Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 2). Учебное пособие

что взносы осуществляются непрерывно и равномерно в течение года. На взносы начисляются проценты силой роста в размере 8%.

Решение:

По условию задачи S/R = 5, = 0,08. Используя формулу (118), получим следующий срок увеличения суммы ренты:

При постановке задачи поиска силы роста по заданным параметрам возникают определенные затруднения, наиболее приемлемое решение которых связано с использованием интерполяции и метода НьютонаРафсона, что позволяет получить рекуррентную формулу (119) [10]:

Пример 53. Рассчитать доходность инвестиций, измеренную в виде силы роста, если затраты на проект составили 1 млрд руб., годовой доход предполагается в размере 0,2 млрд руб., поступление которых в пределах года равномерно, срок реализации проекта – 8 лет.

Решение:

Допустим, что начальное значение 0 = 0,12. Тогда на основе формулы (119):

1 0,12 1 e 0,12 8 5 0,12 0,1288 .

8e 0,12 8 5

Проверка: a(8;0,1288) = 4,992. Следовательно, в следующей итерации

необходимости нет.

Таким образом, в исследованных непрерывных постоянных потоках платежей годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток платежей не является единственно возможным, поэтому возникает необходимость рассмотреть и потоки платежей, изменяющиеся во времени в течение периода в соответствии с определенным законом. Такие случаи на практике не редки, в частности, если стоит задача проанализировать производственные инвестиционные потоки.

5.3 Непрерывные переменные потоки платежей

Если имеет место непрерывный поток платежей, описываемый функцией от времени Rt f (t) , тогда совокупная сумма поступлений за

T

некоторый отрезок времени T составит f (t ) dt . Допустим, что при

0

начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста ,

31

то в этой ситуации наращенная сумма определяется как:

T

следует определить вид функции изменения платежей и значения ее параметров.

Рассмотрим методы расчета современной стоимости для линейной и экспоненциальной функций.

Наращенные суммы таких потоков платежей можно найти, используя

времени, в котором измеряется срок ренты.

Современную стоимость можно определить на основе интегрирования функции потока платежей:

( R 0 b ) a (T , ) b Te T

(124)

где a(T , i) – коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

Формула (124) наглядно демонстрирует влияние начального размера члена ренты и приростов.

Пример 54. План развития предприятия предполагает ежегодный рост объемов выпускаемой продукции в течение трехлетнего периода на 1 млн руб. при базовом уровне выпуска в размере 10 млн руб. Сила роста составляет 8%.

Требуется рассчитать совокупный объем выпуска вместе с начисленными процентами.

Решение:

1. Расчет коэффициента приведения:

32

Пример 55. R = 100, i = 7%, T = 3 года. Ожидаемый прирост доходов – 5% в год. Рассчитать современную стоимость и наращенную сумму денежного потока.

Решение:

Расчет наращенной суммы денежного потока:

S A(1 i)3 291,5 1,073 357,1.

5.4 Конверсии рент

На практике нередко возникают ситуации, когда на этапе разработки условий контракта, а иногда и в ходе его осуществления возникает необходимость в силу каких-либо причин изменить порядок выплаты ренты, другими словами, конвертировать ее условия. Виды конверсии представлены в таблице 9.

Перечисленные виды конверсий не являются произвольными, поскольку в их основе лежит принцип финансовой эквивалентности, означающий, что конверсионная операция не должна приводить к изменению финансовых последствий для сторон сделки.

Такие операции часто используются в случаях, когда необходимо провести реструктуризацию долга. Как правило, при реструктурировании задолженности условия ее погашения смягчаются, но принцип эквивалентности, хоть и в урезанном виде, необходимо соблюдать. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации конверсии рент.

Выкуп ренты сводится к замене ренты на единовременный платеж, исходя из равенства искомого размера выкупа современной стоимости ренты. Для решения поставленной задачи в зависимости от порядка погашения долга применяется соответствующая формула определения современной стоимости потока платежей. Само собой разумеется, что выбранная при расчете приведенной стоимости ставка процентов должна удовлетворять интересам обеих сторон контракта.

Задачей, обратной рассмотренному выше выкупу ренты, является рассрочка платежей. Сущность ее состоит в следующем. Имеется обязательство уплатить определенную сумму и согласие сторон о погашении задолженности в рассрочку, тогда есть смысл воспользоваться способом постоянной ренты. Известен исторический пример рассрочки платежей: коллекционер В.М. Третьяков, создатель знаменитой Третьяковской галереи, например, предлагал русскому художнику В.В. Верещагину оплатить картины посредством аннуитетных выплат.

Для решения задачи современная стоимость ренты, с помощью которой осуществляется рассрочка, приравнивается к размеру задолженности. Необходимо рассчитать один из параметров ренты, как правило, размер члена ренты либо ее продолжительность, при условии, что остальные параметры известны.

