Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 2). Учебное пособие
.pdf
величины, не равные друг другу (Rl ≠ R), то рента называется переменной. Если размеры членов ренты подвергаются изменениям в соответствии с определенным математическим законом, то целесообразно упростить расчеты посредством формализации закономерностей динамического ряда.
Особый интерес не только с теоретической, но и с прикладной позиции представляют финансовые ренты с бесконечным числом членов ряда, или вечные ренты. Например, бессрочные облигации британского казначейства «консоли», выплаты по которым производятся дважды в год под 2,5% годовых, эмитированы в 1888 г. Облигация может быть выкуплена в любое время по желанию ее владельца. Доход облигационер получает до тех пор, пока облигация находится у него.
Обобщающими характеристиками финансовых рент являются будущая стоимость вложенных средств и современная величина потока платежей.
4.2 Постоянная рента постнумерандо: методы определения наращенных сумм
В качестве практического примера совокупности платежей, включающей процентный доход, или наращенной суммы, образующейся к окончанию рентного срока ренты, можно привести размер задолженности, итоговую сумму капиталовложений и т.п.
В конце каждого года в течение T лет на счет вносится по R рублей, начисление процентов производится один раз в год по ставке i. Сумма
первого взноса составит S R(1 i)T 1 , к окончанию срока ренты общая
наращенная сумма будет равняться сумме членов геометрической прогрессии с первым членом R, знаменателем (1+i), количеством членов T:
S R R (1 i ) R (1 i ) 2 |
R (1 i ) T 1 |
(85) |
Поскольку наращенная сумма S равна геометрической прогрессии, то:
S |
R |
(1 i ) T |
1 |
|
R |
(1 i ) T |
1 |
|
R s ( T ; i ) , |
(86) |
(1 i ) |
1 |
i |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где s(T;i) – коэффициент наращения ренты.
Значение коэффициента наращения ренты изменяются в зависимости от срока финансовой ренты T и уровня ставки процентов i. Поэтому его значения могут быть табулированы (приложение 4).
Пример 38. Финансовая корпорация формирует фонд обеспечения будущих расходов. Взносы поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение четырех лет. Размер рентного платежа составляет 5 млн. руб. На взносы производится начисление процентов один раз в год по ставке 15% годовых. Рассчитать размер фонда в конце срока ренты.
Решение: Размер фонда в конце срока ренты рассчитаем по формуле
(86):
11
S R s(T;i) 5 (1 0,15)4 1 24,97 млн. руб. 0,15
Предположим, что условия финансовой ренты изменились, и проценты теперь начисляются не один, а m раз в году, платежи производятся один раз в конце года. То есть каждый раз используется ставка процентов j/m, где j – номинальная ставка процентов.
В этом случае наращенную сумму можно определить по следующей формуле:
|
|
|
|
|
j mT |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
j |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||
S R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R s mT; |
|
|
|
|
|
|
|
j m |
|
|
|
(87) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
То есть мы снова имеем геометрическую прогрессию, первым членом которой является R, знаменателем – (1+j/m)m, а T – количество членов.
Пример 39. Взносы в фонд обеспечения будущих расходов финансовой компании поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение трех лет. Размер рентного платежа составляет 3 млн. руб. На взносы производится ежеквартальное начисление процентов по ставке 12% годовых. Рассчитать размер фонда в конце срока ренты.
Решение:
|
|
|
|
j mT |
1 |
|
|
|
0,12 3 4 |
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S R |
|
|
m |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
10,18 |
млн. руб. |
|||
|
|
|
j m |
|
|
|
|
|
0,12 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для сравнения наращенных сумм при годовом и ежеквартальном начислении используем данные из примера 38. Тогда наращенная сумма составит:
|
|
|
|
j mT |
1 |
|
|
|
0,15 |
|
4 4 |
1 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
S R |
|
|
|
m |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
25,28 млн. руб. |
||||
|
|
|
|
j m |
|
|
|
|
0,15 |
4 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это превышает сумму 24,97 млн. руб. из ранее рассмотренного примера 38. Следовательно, применение ежеквартального начисления по сравнению с годовым увеличивает наращенную сумму.
Пусть рента выплачивается l |
раз в году равными платежами. Если |
|
проценты начисляются однократно |
по истечении |
года (m 1) , то |
наращенная сумма определяется по формуле:
12
S |
|
R |
|
1 i 1 l T |
1 |
R |
|
(1 i)T 1 |
(l ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
l 1 i 1 l |
1 |
R s |
|
(T ; i) . |
(88) |
|||
|
l |
(1 i) 1 l |
1 |
|
|||||||||
Если ежегодная |
выплата составляет |
сумму |
R , то |
сумма |
каждого |
||||||||
платежа будет рассчитываться как отношение Rl .
