Рис. 3.5. Результаты имитационного моделирования
Анализируя полученные графики, можно сделать вывод о корректном протекании процесса роста толщины цинкового покрытия до значения в 50 мкм на поверхности катода за минимально возможную длительность процесса 77.67 мин. При незначительном и/или краткосрочном изменении температуры t
толщина покрытия δ на выходе меняется также незначительно.
Контрольные вопросы
1.Что представляет собой задача оптимизации? Сформулируйте примеры постановок задач оптимизации различных параметров гальванических процессов с точки зрения различных целевых критериев.
2.Перечислите основные численные методы оптимизации функции многих переменных (нулевого, первого и второго порядков). В чем заключаются их преимущества и недостатки?
46
3.Поясните понятие имитационного моделирования. Какие основные характеристики случайных процессов требуются для его реализации?
4.Какие алгоритмы генерации псевдослучайных чисел существуют? Каковы их преимущества и недостатки?
5.Поясните состав схемы имитационного моделирования. Каков принцип работы блока анализа?
6.Перечислите основные алгоритмические конструкции, используемые в программной реализации алгоритмов оптимизации многомерных функций и имитационного моделирования исследуемых процессов.
47
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ОБЪЕМЕ ЭЛЕКТРОЛИТА
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТОЛЩИНЫ ПОКРЫТИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ДЕТАЛИ
Величина осажденного металла на участке поверхности детали при электрохимическом осаждении зависит от плотности тока и времени обработки. Так как плотность тока в электролите всегда неравномерна, что связано с разными расстояниями до различных участков детали-катода от анода, увеличенной напряженностью электрического поля у острых углов заготовки, рассеивающей способностью электролита, различной его температурой и содержанием компонентов в различных участках ванны, то на поверхности детали толщина слоя покрытия также будет неравномерна (рисунок 4.1а). Вследствие этого на острых внешних углах детали происходит значительно большее осаждение покрытия, а острые внутренние углы могут вообще оказаться непокрытыми (рисунок 4.1б). Внутренние же полости изделия могут экранироваться от протекающего сквозь электролит тока выступающими внешними поверхностями детали.
а) |
б) |
Рис. 4.1. Распределение силовых линий в сечении электролита (а)
и получаемое неравномерное покрытие (б) на фрагментах поверхности катода
48
Неравномерность толщины покрытия можно оценить критерием, предложенным Л.И. Каданером, который определяет отношение среднего распределения толщины осажденного ме-
талла δ по поверхности изделия Sk к заданной минимальной толщине слоя δmin:
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
δ |
|
, |
|
|
|
|
|
(4.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δmin |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
δmin, |
δ |
– минимальная по регламенту и средняя толщина |
||||||||||||||||||
покрытия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В свою очередь рассчитать среднюю толщину покрытия |
||||||||||||||||||||
можно исходя из закона М. Фарадея: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= Э |
η |
|
( |
|
|
,t,C ,C |
|
,...) |
|
|
Τ, |
(4.2) |
||||
|
|
|
δ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
k |
|
|
k |
|
1 |
|
2 |
|
|
k |
|
|
||
где |
Э – |
электрохимический эквивалент металла покрытия; |
|||||||||||||||||||
T – длительность процесса электролиза; ρ – плотность металла покрытия; ik – средняя катодная плотность тока. Выход металла
по току зависит, как правило, от плотности тока ik , температу-
ры t электролита и концентрации j-ых компонентов Cj электролита.
Для расчета средней катодной плотности тока существуют математические модели, рассматривающие гальванический процесс как объект с рассредоточенными координатами, согласно которым:
|
k = |
|
|
1 |
|
|
|
|
∫ik (x,y,z)dSk , |
(4.3) |
|
i |
|||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Sk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (x, y, z) – координаты точки в пространстве гальванической ванны, принадлежащей поверхности Sk изделия.
