Числовые и функциональные ряды. Сборник задач (практикум)

ким образом, область сходимости ряда для функции ln 1 x

задается

неравенством

1 x 1 .

3. Оценить погрешность приближенного равенства

ex 1

x

x2

...

xn

.

1!

2!

n!

Решение.

Погрешность этого приближенного равенства определяется сум-

мой членов, следующих после

xn

в разложении ex :

n!

xn 1

xn 2

xn 3

или

rn

...

n 1 !

n

2 !

n

3 !

xn

x

x2

x3

rn

... .

n 1 n 2

n

1 n 2 n 3

n! n

1

Заменим каждый из сомножителей

n 2, n 3, n 4,... меньшей ве-

личиной n 1 ;

выражение в квадратных скобках только увеличится,

следовательно

r

xn

x

x

2

x

3

... .

(*)

n

n!

n 1

1

n

1

n

xn

x n 1

, т.е.

r

xn

x

.

(***)

r

n

n! 1

x n 1

n

n! n 1

x

1

1

1

1

e e2

1

... .

1! 2

2! 22

3! 23

31

1

1

1

...

1

e

1! 2

2! 22

n! 2n

не превышала 0,00001. Для оценки будем использовать выраже-

ние (***) из предыдущего примера. Полагая x

1

, получим

2

r n

1

1 2

или

r

1

1

.

n!2n

n 1 2

n!2n

2n

n

1

Путем подбора определим, при каком значении n будет выпол-

няться неравенство

rn

0,00001.

Полагая,

например, n 3 , получим

r3 1 6 8 7 или

r3 1 336 , убеждаемся, что трех членов ряда недоста-

точно. При n 5

r5 1

120 32 11 или r5 1 42240,

т.е. недостаточно и пяти

членов. А вот при n 6

получаем r6 1

720 64 13

или r6 1 599040, требу-

емая точность r6

1 100000 достигается.

Итак, принимаем n 6 :

1

1

1

1

1

1

.

e 1

2

3

4

5

6

1!2

2!2

3!2

4!2

5!2

6!2

1. Показать, что для функций

у sin x

и у cos x область сходимо-

сти рядов Маклорена x , .

2. Найти область сходимости ряда

Маклорена для функции

y arctg x . Ответ:

x 1,1 .

3. Функцию y 1 x e x 1 x ex

разложить в ряд Тейлора в окрест-

ности точки x 0

и указать область его сходимости. Пользуясь разло-

жением, найти сумму ряда

1

2

n

...

... .

3!

5!

2n 1 !

32

3

5

2n 1

Ответ: 4

x

2x

...

nx

... ;

x , ;

1

.

2n 1 !

3!

5!

2e

4. Вычислить

1

с точностью до 0,00001.

e

свойством периодичности:

существует такое T 0 , что f x T f x .

Сразу заметим, что если T

— период, то периодом является и любое

Если функция f x имеет период

T , то функция f ax имеет пе-

риод

T

, т.к.

a

T

f a x

f ax

T f ax .

a

Заметим еще, что для периодической функции с периодом T име-

ет место равенство:

c T

T

f x dx f

x dx ,

c

0

Эти простые гармоники имеют период

2

. Если функция имеет

период

2

, то частоты гармоник надо выбирать так, чтобы

n

2

2 ,

Таким образом, ряд Фурье функции

f x с периодом 2

имеет вид:

f x

a0

a cos x b sin x a

cos2x b

sin 2x ... a

cosnx b

sin nx ...

2

1

1

2

2

n

n

a0

an cosnx bn sin nx .

(1)

2

n 1

1

1

1

a0

f x dx,

an

f x cosnxdx,

bn

f x sin nxdx,

(2)

c

c

f x — четная,

f x dx 2 f

x dx, если

c

0

c

если f x

— нечетная.

f x dx 0,

c

2

2

a0

f x dx,

an

f x cosnxdx,

bn 0,

n 1,2,3,...;

(3)

0

0

2

a0 0,

an 0,

bn

f x sin nxdx,

n 1,2,3,....

(4)

0

f x

a0

– для четной функции:

an cosnx, n 1,2,3,...;

(5)

2

n 1

– для нечетной функции:

f x bn sin nx,

n 1,2,3,....

(6)

b

2

f x sin nxdx

2

sin nxdx

1

sin nxdx

cosnx

n

4

2

2n

0

0

0

0

n

1

cos0 cosn

1 1

при n четном,

n

2n

2n

0

при n нечетном.

Таким образом, b

1,b

0,b

1

,b

0, ... и разложение имеет вид

1

2

3

3

4

2

, x 0, ,

x

, считая ее периодической с периодом 2 . Тогда

f x

,0

x2 , x

она при

x 0,

совпадает с заданной функцией,

а ее ряд Фурье со-

держит только синусные гармоники, т.е. a0 a1 a2 ... 0 .

Найдем коэффициенты синусных гармоник:

2

x sin nxdx

2

2

bn

f

x2 sin nxdx

J .

0

0

Интеграл

J

вычислим два раза по частям:

x

2

u, 2xdx du

x2

x2 sin nxdx

1

cosnx

2

x cosnxdx 2 cosn

0

sin xdx dv, v

cosnx

n

0

n

0

n

n

x u, dx du

2

2

x cosnxdx

1

1 n

2

x sin x

1

sin nxdx

cos xdx dv, v

n

sin nx

n

n

n

0

n