Объединение (консолидация) рент заключается в замене нескольких рент одной, параметры которой требуется исчислить. Из принципа финансовой эквивалентности вытекает равенство современных стоимостей ренты начального вида и консолидированных рент:

где А – современная стоимость заменяющей ренты, Aq – современная стоимость q-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть любого вида: немедленными, отсроченными, годовыми, l-срочными. Для консолидированной ренты необходимо идентифицировать ее конкретный вид и параметры. Следующий шагом, соблюдая принцип сбалансированности, следует рассчитать значение неизвестного по формуле (127). В качестве неизвестного параметра чаще

34

всего принимается член ренты или ее продолжительность. В случае, если заменяющая рента постнумерандо является немедленной, и известен ее срок T, то из (127) имеем:

Если же задана сумма платежа заменяющей ренты и его периодичность, то определяется срок консолидированной ренты. Чаще всего задача сводится к расчету T по определяемому условиями задачи значению

коэффициента приведения a (T , i ) .

Для немедленной ренты постнумерандо:

Для того чтобы задача имела решение, необходимо соблюдение следующего условия:

i RAq 1.

Пример 56. Суть проводимой конверсионной операции сводится к замене трех рент постнумерандо (немедленных, годовых) на одну ренту постнумерандо, отложенную на трехлетний срок. Согласно условиям контракта заменяющая рента имеет продолжительность 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: Rq= 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. В расчетах принята ставка сложных процентов, равная 20%.

Требуется рассчитать сумму современных стоимостей этих рент.

Решение:

Расчеты сведены в таблицу 10, согласно данным которой сумма приведенной стоимости составит 2002,946 тыс. руб.

Таблица10 – Расчет современной стоимости ренты

Размер члена заменяющей ренты равен:

Если бы заменяющая рента была немедленной, то:

R 20023,60459,946 555,665 тыс. руб.

Изменим условия примера 57. Допустим, задан не срок ренты, а сумма годового платежа 1500 тыс. руб. Искомым является срок заменяющей ренты. В ходе решения задачи необходимо рассчитать современную стоимость немедленной ренты, а затем ее срок.

A 2002,946 1,23 3461,091тыс. руб.

По формуле (135) получим:

Рассмотрим ситуацию, когда член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент, то есть: R Rq . И заменяющая, и заменяемые

ренты годовые, постнумерандо. При равенстве процентных ставок у всех рент, исходя из формулы (127), имеем:

где T – срок заменяющей ренты.

С помощью математических преобразований получим:

Пример 58. Консолидируются три ренты продолжительностью соответственно 10, 15 и 12 лет, предусматривающие годовые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 млн. руб. Процентная ставка у заменяющей ренты составляет 5% годовых, выплаты определены в размере 5 млн. руб. Рассчитать срок заменяющей ренты.

Решение:

Используя формулу (130), рассчитаем срок ренты:

Изменение хотя бы одного из параметров ренты по сути означает замену ренты на другую с максимальным учетом принципа финансовой эквивалентности, предполагающего равенство современных стоимостей взаимозаменяемых рент. Процентная ставка при этом может быть как сохранена, так и изменена. В частности, кредитор в обмен на увеличение продолжительности ренты вправе потребовать соответствующего увеличения

36

ставки процентов. Исходя из указанного равенства, возможно рассчитать недостающие параметры заменяющей ренты. Рассмотрим конкретные ситуации конверсии.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R1, T1, процентной ставкой i. Требуется отложить срок выплат на n лет, то есть заменить немедленную ренту на отсроченную с параметрами R2, T2, n.

Рассмотрим задачу определения платежа R2 при условии:

T2 = T1 = T.

Для данной ситуации справедливо равенство:

Rl a(T,i) R2a(T,i)d n .

Таким образом, член заменяющей ренты равен наращенному за промежуток времени, равный n, члену заменяемой ренты.

В общем случае n2 n1 , а из эквивалентности А1 = А2 следует:

где n – продолжительность отсрочки.

Пример 59. Немедленная рента постнумерандо с параметрами R1= 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка для пролонгации принята в договоре в размере 20% годовых. Рассчитать размер платежа R2.

Решение:

Согласно (132) получим:

R2 2 1,22 2,88 млн. руб.

Вывод: пролонгация немедленной ренты увеличивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб.

Пример 60. Немедленная рента постнумерандо с параметрами R1= 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 3 года с соответствующим изменением срока ренты. Стороны согласовали размер процентной ставки – 20% годовых. Рассчитать размер платежа R2.