Плотность тока на поверхности анода Sa и катода Sk вычисляются исходя из закона Г.С. Ома в дифференциальной форме:
ia (x,y,z)= χgradϕ(x,y,z) |
|
, |
(4.4) |
||
|
|||||
|
|
|
|
SaSk , |
|
ik (x,y,z)= −χgradϕ(x,y,z) |
|
(4.5) |
|||
|
|||||
|
|
||||
49
где χ – удельная электропроводность электролита; grad – вектор направления наибольшего возрастания функции; φ – распределение потенциала электрического поля в пространстве гальванической ванны.
Распределение потенциала электрического поля в объеме электролита задается дифференциальным уравнением П.-С. Лапласа эллиптического вида:
∂2ϕ(x,y,z)+ ∂2ϕ(x,y,z)+ ∂2ϕ(x,y,z)
∂x2 ∂y2 ∂z2
с условием на границе «изолятор-электролит»:
∂ϕ(x,y,z) |
|
|
|
= 0 , |
|
∂n |
|
Sins |
|
|
|
= 0 , (4.6)
Sel
(4.7)
с условием на границе «анод-электролит»: |
|
||||
ϕ(x,y,z)+ Fa (ia (x,y,z)) |
|
Sa = U , |
(4.8) |
||
|
|||||
|
|
||||
с условием на границе «катод-электролит»: |
|
||||
ϕ(x,y,z)+ Fk (ik (x,y,z)) |
|
Sk = 0 , |
(4.9) |
||
|
|||||
|
|
||||
где Sel – пространство электролита; Sins – поверхность стенок гальванической ванны; n – нормаль к стенкам поверхности ванны; U – напряжение питания; Fa, Fk – функции анодной и катодной поляризации соответственно.
Для решения системы уравнений (4.1) – (4.9) будем использовать метод конечных разностей, итерационные методы и методы вычисления интегралов криволинейных поверхностей.
Разделим пространство ванны сеткой Ω, однородной по координатам x и z, а, в общем случае, неравномерной по координате y, которая показывает межэлектродное расстояние. Пространство гальванической ванны, разбитое неравномерной сеткой, представлено на рисунке 4.1. Здесь X, Y, Z – ширина, глубина и высота гальванической ванны, Nx, Ny, Nz – количество дискретов, определяющих величину шага сетки; xi, yj, zk – координаты узла сетки, имеющего порядковый номер i,j,k.
50
Рис 4.1. Разбиение пространства ванны неравномерной сеткой
Метод конечных разностей основан на делении области ячеек на сетку квадратных или прямоугольных элементов и решение уравнения конечной разности для потенциалов в каждой точке сетки. Данный метод относительно прост для реализации, и его точность зависит от размера ячеек в разностной формуле. В общем случае более тонкая сетка приводит к более точным результатам, поскольку ошибка пропорциональна h2 (согласно разложения Тейлора), где h – размер линейной сетки. Однако вычислительная сложность и требования к объему оперативной памяти быстро растут с уменьшением величины h для построения сетки. Сетка может быть прямоугольной, так что hx не обязательно должно быть равно hy. Кроме того, размер сетки может варьироваться в зависимости от положения электродов в ванне для обеспечения необходимого разрешения в различных участках. Расширение представляет собой адаптивную сетку с шагом hy(j), в которой сетка регулируется с учетом определенных геометрических характеристик (например, угла) или изменений плотности тока.