В случае, если количество выплат в году l равно количеству начислений процентов m, то наращенная сумма S составит:
|
|
|
|
1 |
|
j mT |
1 |
|
|
1 |
|
j mT |
1 |
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
S |
|
|
|
|
m |
|
R |
|
|
|
m |
|
|||
m |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m
Имеем l-срочную ренту, проценты начисляются размер наращенной суммы ренты будет равен:
|
|
|
|
|
|
j m l T |
1 |
|||
|
R |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
S |
|
|
|
|
m |
|
||||
l |
|
|
|
|
j m l |
1 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||
|
|
|
|
j mT |
1 |
||||
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
R |
|
|
m |
|
. |
||||
|
|
|
|
j m l |
|
||||
|
l |
1 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (89)
m раз в год. Тогда
(90)
Формула (90) представляет собой наиболее общий случай l-срочной ренты. При помощи данной формулы, задавая соответствующие значения m и l, можно получать частные случаи.
Пример 40. Каждый год в течение четырех лет на счет поступают равные денежные суммы в размере 50 тыс. руб. Рассчитать наращенную стоимость, при условии, что начисление производится методом сложных процентов по ставке 10%.
Решение:
По условию задачи имеем случай ренты постнумерандо размером
аннуитетного платежа |
R = 50 |
тыс. руб., n = |
4, i = |
0,1. Расчет наращенной |
|||
суммы: |
1 0,1 4 |
|
|
|
|
|
|
S 50 |
1 |
50 |
0,4641 |
|
232,05 |
тыс.руб. |
|
0,1 |
|
||||||
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
Пример 41. Условия формирования некоторого целевого фонда следующие: объем инвестиций – 10 млн. руб., срок ренты пренумерандо – 5 лет, процентная ставка – 20%, метод начисления – по сложному проценту. Определить сумму аннуитетного платежа.
Решение:
По условию задачи имеем: S =10 млн. руб., n = 5, i = 0,20. Сумма аннуитетного платежа R определим, исходя из формулы:
S R |
(1 i)n 1 |
(1 |
i); |
|
i |
||||
|
|
|
10 R 1,25 1 1,2; 0,2
13
10 R |
1,48832 |
1,2; |
10 R 8,93; |
R |
10 |
1,1198 млн.руб. |
|
0,2 |
8,93 |
||||||
|
|
|
|
|
Пример 42. В коммерческом банке на срок семь лет открыт депозит, на который каждый год поступает 10 тыс. руб. На эти средства банк ежеквартально производит начисление процентов по номинальной ставке 15% годовых. Определить, какая сумма будет на банковском счете к концу срока ренты.
Решение: R = 10 тыс. руб.; m = 4; n =7 лет; i = 0,15.
|
|
|
|
|
|
i |
mn |
1 |
|
|
|
|
|
0 ,15 |
4 7 |
1 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
S |
R |
|
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
10000 |
11 ,366392 |
113663 ,92 руб . |
||||||
|
|
|
|
i |
|
m |
|
|
|
|
0 ,15 |
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 43. Страховая компания принимает платежи по полугодиям равными частями по 250 тыс. руб. в течение трех лет. Банк, обслуживающий компанию, начисляет проценты ежеквартально из расчета 10% годовых. Рассчитать сумму к получению по истечении срока ренты.
Решение:
Rl =250 тыс. руб., R = 500 тыс. руб.; i = 0,1; l = 2; m = 4; n = 3 года.
|
|
|
|
|
|
i mn |
1 |
|
|
|
0,1 4 3 |
1 |
|
|
||||||||
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
S |
|
|
|
m |
|
|
250 |
|
|
|
4 |
|
|
250 |
0,344 |
250 6,798 1699,5 тыс.руб. |
||||||
l |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0,0506 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i l |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 44. Для обеспечения будущих расходов формируется фонд денежных средств, в который поступают платежи в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Найти величину фонда на конец срока, если:
1)и начисление процентов, и процентные выплаты осуществляются один раз в год;
2)проценты начисляются поквартально, а платежи осуществляются один раз в год;
3)проценты начисляются один раз в год, платежи выплачиваются поквартально;
4)и платежи, и начисление процентов производятся поквартально;
5)платежи производятся поквартально, а начисление процентов – ежемесячно.
Решение:
По условию задачи имеем: R = 4 млн.руб., i = 18,5% годовых; n = 5 лет.
