Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 1). Учебное пособие

Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются:

а) постнумерандо б) пренумерандо в) переменные г) отложенные

Задание 3. Выберите правильный ответ.

Индекс рентабельности есть величина: а) абсолютная б) финансовая в) относительная г) дискретная

Задание 4. Выберите правильный ответ.

Коэффициент приведения ренты зависит от: а) срока ренты б) процентной ставки

в) срока ренты и процентной ставки г) члена годовой ренты д) номинальной ставки процентов

Задание 5. Выберите правильный ответ

Под современной величиной потока платежей понимают:

а) сумму всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему

б) отношение приведенных по ставке сравнения доходов к приведенным на ту же дату капиталовложениям

в) отношение наращенной суммы выплат к сумме платежей за год или к размеру отдельного платежа

г) процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга

Задание 6. Выберите правильный ответ

При увеличении современной величины годовой ренты постнумерандо наращенная стоимость ренты:

а) остается на прежнем уровне б) уменьшается в) увеличивается

Задание 7. Выберите правильный ответ

Аннуитетом называется поток платежей, все члены которого: а) неотрицательные величины, а временные интервалы постоянны б) сумма всех положительных членов потока платежей в) положительные величины, а временные интервалы постоянны

11

Глава 2. Финансовые расчеты по простым процентным ставкам

2.1Операции наращения

2.2Операции дисконтирования

2.3Задания для самостоятельной работы

12

2.1 Операции наращения

Расчеты по простым процентам предполагают неизменность базы начисления. Распространенной финансовой операцией является кредитование, которая подразумевает участие субъектов – кредитора и заемщика и наличие объекта – ссужаемой стоимости, движение которой отличается своеобразием. Заемщик обязан вернуть полученную ссуду через обозначенный срок вместе с суммой начисленных в соответствии с условиями договора процентов.

Приращение капитала:

– прямо пропорционально процентному периоду и процентной ставке. Величина наращенной суммы исчисляется по формуле:

увеличилась сумма вклада (или долга) к концу срока финансовой операции. Из формулы (2) следует, что этот коэффициент рассчитывается как:

Увеличение в раз ставки процента или периода финансовой операции влияет на коэффициент наращения одинаково, который изменяется

в 11 it раз (рисунок 3).

S

S0

S

Рисунок 3 – График наращения по методу простых процентов

13

Рассмотрим применение простых процентов в сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов, проценты при этом не присоединяются к основной сумме долга, а выплачиваются периодически.

Пример 1. Вклад в коммерческом банке в сумме 200 тыс. руб. размещен на 5 лет под обычные простые проценты под 10% годовых. Рассчитать наращенную сумму вклада и сумму начисленных процентов.

Решение:

Определим наращенную сумму, используя формулы (2) и (5):

S S0 (1 i ) 200 (1 0,1 5) 300тыс. руб.

или S S0 Ai 20001,5 300 тыс. руб. Сумма начисленных процентов (1):

I S0iТ 200 0,1 5 100 тыс. руб., или I S S0 300 200 100 тыс. руб.

Ответ: через пять лет вкладчик получит в банке общую сумму в размере 300 тыс. руб., из которой 200 тыс. руб. составляет сумма основного долга (равна первоначальной сумме вклада), а 100 тыс. руб. – сумма приращения в виде процентов по вкладу.

В примере 1 срок финансовой операции – целое число. Обычно метод наращения по простым процентам используют при краткосрочных финансово-кредитных операциях, срок которых менее года (T<1).

Рассмотрим случай, когда T является дробным числом. Период начисления процентов T выражается в виде отношения продолжительности финансовой сделки в днях к количеству дней в году (или отношения срока финансовой операции в месяцах к числу месяцев в году).

Преобразуем вышеприведенные формулы, используя условные обозначения (таблица 2).

Срок ссуды, выраженный в месяцах:

Пример 2: Краткосрочная ссуда выдана коммерческим банком в сумме 200 тыс. руб. на 6 месяцев под обычные простые проценты – 10% годовых. Рассчитать наращенную сумму вклада и сумму начисленных процентов.