51
Применяя конечно-разностную форму производной к каждой точке сетки в области электролита уравнение Лапласа (4.6) примет вид:
ϕi+1, j,k −2ϕi, j,k +ϕi−1, j,k + ϕi, j+1,k −2ϕi, j,k +ϕi, j−1,k + ϕi, j,k+1 −2ϕi, j,k +ϕi, j,k−1 |
= 0 .(4.10) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
h2x |
|
|
|
|
|
h2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hz2 |
|
|
|
||
|
Выразим из (4.10) значение потенциала ϕi, j,k в (i,j,k) точке |
|||||||||||||||||||||||
и получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕi, j,k = |
1 |
ϕi+1, j,k |
+ϕi−1, j,k |
+ |
ϕi, j+1,k |
+ϕi, j−1,k |
+ |
ϕi, j,k+1 +ϕi, j,k−1 |
|
, (4.11) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
q |
h2 |
|
q |
h2 |
|
|
|
|
q h2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
q = |
|
1 |
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
. |
|
|
(4.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2x |
h2y |
|
hz2 |
|
|
|
||||||
Условие (4.7) на границе электролита с воздухом и стенками гальванической ванны заменится системой уравнений:
ϕ |
1, j,k |
−ϕ |
0, j,k |
|
= 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
hx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ |
Nx, j,k |
−ϕ |
Nx-1, j,k |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
hx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ |
i,1,k |
−ϕ |
i,0,k |
= 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
hy |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
−ϕi,Ny-1,k |
||||||||||
ϕi,Ny,k |
= 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
hy |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕi, j,1 −ϕi, j,0 |
= 0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
hz |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ |
i, j,Nz |
−ϕ |
i, j,Nz-1 |
= 0 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
hz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия (4.8), (4.9) соответственно примут вид:
ϕ |
i,j,k |
+ F (ia |
) |
|
= U , |
|
|
a i,j,k |
|
Sa |
|||
ϕ |
i,j,k |
+ F (ik |
) |
|||
|
= 0 . |
|||||
|
k i,j,k |
|
|
Sk |
||
|
|
|
|
|
||
(4.13)
(4.14)
(4.15)
52
Получается объемная система уравнений (4.11)-(4.15), которую требуется решить. Например, на сетке NXxNYxNZ равной 30x30x30 получается 27000 уравнений, которые необходимо решить. Однако каждое уравнение имеет не более 6 неизвестных. Применение прямых методов решения систем уравнений такой размерности не представляется возможным. Неизвестные потенциалы решаются с помощью численной итерационной процедуры.
Для решения конечно-разностного уравнения доступен ряд итерационных численных методов. Выбор конкретного метода зависит в большой степени от умений программиста, от типа ЭВМ и требуемой скорости получения результата. К наиболее используемым методам относится метод релаксации. К преимуществам метода релаксации следует отнести требуемое минимальное пространство оперативной памяти. Для хранения NXxNYxNZ точек со значениями потенциалов необходимы только NXxNYxNZ действительных 4 байтных чисел (тип данных float). Метод заключается в следующем. Первоначальное приближение потенциала подбирается согласно, например, φ = 0 или φ = U/2 и присваивается всем точкам сетки. Поскольку данное приближение не идеально, то правая часть уравнения (4.15) не будет равна нулю, а иметьвеличиину R некоторой невязки. Далее вычисляются невязки во всех точках (i,j,k), принадлежащих поверхности Sk, и выбирается величина наибольшей из них. Затем величина данной невязки устанавлива-
ется равной нулю путем пересчета потенциалаϕi,j,k в данной точке
на эквивалентное значение с учетом величины катодной поляризации Fk. При этом остальные потенциалы остаются нетронутыми. Затем невязки вычисляются снова, и описанная выше процедура повторяется до тех пор, пока величина всех невязок находится в пределах требуемой величины. Итерации повторяются до тех пор, пока плотность тока на катоде не превышает заданной погрешности, величина которой, как правило, составляет 10-4 или меньше.
