 0				2			1
	1		xn 1		xn 1					n		1						n 1			n		n 1			n
				1		2		x		n				( x1)				n 1			n		n 1		x	n
																				( 1)			x2				.
	5		(x x				)n 1						5							( 1)			x2				.
		n 0		1		2								n 0
Итак,
						1														5 1
		f (x)									cn xn ,						x					,					(6.20)

					1 x x					2										2
					1 x x								n 0							2

где

			1	1	5	n 1		5 1	n 1
										,
c	n						( 1)n
c							( 1)n
		5		2				2
		5		2				2

Радиус сходимости R	5 1	.
Радиус сходимости R	2	.
	2
2-й способ. Запишем формально
	1
	1			cn xn ,
	1 x x		2	cn xn ,
	1 x x			n 0

или

(1 x x2 ) cn xn 1.

n 0

n = 0, 1, 2, … .(6.21)

(6.22)

Преобразуем левую часть полученного равенства (6.22) так:


cn xn cn xn 1		cn xn 2	cn xn	cn 1xn
n 0	n 0	n 0	n 0	n 1

cn 2 xn c0 c1x		cn xn c0 x cn 1xn cn 2 xn
n 2		n 2	n 2	n 2

c0 (c1 c0 )x (cn cn 1 cn 2 )xn .

n 2

Приравнивая в (6.22) коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

c0 1,

c1 c0 0,

cn cn 1 cn 2 0,

n 2.

109

Перепишем эти соотношения в эквивалентном виде

c0 c1 1,

cn 1 cn 1 cn ,

n .

(6.23)

Рекуррентное правило (6.23) задает последовательность Фибоначчи. Явное представление этой последовательности в виде (6.21) – так называемая формула Бине. Полученное разложение (6.20) означает, что

f (x) 1 x1 x2

является производящей функцией чисел Фибоначчи. Таким образом,

		1				5 1
f (x)				cn xn ,	x		,

			2
	1	x x	2			2
	1	x x		n 0		2

где коэффициенты cn определяются по формуле (6.21) и образуют последовательность чисел Фибоначчи:

c0 c1 1,

c2 2,

c3 3,

c4 5,

c5 8,

c6 13, … .

6.3.Применение степенных рядов к вычислению пределов

ипреобразованию интегралов

1. Вычисление пределов

При вычислении пределов раскладываем функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Задача 6.11. Вычислить

lim

2ex 2 2x x2

x sin x

x 0

Решение. При x 0 запишем

ex 1

o(x3 ),

sin x x

o(x4 ).

Тогда

lim

2ex 2 2x x2

x sin x

x 0

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]