Решение:

По формуле (133) определяем размер платежа отложенной ренты:

R2 R1 a8;20 1,22 2,55393млн. руб.

a11;20

Ставится задача расчета срока отложенной ренты при условии, что размер члена ренты не изменяется, а ее выплата откладывается на n лет. Из

равенства Rl a(T,i) R2a(T,i)d n следует:

37

Замена годовой ренты на l-срочную может быть произведена и при условии, что известен размер члена ренты, а искомым является ее срок. В общем случае для этого сначала находим:

A A

aT( R2 R2 ;i ( 137)

Взаключение раздела рассмотрим общий случай конверсии, когда методы эквивалентной замены рент применяются не только к постоянным дискретным рентам, как показано выше. Конверсия возможна для любых потоков платежей при условии, что в ее основу положено равенство современных стоимостей. Например, осуществляется конверсия нерегулярного денежного потока постоянной годовой рентой постнумерандо.

Поток включает последовательность платежей Rn, выплачиваемых в течение Tn лет после начала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, T. Уравнение эквивалентности видаaT11l )2 ;i

RaT1 Rnd T1 позволяет рассчитать один из параметров ренты: R или T.

Обратная задача – расчет членов нерегулярного денежного потока – решается методом подбора величин платежей, удовлетворяющих уравнению эквивалентности.

5.5 Задания для самостоятельной работы

Задание 1. На основе ренты постнумерандо, срок которой составляет 7 лет, формируется регулярный во времени поток платежей на следующих условиях: 1) первый член ренты – 8 млн руб.; 2) каждое последующее увеличение платежей составляет 0,9 млн руб.; 3) начисление процентов производится по ставке 18% годовых.

Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой ренты постнумерандо.

Задание 2. Рента постнумерандо сроком 11 лет образует регулярный поток платежей, первый член которого равен 12 млн руб. Каждое последующее сокращение платежей составляет 0,9 млн руб. Проценты начисляются по ставке 21% годовых. Найти современную и наращенную стоимость годовой ренты постнумерандо.

Задание 3. Прирост сбыта продукции в течение двух лет предполагается в размере составит 15 млн руб. за каждый квартал. Базисный квартальный объем реализации продукции – 650 млн руб. Найти наращенную к концу срока сумму при условии, что поступление денег за реализованную продукцию осуществляется постнумерандо.

Задание 4. На основе ренты постнумерандо, срок которой составляет 10 лет, формируется регулярный во времени поток платежей на следующих условиях: 1) первый член ренты – 10 млн руб.; 2) прирост платежа каждый год составляет 9% (k = 0,09); 3) начисление процентов производится по ставке 19% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную

39

стоимость годовой ренты постнумерандо.

Задание 5. Поток платежей образуется на основе ренты постнумерандо на следующих условиях:

5)срок ренты – 13 лет;

6)первый член ренты – 11 млн руб.;

7)уменьшение платежа каждый год составляет 12% (k = -0,12);

8)начисление процентов производится по ставке 18% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой

ренты постнумерандо.

Задание 6. На основе ренты постнумерандо, срок которой составляет 14 лет, формируется регулярный во времени поток платежей на следующих условиях:

1)первый член ренты – 12 млн руб.;

2)прирост платежа каждое полугодие на 7%;

3)начисление процентов производится по ставке 21% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой

ренты постнумерандо.

Задание 7. Предполагаемый ежегодный доход от основной деятельности завода составит 1 млрд руб., реализацию производственного проекта планируется завершить за 11 лет. Отгрузка и сбыт выпускаемой продукции непрерывны и равномерны. Необходимо рассчитать капитализированную стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% годовых.

Задание 8. Реализация производственного проекта сроком 10 лет предполагает каждый год получать доход в размере 900 млн руб. Процесс реализации производимой продукции непрерывен и ритмичен.

Рассчитать капитализированную стоимость дохода при дисконтировании по ставке 12% годовых. Дисконтирование осуществляется по силе роста 11%.

Задание 9. Определить срок, за который наращенная сумма ренты вырастет в шесть раз по сравнению с годовой суммой взносов, при условии, что взносы осуществляются непрерывно и равномерно в течение года. На взносы начисляются проценты силой роста в размере 9%.

Задание 10. Рассчитать доходность инвестиций, измеренную в виде силы роста, если затраты на проект составили 850 млн руб., годовой доход предполагается в размере 20 млн руб., поступление которых в пределах года равномерно, срок реализации проекта – 7 лет.

Задание 11. Проект развития предприятия предполагает ежегодный рост объемов выпускаемой продукции в течение трехлетнего периода на 5 млн руб. при базовом уровне выпуска в размере 50 млн руб. Сила роста составляет 9%. Требуется рассчитать совокупный объем выпуска вместе с начисленными процентами.

Задание 12. R = 100, i = 7%, T = 3 года. Ожидаемый прирост доходов –

40