Анодная и катодная плотности тока, вычисляемые согласно (4.8) и (4.9), также подлежат замене разностным аналогом. Данные выражения содержат скалярные произведения градиента электрического потенциала по нормали к поверхности, кото-
53
рые следует заменить через отношение разности потенциалов между близкой точкой к поверхности (примем ее за pφ и потен-
циал в ней φ~ ), находящейся в направлении нормали и текущей точки φi,j,k к расстоянию L между этими точками:
k |
χ ~ |
|
||
ii, j,k = − |
|
(φ−φi, j,k ). |
(4.16) |
|
L |
||||
|
|
|
||
Поверхности электродов имеют более сложную конфигура-
цию, чем поверхности изоляторов, поэтому предлагается вычис-
~
лить значение φ посредством билинейной интерполяции четы-
рех смежных точек с потенциалами φ00, φ01, φ10, φ11:
~ |
00 |
+(1 |
− t1)t2φ |
01 |
+ t1(1 |
10 |
11 |
, (4.17) |
φ = (1− t1)(1− t2 )φ |
|
|
− t2 )φ |
+ t1t2φ |
где t1, t2 – коэффициенты билинейной интерполяции. Пояснение принципа вычисления разностного аналога ка-
тодной плотности тока демонстрируется на рисунке 4.2.
Рис. 4.2. Демонстрация разностного аналога формулы для расчета плотности тока по поверхности катода
54
При расчете первичного или вторичного распределения плотности тока на границах «электролит-электрод» наблюдаются экспоненциальные зависимости, которые подвергаются линеаризации относительно потенциала от предыдущей итерации.
Для улучшения скорости сходимости в методе релаксации итерационная формула (4.11) преобразуется к виду:
ϕi,(qj,+k1) = ωϕi,(qj,)k +(1−ω)ϕi,(qj,−k1), |
(4.18) |
где q = 1,2,3,… – номер итерации; ω – релаксационный параметр, находящийся в диапазоне 0 < ω < 2.
Несколько общих наблюдений при подборе значения параметра ω для (4.18): для значений ω близких к 0 итерационный процесс сходится, а при значениях ω близких к 2 ошибка сходимость процесса принимает колебательный характер и итерационная схема становится неустойчивой. Следует заметить, что релаксационная схема редко расходится, однако скорость сходимости может быть достаточно низкой. Для прямоугольной геометрии гальванической ванны оптимальное значение релаксационного параметра ω для наивысшей скорости сходимости итерационного процесса можно вычислить согласно:
ω = |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. (4.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
2 |
|||||||
2 + |
4 |
- cos |
|
|
|
+cos |
|
|
|
+cos |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
NX -1 |
|
|
NY -1 |
|
|
NZ -1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Однако в случае расчета потенциала в непрямоугольной ванне значение релаксационного параметра ω можно оценить только с помощью численных экспериментов.
Рассмотрим реализацию решения системы уравнений (4.1)- (4.19) методом релаксации на языке программирования С.
float CalcThickness(char *** Map, const int Nx, const int Ny, const int Nz)//функция получает трехмерный массив с геометрией поверхностей электродов и их расположения в ванне
{
//объявляем используемые переменные
float w, k1, k2, k3, v=0.01, maxI, maxInext, maxU, koeffI, Happa, max;
55
float Hx=0.5, Hy=0.5, Hz=0.5;//величина шага сетки по коор-
динатам X,Y,Z (см)
int a=0, iterI, i, j, k, uu=0, lenX, lenY, lenZ; lenX=Nx;//количество точек в сетке по оси X (шт) lenY=Ny;//количество точек в сетке по оси Y (шт) lenZ=Nz; //количество точек в сетке по оси Z (шт) float eps1=0.0001;//точность расчета по потенциалу (В)
float eps2=0.0001;//точность расчета по плотности тока
(А/см^2)