1)m = l =1
14
S |
R |
|
1 i n |
1 |
4 |
|
|
1 0,185 5 |
1 |
4 |
|
1,3366 |
=28,90 млн. руб. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
0,185 |
|
|
|
|
|
0,185 |
||||||||||||||
2) m = 4, l =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,185 |
4 5 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
|
|
4 |
|
|
|
1,4701 |
|
||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
29 ,669 млн. руб. |
||||||||||
l |
|
|
|
|
|
i |
|
m |
|
|
|
|
|
|
0,185 |
|
|
4 |
|
|
0,1982 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) m = 1, l = 4.
S |
4 |
|
1 0 ,185 1 5 |
1 |
|
4 |
1,3366 |
30 ,833 млн . руб . |
||
|
1 |
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
0 ,04335 |
|
|||
|
1 0 ,185 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|||||||
4) т.е. m = l = 4.
|
|
|
|
|
|
0,185 |
|
4 5 |
1 |
|
|
|||
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
1,4701 |
|
|||||
|
|
4 |
|
|
||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
31,786 млн. руб. |
|||||
4 |
|
|
|
0,185 |
|
1 |
|
0,04625 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) m = 12, l = 4.
|
|
|
|
|
0 ,185 |
12 |
5 |
1 |
|
|||||
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
|
|
|
|||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 , 025 |
млн . руб . |
||||
|
|
|
|
0 ,185 |
12 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|||||
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, переход от годового начисления процентов к поквартальному и помесячному увеличивает наращенную сумму.
4.3 Постоянная рента постнумерандо: дисконтирование
Пусть член годовой ренты равен R , процентная ставка i , проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты T. Дисконтированная
величина первого платежа равна Rv R |
|
|
1 |
|
, второго Rv 2 и так далее. |
|||||||||
1 |
i |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда современная стоимость равна: |
|
|
|
|
||||||||||
A Rv |
v T 1 |
R |
1 v T |
|
R |
1 1 i T |
R a T ;i . |
(91) |
||||||
|
i |
|
||||||||||||
|
v 1 |
|
|
|
|
|
|
i |
a T ; i , он |
|
||||
Коэффициент |
приведения |
ренты |
|
характеризует |
||||||||||
современную стоимость ренты с членом, равным 1.
Современная величина ренты в общем случае при произвольных значениях m и l равна:
15
|
1 |
|
1 |
|
|
j |
mT |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m |
|
|
|
|
||||||||
A R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(92) |
|
|
|
|
|
|
|
j |
m |
l |
|
|
||||
|
l |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 45. Рассчитать сумму, которую следует внести в коммерческий банк на депозит, чтобы в течение следующих восьми лет ежегодно снимать с депозитного счета по 25 тыс. руб., полностью исчерпав счет к концу срока ренты? Решить задачу для следующих вариантов начисления процентов:
а) в конце года по ставке i = 5%;
б) в конце квартала при той же годовой ставке.
Решение:
Согласно условию задачи требуется найти современную стоимость годовой ренты:
а) применим формулу (91). В соответствии с приложением 5 значение коэффициента приведения а(8,5) = 6,46321. Отсюда:
А = 25000 × 6,46321 = 161580,25 руб.;
б) по условию проценты начисляются 4 раза в год. Подставляя в формулу (92) значения:
l = 1, т = 4, T = 8, j = 0,05
рассчитаем современную стоимость годовой ренты:
|
|
1 |
|
1 |
|
0 , 05 |
4 8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||
A 25000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160965 , 75 руб . |
||
|
|
|
|
|
|
0 , 05 |
|
4 |
1 |
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4 Расчет параметров постоянной ренты
При определении договорных параметров кредитных сделок могут возникнуть случаи, когда задана одна из двух обобщающих характеристик – будущая стоимость ренты S или ее современная величина A . Требуется
R, T , i, l, m .
Условия о количестве начислений процентов в году m, и, как
следствие, числе выплат в год l , как правило, задаются по согласованию подписантов сделки. Остаются параметры R , T , i , два из которых могут быть
заданы, а третий необходимо найти.
Соответствующие вычисления могут неоднократно повторяться при различных значениях задаваемых параметров, до тех пор, пока не будут найдены оптимальные, удовлетворяющие интересам сторон финансовой сделки.
Пример 46.
16
Определить величину ежегодных взносов в создаваемый за пять лет фонд размером один млн руб. На взносы предусматривается начисление процентов по ставке 8% годовых.
Решение:
Из формулы (86) и данных приложения 4 находим значение члена ренты:
R |
S |
|
1000000 |
170456,4руб. |
|
s(T , i) |
5,86660096 |
||||
|
|
|
Таким образом, размер ежегодных взносов, достаточных для накопления по истечении пятилетнего периода суммы в один млн. руб. при заданных условиях начисления процентов, составляет 170456,4 руб.
