Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Сборник задач (практикум)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

x 1 2

Тема 3. Функциональные ряды и их сходимость. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Краткая теоретическая справка

1. Пусть u1 x ,u2 x ,...,un x ,... — некоторая последовательность функций. Выражение вида

	x u1 x u2	x ... un	x ...
un				(1)

n 1

называется функциональным рядом.

Если в ряде (1) положить x x0 , где x0 — некоторое число, то получим числовой ряд


un x0 u1 x0 u2 x0 ... un x0 ... .		(2)
n 1
Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0 , если
числовой ряд (2), полученный из ряда (1) подстановкой		x x0 , являет-
ся сходящимся рядом. При этом x0	называется точкой сходимости
ряда (1).
Пример 1. Функциональный ряд

xn 1 x x2	... xn ...

n 0

сходится в точке и расходится в точке x 2 , т.к. соответствующие числовые ряды являются рядами геометрической прогрес-

сии со знаменателями q 1			2			и		q 2 .
Пример 2. Исследовать на сходимость функциональный ряд
		2x 1			1	2x 1 2						1	2x 1	n
										...				...
		3x 2								...				...
		3x 2			2	3x		2				n	3x 2
в точках x 1 и	x 2 .
Подставим x 1	и x 2					и исследуем на сходимость соответству-
ющие числовые ряды. При				x 1 получим ряд
	1			1 1			2	...	1		1 n		...,


	5			2 5					n		5

который сходится в силу признака Даламбера, т.к.

1 n 1

1 n

1 .

lim

n 1

5 n n 1 5

При x 2 получим числовой ряд

5	1	5 2	...	1	5 n	...,


4	2	4		n	4

который по признаку Даламбера расходится, т.к.

	1	5	n 1
lim
		4
n	n 1

	1	5	n	5		n	5
								1.
:					lim
	n
		4		4 n n 1 4

Областью сходимости функционального ряда (1) называется множество всех точек его сходимости.

2. Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки x области сходимости, т.е. является некоторой функцией f x . Разумеется, область определения функции f x совпадает с областью сходимости данного ряда. Можно сказать (в математике так и говорят),

что ряд (1) сходится к функции f x и что для функции f x имеет место разложение

f x un x u1 x u2 x ... un x ...

вобласти сходимости ряда (1).

Например, ряд 1 x x2 ... xn ... является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q x , следовательно, для x 1;1 сумма

этого ряда равна функции f x 1 1 x . Таким образом, при x 1;1

имеет место разложение

11 x x2 ... xn ... .

3.Как и в случае числовых рядов, для функционального ряда (1)

можно составить последовательность частичных сумм

s1 x ,s2 x ,...,sn x ,...,

где sn x u1 x u2 x ... un x . В каждой точке x из области сходимости ряда (1) его сумма f x равняется пределу последовательности частичных сумм при n :

f x lim sn x .

Ряд

un 1 x un 2 x ...	(3)
называется n-м остатком ряда (1). Область сходимости этого

ряда совпадает с областью сходимости ряда (1); сумму rn x ряда (3) тоже называют остатком ряда (1), причем

f x sn x rn x ,

(4)

откуда следует, что при n rn x 0 .Кроме того, из (4) получаем

rn x

f x sn x

rn x

т.е.

представляет собой абсолютную погрешность прибли-

жения f x sn x .

4. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в

некоторой области D , если для любого

0 найдется такой номер N ,

не зависящий от x , что при n N выполняется неравенство

sn x s x

где

sn x и s x – частичная сумма и сумма ряда (1).

5. Достаточный признак равномерной сходимости (Вейерштрасса):

Функциональный ряд un x сходится равномерно при x

D , если

n 1

ему можно сопоставить сходящийся числовой ряд vn с положи-

n 1

тельными членами, такой, что

un x

vn .

6. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

an x x0 n a0 a1 x x0 a2 x x0

2 ... an x x0 n ...,

(5)

n 0

где

x – независимая переменная,

– фиксированное число,

a0 ,a1 ,a2 ,...,an ,... – постоянные коэффициенты.

Пример 1. Следующие функциональные ряды

а)

3 1

x 2

3 2

x 2 2 ...

3 n

x 2 n ...,

б)

... 1 n

x2n 1

...

2n 1

являются степенными рядами. Здесь:

2, a

3 n

при

n N;

б)

x0 0, a0 0, a2k

0, a2k 1

1 k 1

для всех k N .