//инициализируем их начальными значениями w=4/(2+pow(4-pow(cos(M_PI/(lenX-1))+ cos(M_PI/(lenY-1))+
cos(M_PI/(lenZ-1)),2),0.5));// расчет релаксационного параметра k1=1/(2*pow(Hx,2)*(1/pow(Hx,2)+1/pow(Hy,2)+1/pow(Hz,2)))
;//расчет k2=1/(2*pow(Hy,2)*(1/pow(Hx,2)+1/pow(Hy,2)+1/pow(Hz,2)))
;//итерационных k3=1/(2*pow(Hz,2)*(1/pow(Hx,2)+1/pow(Hy,2)+1/pow(Hz,2)))
;//коэффициентов
Happa=0.435; //удельная электропроводность (См/см) koeffI=Happa/Hy;//коэффициент для расчета плотности
тока в (4.16)
Сформируем начальное распределение потенциала φ в узлах сетки, описывающей пространство ванны Ω, и плотностей тока ia и ik на поверхностях электродов Sa и Sk:
for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
{
fi[i][j][k]=0; finext[i][j][k]=0; ik[i][j][k]=0; iknext[i][j][k]=0;
}
Для разграничения в пространстве ванны ее стенок, поверхностей анода и катода, а также объема электролита предлагается
56
использовать следующую геометрическую модель рецепторного типа:
|
0, если i, j,k Sins |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, если i, j,k Sel |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Map[i][j][k] = 2, если i, j,k Sa |
|
|
, (4.20) |
|
|
|
|
|
|
3, если i, j,k Sk |
|
илиS |
|
|
4,если i, j,k внутриS |
a |
k |
|
|
|
|
||
где |
Map – трехмерный массив, описывающий пространство |
|||
ванны.
Рассчитаем начальное распределение плотности тока на электродах:
for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
if ((Map[i][j][k]==2)||(Map[i][j][k]==3))//если i,j,k узел сетки принадлежит аноду или катоду
{
if ((Map[i][j][k]==2) koeffI=fabs(koeffI);//значение коэффици-
ента >0 для анода
if ((Map[i][j][k]==3) koeffI=-fabs(koeffI);//значение коэффи-
циента <0 для анода
if(Map[i-1][j][k]==1)//если слева по i узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i-1][j][k]-fi[i][j][k]);//рассчитываем плотность тока по формуле (4.16)
else
if(Map[i+1][j][k]==1)//если справа по i узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i+1][j][k]-fi[i][j][k]); else
if(Map[i][j-1][k]==1) //если слева по j узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i][j-1][k]-fi[i][j][k]); else
57
if(Map[i][j+1][k]==1)//если справа по j узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i][j+1][k]-fi[i][j][k]); else
if(Map[i][j][k-1]==1)//если слева по k узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i][j][k-1]-fi[i][j][k]); else
if(Map[i][j][k+1]==1)//если справа по k узел, принадлежащий электролиту
ik[i][j][k]=koeffI*(fi[i][j][k-1]-fi[i][j][k]); iknext[i][j][k]=ik[i][j][k];//запоминаем вычисленное значение
плотности тока для следующей итерации
}
Реализуем метод релаксации для расчета распределения потенциала и плотности тока:
iterI=1;//счетчик количества итераций do {
maxI=maxInext; for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
//обсчитываем плотность тока if (a==0) ik[i][j][k]=iknext[i][j][k];
else ik[i][j][k]=w*ik[i][j][k]+(1-w)*iknext[i][j][k]; do
{
//обсчитываем потенциал for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++) fi[i][j][k]=finext[i][j][k]; for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++)
58
for(k=0;k<lenZ;k++)
{
//граничные условия (4.13) if(i==0) finext[i][j][k]=fi[i+1][j][k];
if(i==(lenX-1)) finext[i][j][k]=finext[i-1][j][k]; if(j==0) finext[i][j][k]=fi[i][j+1][k]; if(j==(lenY-1)) finext[i][j][k]=finext[i][j-1][k]; if (k==0) finext[i][j][k]= finext[i][j][k+1];
if (k==(lenZ-1)) finext[i][j][k]= finext[i][j][k-1]; if(Map[i][j][k]==4) finext[i][j][k]=finext[i][j-1][k];//граничное
