Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 2). Учебное пособие

сумму дохода физического лица, если оно решит воспользоваться этим предложением.

Задание 28. Выберите верный ответ. В потоке денежных платежей разрешается переставлять платежи произвольным образом. В каком порядке надо переставить платежи, чтобы современная величина потока была наибольшей:

1)возрастания;

2)который дает наименьшую наращенную сумму;

3)который дает наибольшую наращенную сумму;

4)в порядке убывания;

5)имеющейся информации недостаточно.

Задание 29. Выберите верный ответ. Гражданину Петрову предлагается на выбор один из четырех вариантов трехгодовой ренты общей суммой 250 тыс. руб. Петров как получатель денег имеет возможность ежегодного начисления процентов, исходя из заданной годовой процентной ставки, но затрудняется в выборе наилучшего варианта. Какой вариант является для него наилучшим:

1)равными платежами в конце каждого года;

2)равными платежами в конце нечетных годов;

3)одним платежом в конце второго года;

4)равными последовательными выплатами в конце каждого полугодия;

5)ответ зависит от числового значения процентной ставки.

Задание 30. Выберите верный ответ. На ближайшие три года объем обязательств Антона перед Ильей составляет 400 тыс. руб., которые ему разрешается погасить не более чем за три раза. Договор предусматривает выплату платежей в конце года, причем заключительная выплата втрое превышает первую. Илья предполагает изыскать более выгодный для себя вариант дохода. Если оптимальная для него доходность вложений – 10%, то выплаты должны составлять:

1)75; 100; 225;

2)90; 40; 270;

3)50; 200; 150;

4)среди перечисленных вариантов оптимального нет.

Задание 31. Выберите верный ответ. Победитель конкурса получает в качестве назначенного организаторами приза ежегодный доход в 800 долл. без ограничения срока действия этих поступлений. Если ставку процента увеличить с 8 до 10%., что будет иметь победитель:

1)потери капитала в 400 долл.;

2)потери капитала в 500 долл.;

3)доход от прироста капитала в 500 долл.;

4)потери капитала в 2500 долл.;

5)доход от прироста капитала в 2500 долл.

21

Задание 32. Выберите верный ответ. Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 12% годовых. Через 3 и 9 месяцев он вложил еще по 10 тыс. руб., а в промежутке, в конце 6-го месяца, снял со счета 30 тыс. руб. По завершении года клиент закрыл счет и забрал причитающиеся ему деньги. Оценить, коммерческое или актуарное правило депозитного обслуживания выгоднее для вкладчика, и указать разницу в доходах:

1)полная сумма счета на конец года будет одна и та же независимо от используемого банком правила;

2)полученная по актуарному правилу сумма будет больше на 510 руб.;

3)для клиента выгоднее коммерческое правило, разница в доходах –

675 руб.;

4)предпочтительнее актуарное правило, разница – 830 руб.;

5)иной ответ.

Задание 33. Выберите верный ответ. Банк «Альфа» выплачивает сложные проценты раз в полгода. Банк «Бетта» выплачивает 13% годовых по простой процентной ставке. Вкладчик разместил по одинаковой сумме денег в каждом из этих банков сроком на 2 года. Оценить полугодовую процентную ставку, начисленную банком «Альфа», чтобы у вкладчика по итогам двух лет сумма вклада в банке «Альфа» была на 10% больше, чем в банке «Бетта»:

1)10,75%;

2)8,64%;

3)9,35%;

4)для ответа на вопрос необходимо знать величину первоначального

вклада.

22

Глава 5. Переменные и непрерывные финансовые ренты

5.1Ренты с постоянным приростом платежей

5.2Определение параметров непрерывной ренты

5.3Непрерывные переменные потоки платежей

5.4Задания для самостоятельной работы

5.1Ренты с постоянным приростом платежей

Впрактике имеют место ситуации, когда размеры членов потока платежей изменяются во времени, что может быть обусловлено как объективными, так и субъективными факторами.

Частным случаем такого потока является переменная рента, члены которой изменяются по определенным законам или условиям функционирования.

Изменения размеров членов ренты с постоянным абсолютным изменением членов во времени происходят согласно арифметической прогрессии с первым членом R и разностью b, образуя последовательность R, R + b, R + 2b,..., R+ (T – 1)b. Величина n-го члена ренты равна R+(n –1)b.