Пример 47.
Определить величину ежегодных взносов, достаточных для того, чтобы за пять лет погасить текущую задолженность, равную одному миллиону рублей. На взносы предусматривается начисление процентов по ставке 8% годовых.
Решение:
Из формулы (91) и данных приложения 5 находим значение члена ренты:
R a(TA,i) 10000003,99271 250456,46 руб.
Размер ежегодных взносов, достаточных для погашения задолженности в сумме 1 млн руб. по истечении пяти лет, при заданных условиях начисления процентов, составляет 250456,46 руб.
4.5 Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Рассчитать при процентной ставке в размере 11% современную стоимость потока с платежами 40,50,45,70, которые выплачиваются в конце каждого полугодия.
Задание 2. Арендодатель сдает в наем земельный участок сроком на 10 лет. Ежегодные платежи с выплатой в конце периода будут осуществляться по схеме постнумерандо на условиях: первые 5 лет по 12 млн руб., следующие пять лет – по 10 млн руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка равна 16% годовых.
Задание 3. По условиям договора в течение трех лет в начале года на депозитный счет банка предполагается вносить сумму в размере 3 млн руб., годовая процентная ставка составляет 13%. Определить наращенную сумму по истечении срока договора.
Задание 4. Денежные суммы в объеме 5, 10 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 60, 90 и 180 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом суммой 30 млн руб. Используется простая
17
процентная ставка в размере 12%. Определить срок общего платежа. Поменяется ли срок, если общий платеж будет равным 35 млн. руб.?
Задание 5. Приращение доходов ожидается в размере 5% годовых. Найти современную стоимость и наращенную сумму доходов за три года, если прогнозируемая сумма 1-го года – 100, а процентная ставка – 6%. Исчислить доходы для следующих вариантов:
а) рента постнумерандо; б) доходы рассредоточены в пределах года и отнесены к середине
каждого периода.
Задание 6. Ежегодные платежи предполагается уменьшать на 50 тыс. руб. Рассчитать современную величину и наращенную сумму ренты, если первый платеж будет равен 300 тыс. руб. Платежи и начисления процентов производятся один раз в конце года на протяжении пяти лет, банковская ставка – 7% годовых.
Задание 7. Предполагаемые доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млн руб. в год. Продолжительность разработки – 10 лет. Исчислить наращенный объем выплат за весь период при условии, что доходы поступают непрерывными и равномерными суммами, а процентная ставка составляет 11% годовых.
Задание 8. Денежные доходы в размере 200 тыс. руб. в год поступают непрерывно и равномерно в течение пяти лет. Величина доходов определяется с поправкой на инфляцию, прогнозный уровень которой составляет 5% в год. Рассчитать современную стоимость потока денежных поступлений при ставке 7% годовых на условиях: а) дискретной ренты; б) непрерывного потока платежей.
Задание 9. Страховая организация принимает 300 тыс. руб. по полугодиям в течение 5 лет. Определить сумму, полученную страховой организацией по истечении срока договора, если банк начисляет проценты из расчета 11% годовых: ежеквартально и по полугодиям.
Задание 10. Учредители предприятия малого бизнеса планируют создать в течение четырех лет фонд развития в размере 200 тыс. руб. с помощью банковского депозита и начислений по сложной ставке в размере 15% годовых. Рассчитать суммы для размещения на депозит на условиях:
а) ежегодных, равных объемов платежей; б) разового вложения на срок 4 года.
Задание 11. Физическое лицо планирует открыть накопительный валютный счет в сумме 900 долл. под простую ставку в размере 8%. Какова будет сумма вклада через 3 года, если вкладчик через год:
а) дополнительно внесет 500 долл.; б) снимет со счета 500 долл.
Задание 12. Первоначальный взнос составляет 1000 у.е. при простой процентной ставкой 20% годовых. Условия договора допускают добавление
18
или снятие денежных сумм и отрицательное сальдо счета. Операции на счете (довложение и изъятие) образуют денежный поток платежей:
CF= {(1; 200), (2; –1500), (3; 900), (4; –200), (5, 100)}.
Отрицательное значение основного счета и ставка по кредиту совпадает со ставкой положительного баланса, т. е. равна 20%, рассчитать состояние счета для каждого года из пяти лет при использовании банком актуарного и коммерческого правила.