условие «внутри электрода»
if(Map[i][j][k]==2) finext[i][j][k]= U-F1(ik[i][j][k]);
//граничное условие (4.14)
if(Map[i][j][k]==3) finext[i][j][k]=-F2(ik[i][j][k]); //граничное условие (4.15)
if(Map[i][j][k]==1)finext[i][j][k]=fi[i][j][k]+w*(k1*(finext[i- 1][j][k]+fi[i+1][j][k])+k2*(finext[i][j- 1][k]+fi[i][j+1][k])+k3*(fi[i][j][k-1]+fi[i][j][k+1])-fi[i][j][k]);
//граничное условие (4.11)
}
Вычисляем норму величины отклонения распределения потенциала на предыдущей и следующей итерациях и повторяем описанные ранее итерации до тех пор, пока ее величина не превышает требуемой точности:
maxU=max=0; min=220; for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
{
if(fabs(finext[i][j][k]-fi[i][j][k])>maxU) maxU=fabs(finext[i][j][k]-fi[i][j][k]); if(finext[i][j][k]>max) max=finext[i][j][k]; if(finext[i][j][k]<min) min=finext[i][j][k];
}
}while(maxU>eps1);
59
После расчета итерационного цикла по потенциалу переходим к расчету нового значения плотности тока:
for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
if ((Map[i][j][k]==2)||(Map[i][j][k]==3))
{
if(Map[i-1][j][k]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i-1][j][k]-finext[i][j][k]); if(Map[i+1][j][k]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i+1][j][k]-finext[i][j][k]); if(Map[i][j-1][k]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i][j-1][k]-finext[i][j][k]); if(Map[i][j+1][k]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i][j+1][k]-finext[i][j][k]); if(Map[i][j][k-1]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i][j][k-1]-finext[i][j][k]); if(Map[i][j][k+1]==1) iknext[i][j][k]=koeffI*(finext[i][j][k+1]-finext[i][j][k]);
}
Вычисляем норму величины отклонения распределения плотности тока на предыдущей и следующей итерациях и повторяем описанные ранее итерации до тех пор, пока ее величина не превышает требуемой точности:
maxInext=0; for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++) if (Map[i][j][k]==3)
if(fabs(iknext[i][j][k]-ik[i][j][k])>maxInext) maxInext=fabs(iknext[i][j][k]-ik[i][j][k]); if((maxI<maxInext)&&(iterI!=1)) a=1; iterI++;
}
while(maxInext>eps2);
60
Рассчитаем толщину покрытия на поверхности катода для
гальванического никелирования в электролите Уоттса: |
|
float E=1.09; //электрохимический эквивалент |
никеля |
(г/(А*ч)) |
|
float Ro=8.907; //плотность никеля (г/cм^3) |
|
float nu=0.98; //выход по току
float koiefT=E/Ro*nu*10000/3600;//коэффициент для сни-
жения количества умножений в формуле (4.2) for(i=0;i<lenX;i++)
for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++) if(Map[i][j][k]==3)
{
tolsh[i][j]=koiefT*(iknext[i][j]);//расчет толщины покрытия в узле i,j,k в мкм/сек
if(tolsh[i][j]<mint)mint=tolsh[i][j];//поиск минимальной тол-
щины покрытия
}
Далее возможно осуществить расчет длительности электролиза до получения δmin требуемой величины:
float dop; |
|
dop=tzad/mint; |
|
tauzad=dop/3600;//часов |
|
Или возможно просчитать величину δmin, |
осажденную |
в результате требуемой длительности T процесса электролиза: |
|
dop=tauzad;//секунд |
|
tauzad/=3600;//часов |
|
mint=1000000000;//начальное значение минимальной тол- |
|
щины |
|
for(i=0;i<lenX;i++) |
|
for(j=0;j<lenY;j++) |
|
for(k=0;k<lenZ;k++) |
|
if(Map[i][j][k]==3) |
|
{ |
|
tolsh[i][j][k]=tolsh[i][j][k]*dop;//домножение |
получаемой |
толщины на требуемое значение |
|
61
if(tolsh[i][j][k]<mint)mint=tolsh[i][j][k]; //поиск минимальной толщины покрытия
}
