Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

995 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	1		1	n
lim				2	0	e q 0.
		lim 1	n

n	n 1 n

Так как q 1,

то по теореме 2.5 (признак Даламбера) данный ряд

сходится.

2-й способ. Согласно формуле (2.4) получаем

lim

n an lim

lim

q 0.

n n n!

n n / e

Так как q 1,

то по теорме 2.6 (признак Коши) данный ряд сходит-

ся.

Задача 2.10. Исследовать на сходимость ряд

2 1!

...

2n n!

... .

1-й способ. Имеем

2n n!

, a

n 1

2n 1 (n 1)!

(n 1)n 1

n 1

2n 1 (n 1)!

2nn

(n 1)n 1

(n 1)n

Вычислим

an 1

2 q.

lim

Так как q 1, то по теореме 2.5 (признак Даламбера) данный ряд

сходится.

2-й способ. Применим теорему 2.6 (признак Коши) с использованием формулы (2.4).

Вычислим

					1
lim	n a	lim	2n n! n

				n
n	n		n
		n

lim	2 n n!	2 lim	n / e	2	q.
	n		n	e
n		n

Так как q 1, то по теореме 2.6 (признак Коши) данный ряд схо-

дится.

Задача 2.11. Исследовать на сходимость ряд

1 3 1

1 3 5 1

1 3 5 7 1

...

(2n 1)!! 1 ... .

2 4 2

2 4 6 3

2 4 6 8 4

(2n)!!

Решение. Отметим, что по определению

(2n)!!

2 4 6 8 ... 2n 2n n!,

(2n 1)!! 1 3 5 7 ... (2n 1)

(2n)!

n .

(2.5)

(2n)!!

Имеем

2n n!

(2n 1)!!

1 ,

(2n 1)!!

an 1

(2n 2)!!

(2n)!!

n 1

(2n 1)!!

n(2n)!!

(2n 1)n

2n2 n

(2n 2)!!

n 1

(2n 1)!!

(2n 2) (n 1)

2n2 4n 2

Вычислим

lim

n 1

lim

2n2

1 q.

2n2

4n 2

Так как q 1, то теорема 2.5 (признак Даламбера) не дает ответа на

вопрос о сходимости исходного ряда (может оказаться, что ряд или сходится, или расходится).

Применим теорему 2.7 (признак Раабе). Вычислим

2n2 4n 2

lim n

2n2

an 1

lim

3n2 2n

2n2 n

Так как q 1, то согласно признаку Раабе исходный ряд сходится.

Задача 2.12. Исследовать на сходимость ряд

nn!ep ,

p .

n 1

Решение. Имеем

n! en

an 1

(n 1)! en 1

nn p

(n 1)n 1 p

n!en

(n 1)n 1 p

1 n p

nn p

(n 1)!en 1

an 1

exp

exp (n p) ln 1

1 (n

p) ln 1

p 1 / 2

exp 1

(n p)

exp

2n2

p 1

при

Вычислим

p 1 / 2

lim n

lim

n o

Согласно теореме 2.7 (признак Раабе) данный ряд будет сходиться,

если q 1,

т.е. p 1

или p

3 ;

расходиться, если q 1, т.е.

p 3 .

При q 1,

т.е.

требуется дополнительное исследова-

ние.

n! en

При p

получаем ряд

. Используя формулу Стир-

n 3/ 2

n 1

линга (2.3), запишем

n!en

2 n

при n .

2 n

nn 3/2

nn 3/ 2

n3/2

Так как 1, то по теореме 2.4 (частный признак сравнения) этот ряд расходится.

Таким образом, исходный ряд сходится, если p 32 , и расхо-

дится, если p 32 .

Задача 2.13. Исследовать на сходимость обобщеннй гармонический ряд

	1
		,	p .
	p
n 1	n

Решение. Если p 0, то функция

f (x) x1p

положительна и убывает на промежутке [1, ), поэтому согласно

теореме 2.8 (интегральный признак Коши–Маклорена) ряд 1p

n 1 n

и несобственный интеграл dx либо оба сходятся, либо оба рас-

1 x p

ходятся.

При p 0, p 1 имеем

1 p

dxp

lim

dxp

lim

B 1 p

при

p 1;

1 p

lim

p 1

0 p 1.

при

Поэтому при p 1 интеграл (и ряд) сходится, а при 0 p 1 – расходится.

При p 1 получим

	dx		B	dx			1B lim
		lim			lim	ln x		ln B ,

1	x	B	1	x	B		B

т.е. интеграл (и ряд) расходится. Если p 0, то

lim a

lim

lim n p

n n p

поэтому по следствию 1.1 из теоремы 1.3 ряд

расходится.

n 1

Таким образом, исходный ряд сходится, если

p 1, и расходит-

ся, если p 1.

Задача 2.14. Исследовать на сходимость ряд

p .

n 2

n ln

Решение. При

p 0

функция

f (x)

положительна и

xln p x

убывает на промежутке [2, ),

поэтому согласно теореме 2.8 (ин-

тегральный признак Коши–Маклорена) ряд

и несоб-

n 2

n ln

ственный интеграл

либо оба сходятся,

либо оба расхо-

x ln

дятся. Исследуем такой интеграл на сходимость.