Задание 13. Инвестиционные вложения предполагают ежегодно пополнять банковский счет в размере 100 тыс. руб. Коммерческий банк выплачивает 11% годовых по ставке сложного процента. Какова будет сумма вклада через 7 лет, при условии, что инвестор вносит вклад:
а) в начале года; б) в конце года; в) в середине года.
Задание 14. Предприниматель планирует с помощью ежегодных платежей за 6 лет накопить сумму в 900 тыс. руб. Банк платит 10% годовых по ставке сложного процента. Рассчитайте сумму платежа:
а) в начале периода, б) в конце периода.
Задание 15. Срок полезного использования токарного станка составляет 7 лет. Ежегодный доход от эксплуатации – 230 тыс. руб., остаточная стоимость к концу 3-го года – 650 тыс. руб. Покупатель станка рассматривает альтернативу вложения средств на депозит под ставку 9% годовых, предполагая, что в конце срока эксплуатации станок ему продадут станок по его остаточной стоимости. Исчислите максимальную цену для покупателя станка.
Задание 16. Оценить два варианта строительного объекта: первый вариант предполагает финансовые вложения в объеме 5 млн руб., в т.ч. капитальный ремонт – 0,75 млн руб. каждые 5 лет; по второму варианту – затраты на создание составляют 7 млн руб., на капитальный ремонт – 0, 95 млн руб. каждые 7 лет. Расчеты производятся на 40 лет. Какой вариант окажется выгоднее при условии, что ставка процента:
а) не превысит 10%; б) не опустится ниже 15%.
Задание 17. За какой срок наращенная сумма вырастет в 4 раза по сравнению с годовой суммой взноса, если платежи осуществляются непрерывно и равномерно? На взносы начисляются непрерывные проценты, сила роста равна 9%.
Задание 18. Определить текущую стоимость аннуитета по 75 долл. в год в течение 10 лет с первой выплатой в конце 5-го года. Годовая ставка составляет 9%.
Задание 19. Предполагаемая сумма |
инвестиционных вложений |
на |
основе привлеченных средств составляет |
7 млн руб. Отдача от них |
по |
19 |
|
|
расчетам составит 1,5 млн руб. в конце каждого года. Требуется рассчитать срок окупаемости инвестиций, если на долг начисляются проценты по ставке 5% годовых.
Задание 20. Исчислить современную величину и наращенную сумму ренты. Как изменятся эти характеристики при условии, что платежи приурочены к началу каждого. Финансовая рента состоит из т равных по величине платежей R, которые следуют с периодичностью в r лет (r > 1). Сложные проценты по ставке i начисляются раз в году. Первая выплата производится в конце года r .
Задание 21. Определить текущую стоимость аннуитета при условии, что бессрочный аннуитет состоит из равных по величине платежей R, которые следуют с периодичностью в r лет. Первая выплата производится в начале первого года; сложные проценты по ставке i начисляются один раз в год.
Задание 22. Формализовать величину наращенной суммы ренты на конец ее срока на следующих условиях: постоянная рента с платежами в конце периода; п – срочность (годы); р – число выплат в году; R – размер платежа. В конце периодов ренты начисляются простые проценты, исходя из годовой номинальной ставки i.
Задание 23. Объемы платежей в размере S1, S2, Sn уплачиваются в пределах одного года через t1, t2, tn дней после некоторой даты. Доказать, что срок заменяющего платежа S0 = ∑Sj не зависит от процентной ставки и рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная сроков объединяемых платежей. В качестве весов берутся объемы денежных платежей.
Задание 24. Показать расчет полной суммы счета в коммерческом банке через T лет, если ежегодно в конце года производятся довложения в размере g. Первоначально на счет зачислена сумма Р под годовую ставку сложного процента r.
Задание 25. Какую сумму коммерсант должен вложить сегодня на депозитный вклад при ставке 9% годовых, чтобы обеспечить последующие ежегодные расходы на отдых в размере 1000 у.е. в течение 5 лет? Расчеты выполнить по простой и сложной процентной ставкам.
Задание 26. С целью пополнения пенсионного дохода 55-летний гражданин желает воспользоваться услугами накопительной пенсионной системы. Рассчитать сумму, необходимую для внесения на индивидуальный лицевой счет пенсионного фонда, достаточную для того, чтобы после выхода на пенсию гражданин в течение оставшейся жизни ежегодно получал прибавку за счет накопительной части пенсии в сумме 12 тыс. руб. Ставка начисления составляет 10% годовых.
Задание 27. Физическое лицо, получив в наследство 20 тыс. долл. желает получать стабильный доход в течение 10 лет. Финансовая компания продает такие аннуитеты из расчета 7% годовых. Определить ежегодную
20