Современная стоимость годовой ренты постнумерандо в соответствии с [10] рассчитывается по формуле:

где d – дисконтный множитель по ставке i,

a(T,i) – современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1.

23

В формуле (93) приведена современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом (R + b/i) за минусом корректирующей величины

Tbd T /i.

Умножив формулу (93) на (1 + i)T , можно получить формулу расчета наращенной суммы ренты постнумерандо (94):

Преобразования формул (93) и (94) позволяют определить характер зависимости современной и наращенной стоимости ренты постнумерандо от абсолютного прироста платежей (95) и (96) соответственно.

Формула (95) показывает, что А линейно зависит от b.

Аналогично на основе (94) получим линейную зависимость от b и для наращенной суммы S:

Теперь рассмотрим алгоритмы расчетов современной и наращенной величины рент пренумерандо:

Пример 44. На основе ренты постнумерандо, срок которой составляет 7 лет, формируется регулярный во времени поток платежей на следующих условиях:

1)первый член ренты – 15 млн руб.;

2)каждое последующее увеличение платежей составляет 2 млн руб.;

3)начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой

ренты постнумерандо.

Решение:

По условию задачи имеем R = 15, b = 2, i = 20%, T = 10. Табличные значения коэффициентов а(10;20) = 4,192472, d(10) = 0,161505.

По формуле (93) рассчитаем современную стоимость годовой ренты:

Наращенную стоимость можно найти из условия взаимозависимости А

и S:

S 88 ,661 1,2 10 548 ,965 млн руб.

Те же результаты можно получить и другим способом, по формулам

(95), (96):

24

Постоянный абсолютный прирост обусловливает заметную динамику платежей. Так, постоянная рента, каждый член которой в сумме составляет 15 млн руб., позволяет накопить порядка 390 млн руб. Что касается «вклада» прироста платежей в наращенную сумму, то он составляет около 20%, или в сумме примерно 160 млн руб.

Пример 45. Рента постнумерандо сроком 10 лет образует регулярный поток платежей, первый член которого равен 15 млн руб. Каждое последующее сокращение платежей составляет 1 млн руб. Проценты начисляются по ставке 20% годовых. Найти современную и наращенную стоимость годовой ренты постнумерандо.

Решение:

A 15a10;20 a10;20 10 1,2 10 ( 1) 62,887 12,887 50 млн руб. 0,2

S 15 s10 ;20 s10 ;20 10 ( 1) 389 ,380 79,793 309 ,557 млн руб. 0,2

Анализ переменных рент предполагает и решение обратных задач: расчет первого члена ренты R либо ее изменения b по заданным условиями задачи другим параметрам финансовой операции.

При заданной сумме современной (A) либо наращенной (S) стоимости ренты, известном сроке (T), может быть поставлена задача нахождения размера членов ренты (R), либо его изменения (b), и разработки оптимального плана осуществления финансовой операции.

Размер члена годовой ренты постнумерандо можно исчислить на основе преобразования выражений (93) и (94):

25

Рассмотрим случай переменной l-срочной ренты с постоянным абсолютным приростом.

Пусть R – базовая величина платежа, b – прирост выплат за год. Тогда ряд последовательных выплат представим в виде:

R, R bl , R 2 bl ,..., R (lT 1) bl .

Отдельный член ряда рассчитывается как Rn R (n 1) bl , n=1,…, lT.

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов l раз в году получим формулы расчета современной и наращенной сумм:

Пример 46. По прогнозу аналитиков предприятия прирост сбыта продукции в течение двух лет составит 25 млн руб. за каждый квартал. Стартовый квартальный объем реализации продукции – 500 млн руб. Найти наращенную к концу срока сумму при условии, что поступление деньги за реализованную продукцию осуществляется постнумерандо.

Решение:

Из условия задачи имеем R= 500, b/l =25, i = 20%, T = 2, l = 4. Наращенная сумма к концу двух лет составит:

8

S 500 25(n 1) 1,22 n / 4 4865 млн руб.

n 1

Рассмотрим ренты с постоянным относительным приростом платежей. В такой ситуации размеры платежей во времени изменяются в соответствии с законом геометрической прогрессии, т.е. имеет место постоянный относительный рост. Последовательность платежей, представляющая собой ренту постнумерандо, включает R, Rq, Rq2,..., Rqn-1 , где q в соответствии с условными обозначениями – знаменатель прогрессии или темп роста.