Запишем

B d (ln x)

d (ln x)

lim

x ln

Пусть ln x t, тогда

x1 2

t1 ln 2,

x2 B t2 ln B.

Имеем

ln B

dtp

1 p

ln B

lim

x ln

ln 2

B 1 p

ln 2

если 1 p 0,

т.е.

p 1. При

0 p 1

имеем

. От-

метим, что при

x ln

p 0 интегральный признак Коши–Маклорена

также можно применить, однако проще использовать теорему 2.2 (1-й признак сравнения), согласно которой ряд расходится, так как при n 2, p 0 справедлива оценка

ln p n ln p 2 . n n

Таким образом, исходный ряд сходится, если p 1, и расходит-

ся, если

p 1.

Задача 2.15. Исследовать на сходимость ряд

n 2

ln n!

Решение. При n 2

справедливо неравенство

ln n! n ln n. По-

этому запишем

n ln n

ln n!

Ряд bn

расходится согласно теореме 2.8 (интеграль-

n ln n

n 2

ный признак Коши–Маклорена, см. задачу 2.14). Поэтому согласно

							1
теореме 2.2 (1-й признак сравнения) исходный ряд an							1
теореме 2.2 (1-й признак сравнения) исходный ряд an							ln n!
также расходится.					n 2	n 2	ln n!
также расходится.
Задача 2.16. Исследовать на сходимость ряд
			1
			1		.
	ln	2		1	.
n 1	ln		sin	n
				n

Решение. Поскольку

sin x

то

sin

n .

Следовательно,

ln sin

Поскольку обе части последнего неравенства положительны, то

								ln	2			1			2 n
								ln		sin		n	ln			2		.
												n				2
Отсюда с учетом неравенства
								ln		n			n		n ,
								ln					2		n ,
										2			2
получаем
			1				1						2				2		1	при n .
	ln	2		1	ln	2		n					n				n ln n			при n .
		2		1		2		n					n				n ln n
			sin					2			n ln			2
				n				2						2
Так как p 1, то ряд
														2
														2
														n
										n 1				n
										n 1		n ln			2
															2

расходится (см. задачу 2.14). Поэтому согласно теореме 2.2 (1-й признак сравнения) исходный ряд также расходится.

3. Знакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости.

Абсолютная и условная сходимости

Определение 3.1. Числовой ряд


an	(3.1)

n 1

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей


an .	(3.2)

n 1

Определение 3.2. Числовой ряд an называется условно схо-

n 1

дящимся, если ряд (3.1) сходится, а ряд из модулей (3.2) расходится.

Теорема 3.1. Из сходимости ряда из модулей (3.2) вытекает сходимость исходного ряда (3.1).

Теорема 3.2 (теорема Дирихле). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3.3 (теорема Римана). Если ряд сходится условно, то путем соответствующей перестановки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (и даже расходящийся ряд).

Теорема 3.4 (признак Лейбница). Ряд


	an ( 1)n 1 bn		(3.3)
	n 1	n 1
сходится, если:
1) bn 0,	n ;	28
		28

2) последовательность bn монотонно убывает, т.е. b1 b2 b3 ... bn ...;

3) lim bn 0.

Замечание 3.1. В условиях признака Лейбница для n-го остатка ряда (3.3)

rn S Sn ( 1)k 1 bk ( 1)n bn 1 ( 1)n 1 bn 2 ...

k n 1

справедлива оценка

rn bn 1.

Замечание 3.2. Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 3.4, часто называют рядом Лейбница.

Более тонкими признаками сходимости знакопеременных рядов являются признаки Дирихле и Абеля.

Теорема 3.5 (признак Дирихле). Ряд unvn сходится, если

n 1

выполняются следующие условия:

1) последовательность {un} монотонно стремится к нулю при n ;

2) частичные суммы ряда vn ограничены в совокупности, т.е.

n 1
	n
	n
M 0, такое, что n выполнено неравенство	vk	M .
	k 1

Теорема 3.6 (признак Абеля). Ряд unvn сходится, если вы-

n 1

полняются следующие условия:

1) последовательность {un} монотонна и ограничена;

2) ряд vn сходится.

n 1

Задача 3.1.
а) Доказать, что не	существует абсолютно сходящегося ряда

an , для которого ряд	an2 расходится.
n 1	n 1

б) Привести пример условно сходящегося ряда an , для кото-

n 1

рого ряд an2 расходится.

n 1

Решение.

а) 1-й способ. Будем доказывать методом от противного, т.е.

предположим, что существует абсолютно сходящийся ряд an ,

n 1

для которого ряд

an2 – расходящийся. Тогда согласно теоре-

n 1

ме 1.3

(необходимое

условие

сходимости числового ряда)

lim

Поэтому

n0 , такой,

что

n n0 выполнено не-

Отсюда имеем a2

, n n . По теореме 2.2

равенство

(1-й признак сравнения) ряд an2

сходится. Полученное противо-

n 1

речие доказывает утверждение.

2-й способ. Будем опять доказывать методом от противного.

Последовательность частичных сумм Sn(1)

ряда

является

n 1

ограниченной сверху по

теореме

2.1. Частичные суммы рядов

и an2 соответственно имеют вид

n 1

S (1)

...

S (2)

... a2 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]