Коэффициенты степенного ряда могут быть действительными или комплексными числами. В дальнейшем будем считать их действительными.

Если сделать замену x x0 t , то степенной ряд (5) примет вид


ant n a0 a1t a2t 2 ... ant n ... .
n 0
Следовательно, при изучении степенных рядов можно считать
x0 0 и ограничиться изучением рядов вида

an xn a0 a1 x a2 x2 ... an xn ... .	(6)

n 0

7. Область сходимости степенного ряда.

Рассмотрим довольно часто встречающуюся ситуацию, когда в степенном ряде (6) начиная с некоторого номера N все an 0 . Если к такому ряду применить признак Даламбера, то получим: ряд (6) сходится абсолютно, если

n 1

xn 1

lim

1, lim

lim

n 1

lim

R .

un x

a xn

an 1

Величина

lim

(7)

an 1

называется

радиусом

сходимости (по

Даламберу),

интервал

R,R — областью абсолютной сходимости ряда. Другое выражение для R можно получить, если воспользоваться признаком Коши:

R lim	1		.	(8)


n n	a	n

Вычисления по формулам (7) и (8) дают одинаковый результат; на практике используют ту формулу, которая в конкретной ситуации более удобна. На границах области сходимости, т.е. при x R , ряд может как сходиться, так и расходиться, так что требуется дополнительное исследование.

Задачи с решениями

1. Найти область сходимости ряда

	x	n		x		x	2		x	n
			1					...			... .

n 0	n!		1!		2!				n!

Решение.

Составим ряд из абсолютных значений членов ряда

меним к нему признак Даламбера. Для любого x

имеем:

lim

un 1 x

lim

xn 1

lim

n 1 ! n!

n n 1

	x	n
	x		и при-
	n!		и при-
n 0	n!

Следовательно, исследуемый ряд						сходится абсолютно на всей
числовой оси.
2. Найти область сходимости ряда

	1	1	1	1	...		1	... .
	n			2			n
n 0 x			x	x			x

Решение.

Данный ряд является рядом геометрической последовательности со знаменателем q 1x . Следовательно, он сходится при 1x 1 , т.е. при

x 1 . Таким образом, областью сходимости этого ряда является множество ; 1 1; .

3. Показать, что ряд

sin x 212 sin2 2x 312 sin3 3x ... n12 sinn nx ...

сходится равномерно при x R .

Решение.

Так как

1		n		1		и ряд		1	1	... сходится, то данный ряд
	sin		nx				1
n2					n2			22	32

сходится равномерно при всех x .

4. Найти область сходимости ряда

1 x 2! x2

3! x3

... n! xn ... .

Решение.

R lim

lim

0 .

n 1

n n 1 !

n n 1

Данный ряд сходится только в точке x 0 .

5. Найти область сходимости ряда

...

... .

2 22

n 2n

1 2

Решение.

Снова воспользуемся определением радиуса сходимости по Даламберу

					an						1						1											2 n 1					2 ,
					an						1						1											2 n 1
		R lim		an 1			lim					n	:			n 1 2				n 1			lim							n
			n	an 1				n n 2								n 1 2									n					n
т.е. ряд сходится в интервале 2,2 . Исследуем ряд на сходимость
в концах интервала. При x 2 получаем числовой ряд
	2		22			23		...			2n				...			или						1			1			1	...				1	...;
	1 2	2	22			3 23				n 2n															2 3										n
Это гармонический ряд, который расходится. При																																					x 2			прихо-
дим к ряду
								1	1			1		...				1 n				... ,
								1						...								... ,
								2				3							n
который сходится по признаку Лейбница.
Итак, областью сходимости является промежуток																																			2,2 .
6. Исследовать сходимость ряда																	1				x		2			x2			...				n				xn	... .
6. Исследовать сходимость ряда																													...									... .
																	2			2			3		22							n 1					2n
																																					n
Коэффициенты ряда задаются выражением																															an								.	Найдем
Коэффициенты ряда задаются выражением																															an			n 1 2n					.	Найдем

радиус сходимости по формуле Коши:

R lim

lim

2 lim n

n 1

2 .

n n

n 1 2n

x 2

При

получаем числовой ряд

3 4 ..., который расходится,

т.к. нарушено необходимое

условие

сходимости lim an 1 0

. При

x 2

получается числовой ряд 2

5 ...

