Числовые и функциональные ряды. Сборник задач (практикум)

Задачи с решениями

1. Исследовать сходимость ряда геометрической прогрессии. Решение.

Из школьного курса математики известна геометрическая про-

Ну а студент, изучивший теорию пределов, легко даст ответ на

вопрос: при каких значениях q существует и конечен предел s lim sn ?

n

(Мы, разумеется, не обсуждаем тривиальный случай a 0 , когда все члены геометрической прогрессии, ее частичные суммы и предел s

n 2 lg n

Решение.

Поскольку члены нашего ряда положительны и lg 2 2, lg 3 3, lg 4 4 , и вообще lg n n , то для сравнения возьмем гармонический ряд. То-

ветствующих членов расходящегося гармонического ряда. На основании признака сравнения ряд расходится.

Решение.

Опять сравним наш ряд с гармоническим. Для всех натуральных n выполняется неравенство

1n n1 ,

Данный ряд расходится.

Решение.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом геометрической прогрессии

оказался конечным числом, следовательно, исследуемый ряд расходится, как и гармонический.

13

который сходится (см. задачу 3). Вычислим предел отношения

Таким образом, исследуемый ряд сходится по предельному признаку сравнения.

Решение.

Это классический пример исследования с помощью интегрального признака Коши. Рассмотрим интеграл

J 1 dx .

1 x

14

Тема 2. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Краткая теоретическая справка

1. Абсолютная и условная сходимость Все признаки сходимости, рассмотренные в теме 1, справедливы

для рядов с положительными членами.

1.1. Знакопеременным называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.

Пусть задан знакопеременный ряд

n 1

Если в этом ряде имеется лишь конечное число отрицательных (или положительных) членов, то, отбросив их, получим ряд из членов одного знака. Отбрасывание или добавление конечного числа членов не изменяет его сходимости (или расходимости). Поэтому интерес представляют только те ряды, в которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов, что мы в дальнейшем и будем предполагать.

Обозначим через

ряд, полученный из (1) заменой всех отрицательных членов нулями, при этом расположение (нумерация или индексы) положительных членов оставлено без изменения, а через

лями и отрицательных — своими модулями. Рассмотрим также ряд, составленный из модулей всех членов ряда (1):

Справедлива следующая теорема. Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (3), (2) и (1). При этом

s s1 s2 ,

17

где s – сумма данного ряда, а s1 и s2 — суммы рядов (2) и (3).

1.2. В математике различают два вида сходимости знакопеременных рядов: абсолютную и условную. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4), составленный из модулей его членов. Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (4), составленный из модулей его членов, расходится.

2. Знакочередующиеся ряды 2.1. Если знаки членов ряда чередуются, тогда ряд представляет-

ся в виде:

n 1

Такие ряды называются знакочередующимися.

2.2. Сходимость знакочередующихся рядов исследуется с помощью следующего достаточного признака Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (5) члены таковы, что

виям теоремы Лейбница, то легко оценить погрешность, которая получится, если заменить его сумму s частичной суммой sn . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с n 1 -го. Но эти числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше его первого члена, т.е. . Значит, погрешность не превосходит по модулю первого отброшенного члена.

Замечание 2. В формулировке теоремы Лейбница требуется, чтобы абсолютная величина общего члена ряда стремилась к нулю монотонно, т.е. каждый последующий член ряда по модулю должен быть меньше предыдущего. Ели это не так, то признак Лейбница может не гарантировать сходимость ряда: ряд может как сходиться, так и расходиться.

18

20