Для вычисления итогового значения критерия неравномерности формулу (4.1) необходимо заменить как отношение суммы неравномерности покрытий во всех рассчитанных точках к их общему количеству:
|
R = |
1 |
∑ |
δi, j,k |
, |
(4.21) |
||
|
N |
|
δ |
|
||||
|
|
k i, j,k Sk |
min |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Nk – общее число узлов сетки, принадлежащих поверх- |
|||||||
ности катода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда расчет критерия неравномерности примет вид: |
||||||||
float R=0;//начальное значение критерия неравномерности |
||||||||
(4.21) |
kol_t=0;//количество точек на |
поверхности катода, |
||||||
int |
||||||||
в которых осуществляется расчет for(i=0;i<lenX;i++) for(j=0;j<lenY;j++) for(k=0;k<lenZ;k++)
if(Map[i][j][k]==3)//если узел i,j,k принадлежит поверхности катода
{
R+=tolsh[i][j][k]/mint;
kol_t++;//подсчет количества точек, в которых рассчитан критерий неравномерности
}
R=R/kol_t; //расчет критерия неравномерности (4.21)
Функция анодной поляризации электролита никелирования
вграничном условии (4.14) имеет вид: float F1(float ia)
{return 0.935*ia;}
Функция катодной поляризации электролита никелирования
вграничном условии (4.15) имеет вид:
float F2(float ik)
{return -(0.188+0.3*ln(0.43*ik));}
62
Проверим адекватность математической модели и корректность метода релаксации для решения ее уравнений на примере гальванического никелировании в электролите Уоттса. Размеры гальванической ванны LXхLYхLZ = 20x30x30 см. В качестве анода и катода использовались пластины размерами 15х20 см, поверхности которых располагались симметрично и асимметрично с малыми и большими межэлектродными расстояниями. Расчет осуществлялся по получению величины δmin, осажденную в результате требуемой длительности T = 30 мин для процес - са электролиза. Напряжение питания ванны составляло U = 5 В. Распределения потенциала в электролите гальванической ванны для различных межэлектродных расстояний анода и катода продемонстрированы на рисунке 4.3. Получаемые соотвественно распределения толщины покрытий на поверхности катода приведены на рисунке 4.4. Рассчитанные значения критерия неравномерности R по формуле (4.21) составили 1.151, 1.258 и 1.329 при рассчитанных δmin равных 10, 5 и 20 мкм соответственно.
а)
63
б)
в)
Рис. 4.3. Распределения потенциала в электролите гальванической ванны
64
а)
б)
65
в)
Рис. 4.4. Распределения толщины покрытий на поверхности изделия
Результаты компьютерного моделирования распределения потенциала электрического поля в пространстве гальванической ванные и получаемой толщины покрытия по поверхности изде- лия-катода демонстрируют значительное влияние геометрических характеристик электролизера. Следует отметить, что даже применение параллельно подвешенных плоских анода и катода с одинаковой площадью (рисунок 4.3а), если их поверхности не перекрывают целиком сечение электролизера, не позволяет получить равномерного электрического поля из-за концентрации на краях катода силовых линий (так называемый «краевой» эффект). В связи с этим на краях электрода формируется большая плотность тока, и как следствие толщина покрытия, чем на остальной его поверхности (рисунок 4.4а). Если же сместить поверхности анода и катода от соосного положения в ванне (рисунок 4.3б), то проявление краевого эффекта только усилится (рисунок 4.4б). Однако данное замечание справедливо лишь для межэлектродных расстояний, соизмеримых с размерами самих деталей (рисунок 4.3в). В случае близких межэлектродных рас-
66