и опять необходимое

условие сходимости не выполняется. Таким образом, данный ряд сходится при x 2,2 .

Задачи для практических занятий

1. Найти области сходимости рядов.

ln x ln2 x

... lnn x ... .

Ответ:

,e .

x x4

... xn2 ....

Ответ: x 1,1 .

x 1,1 .

Ответ:

n 1n

Ответ:

x 1,1 .

n 1

x ; 1 1; .

Ответ:

n 1

x 1,1 .

Ответ:

n 1 n

x , .

sin

Ответ:

n 1

2. Найти области сходимости степенных рядов.

					Ответ: x 0,1;0,1 .
1) 10n xn .					Ответ: x 0,1;0,1 .
	n 1
			x	n			x 1,1 .
2)	1 n		x		.	Ответ:
2)	1 n		n		.	Ответ:
	n 1		n
	n 1
		xn					x 10,10 .
3)					.	Ответ:
3)					.	Ответ:
	n 1n 10n 1
							27


4)	n! xn .			Ответ:
	n 1
		n 1 .
5)	2x2	n 1 .		Ответ:
	n 1
				x2n 1
6)	1 2n 1				.
6)	1 2n 1		2n 1 2n 1 !		.
	n 1		2n 1 2n 1 !
	n 1

x 0 .

	1		1
x		;		.


	2		2

x , .

1 3x ... n 1 3n 1 xn 1 ... .

Ответ:

;

ln 2

ln 3

...

ln n 1

xn 1

.... Ответ:

x 1,1 .

n 1

Тема 4. Ряд Тейлора. Разложение основных функций в ряд Тейлора. Вычисление приближенных значений функций

Краткая теоретическая справка

1. Ряд Тейлора.

Всякая функция, бесконечное количество раз дифференцируемая в некотором интервале x x0 r , т.е. при x0 r x x0 r , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тей-

лора

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0 2

...

f ( n ) x0

x x0 n

... ,

(1)

если в этом интервале выполняется условие

lim R x lim

n 1 c

x x n 1 0 ,

n n 1 !

где

Rn x остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда),

c x0 x x0 ,

0 1 .

При x0

0 получается ряд Маклорена:

f x f 0

f 0

f x0

x2 ...

f ( n ) 0

xn ... .

(2)

Если в некотором интервале,

содержащем точку x0 , при любом n

выполняется условие

f n x

M , где M – положительная константа, то

lim Rn 0

и функция

f x разложима в ряд Тейлора.

2. Разложения в ряд Маклорена некоторых функций:

...

...,

x x3

x2n 1

sin x

... 1 n 1

...,

2n 1 !

x2 n 1

cos x

... 1 n 1 2 n 1 ! ...,

ln 1 x x

1 n 1

...

... ,

...

1 n 1

x2n 1

arctg x x

... .

2n 1

un 1

Пользуясь изложенной ранее методикой, можно найти области сходимости каждого из этих рядов.

3. Использование степенных рядов для приближенных вычислений Приведенные выше разложения функций в степенные ряды можно использовать для приближенных вычислений. При этом в ряде

удерживают какое-то число членов, а остальные отбрасывают. Для оценки погрешности такого приближения необходимо оценивать сумму отброшенных членов. Если ряд состоит из членов одного знака, то обычно ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической последовательностью. Если ряд знакочередующийся, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка rn un 1 , где – первый из отброшенных членов ряда.

Задачи с решениями

1. Показать, что ряд Маклорена для функции

y ex

сходится на

всей числовой оси, т.е. для него R .

Решение.

Поскольку коэффициенты ряда задаются выражением

, то

R lim

lim

n 1 !

lim n 1 .

an 1

Найти

область сходимости ряда Маклорена

для

функции

y ln 1 x .

ешение.

В этом случае an

1 n 1

, поэтому

R lim

lim

n 1

1 . Иссле-

an 1

дуем ряд на границах интервала 1;1 .

При x 1 числовой ряд имеет

вид

...

..., т.е. представляет собой гармонический ряд,

взятый со знаком минус. Этот ряд расходится. При x 1 имеем число-

вой ряд	1	1	1	1	..., который сходится по признаку Лейбница. Та-
вой ряд	1	2	3	4	..., который сходится по признаку Лейбница. Та-
		2	3	4
					30

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]