Ряд дисконтированных платежей включает величины

Rd, Rqd2,..., RqT-1dT.

Имеем геометрическую прогрессию с первым членом Rd и знаменателем qd. Современная стоимость ренты постнумерандо с постоянным относительным приростом платежей определяется по формуле (105) как сумма членов геометрической прогрессии

26

Введем в формулу (105) темп прироста платежей k, тогда темп роста q = 1 + k. В результате преобразований имеем следующую формулу расчета современной стоимости ренты постнумерандо:

Следует отметить, что изменение k может быть как приростом, если его значение больше нуля, так и снижением (сокращением) при k < 0.

Наращенная сумма ренты находится по формуле:

Пример 47. На основе ренты постнумерандо, срок которой составляет 10 лет, формируется регулярный во времени поток платежей на следующих условиях:

1)первый член ренты – 15 млн руб.;

2)прирост платежа каждый год составляет 12% (k = 0,12);

3)начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой

ренты постнумерандо.

Решение:

S 15 1,1210 1,1210 578,604 млн руб. 1,12 1,2

Пример 48. Поток платежей образуется на основе ренты постнумерандо на следующих условиях:

1)срок ренты – 10 лет;

2)первый член ренты – 15 млн руб.;

3)уменьшение платежа каждый год составляет 10% (k = -0,10);

4)начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Требуется рассчитать современную и наращенную стоимость годовой

ренты постнумерандо.

Решение:

5.2 Определение параметров непрерывной ренты

Рассмотренные в предыдущих разделах ренты базируются на условии, что последовательные рентные платежи поступают через фиксированные временные интервалы, то есть дискретно. Однако более адекватному восприятию ряда платежей соответствует непрерывный процесс. К примеру, если отдача от вложений капитала происходит настолько часто, что в целом можно принять допущение о непрерывности потока платежей, тем более, что такое предположение обогащает возможности численного анализа для целей практического использования. Особенно это касается оценки сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Исследуем методы определения наращенной суммы, современной стоимости и других характеристик постоянной непрерывной ренты, предположив, что в расчетах используется годовая дискретная ставка процентов. У непрерывной ренты по определению l . Вывод формулы

Отсюда можно найти приведенную стоимость непрерывной ренты:

Пример 50. Предполагаемый ежегодный доход от основной деятельности горно-металлургического комбината составит 1 млрд руб., реализацию производственного проекта планируется завершить за 10 лет. Отгрузка и сбыт выпускаемой продукции непрерывны и равномерны.

Необходимо рассчитать капитализированную стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% годовых.

Решение:

Имеем R = 1000 млн руб., T = 10 лет, i = 0,1.

Для расчета капитализированной стоимости дохода используем формулу (113) современной стоимости непрерывной ренты:

A 1000 1 1,1 10 6446,91млн руб. ln1,1

29

Формулы (112-114) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Возникает необходимость рассмотрения ситуации, когда и поступление денег, и наращение процентов являются непрерывными процессами. Для формализации коэффициентов воспользуемся формулами эквивалентности непрерывных и дискретных процентных ставок:

= ln(1 + i); i = e – 1, где – сила роста.

Используя данные соотношения, преобразуем формулы (112) и (114):

Формулы (112), (114) и (115), (116) дают одинаковые результаты только в случае эквивалентности непрерывных и дискретных процентных ставок.

Пример 51. От реализации производственного проекта сроком 10 лет предполагается каждый год получать доход в размере 1000 млн руб. Процесс реализации производимой продукции непрерывен и ритмичен.

Рассчитать капитализированную стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% годовых. Дисконтирование осуществляется по силе роста 10%.

Сила роста, эквивалентная дискретной ставке 10%, составит = ln1,1 = 0,09531, или 9,531%. Отсюда:

Определение срока и размера ставки для постоянных непрерывных рент начнем с рассмотрения случая, когда исходной является современная стоимость потока платежей.

Решим (112) относительно T, принимая во внимание, что A Ra(T ,i) .

Пример 52. Определить срок, за который наращенная сумма ренты вырастет в пять раз по сравнению с годовой суммой взносов, при условии,

30