Решение:

Наращенная сумма:

или

S S0 Ai 200 1,05 210 тыс. руб.

Сумма начисленных процентов:

I S0 i 12m 200 0,1 126 10 тыс. руб.

или

I S S0 210 200 10 тыс. руб.

Ответ: через полгода заемщик должен вернуть первоначальный долг вместе с уплатой процентов в размере 210 тыс. руб., из которой 200 тыс. руб. составляет основной долг, а процентные деньги – 10 тыс. руб.

Проценты, рассчитанные по временной базе K=360 дней, называются обыкновенными или коммерческими процентами. При использовании действительной продолжительности года (365 или 366 дней) получают точные проценты.

Число дней финансовой операции также можно измерить приближенно и точно. В первом случае ее продолжительность определяется из условия, согласно которому месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней финансовой операции определяется путем подсчета числа дней между датой ее начала и датой ее окончания по календарю. Первый и последний день финансовой операции считается за один день. На практике для подсчета ее продолжительности можно пользоваться таблицами (приложение 1). В таблицах приведены порядковые номера дней в году. Срок проведения финансовой операции рассчитывается как разность между порядковыми номерами даты ее окончания и даты начала. Даты выдачи и погашения принимаются за один день. Таким образом, на практике возможно применение трех вариантов расчетов.

15

1)Точные проценты с точным числом дней ссуды («английская» практика расчета). Этот вариант дает самые точные результаты, так как продолжительность года и срок финансовой операции берутся точно по календарю. В коммерческих документах обозначается 365/365. Метод применяется центральными банками ряда стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, Португалии, США.

2)Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

(«французская» практика расчета). Так называемый банковский метод, распространен в ссудных операциях коммерческих банков некоторых стран,

вчастности, во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии. Он обозначается как 365/360. продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3)Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

(«германская» практика расчета). Метод применяется, если не требуется особой точности, например, при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Дании, Швеции. Условно обозначается как 360/360, то есть продолжительность года принимается за 360, а месяца – за 30 дней.

В зависимости от использования конкретного варианта начисления простых процентов сумма по абсолютной величине различается.

Пример 3: Кредит в сумме 900 тыс. руб. выдана 15.02.2013 г. сроком по 01.11.2013 г. включительно под 20% годовых. Рассчитайте сумму, подлежащую возврату, при условии, что начисление производится по методу простых процентов. Использовать три варианта расчетов.

Решение:

Вариант 1. Английская практика расчета:

=365, 258 дней.

S900000 1 0,2 258 1027232,8 руб.

365

Вариант 2. Французская практика расчета:

= 360, 258 дней.

S900000 1 0,2 258 1028999,9 руб.

360

Вариант 3. Германская практика расчета:

= 360, 254 дня.

S900000 1 0,2 254 1026999,9 руб.

360

Очевидно, что поле исходов финансовых операций вариабельно и определяется, в том числе, и выбором способа начисления процентов. Точное число дней ссуды, как правило, превышает, приближенное, поэтому процентный доход в случае с использованием точного количества дней больше дохода при приближенном варианте числа дней сделки. Кроме того,

16

чем больше сумма коммерческой или финансовой операции, тем ощутимей эффект применяемого способа начисления процентов.

Расчеты по переменным ставкам. В условиях неустойчивой динамики финансовых рынков при заключении договора о проведении сделки может быть предусмотрено установление переменной в зависимости от времени процентной ставки. При простых ставках наращенная сумма рассчитывается по формуле:

Пример 4: Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 18%, каждые последующие полгода ставка повышается на 2%. Определить множитель наращения за 2 года.

Решение:

периоды начисления в годах: T1 1, T2 T3 1 2 , переменная процентная ставка: i1 0,18, i2 0,20, i3 0,22.

Тогда Ai 1 Tnin 1 1 0,18 0,5 0,20 0,5 0,22 1,39.

Пример 5: Вкладчик внес в банк 500 тыс. руб. 6 мая 2013 года под простой процент 15% годовых. 2 июля этого же года банк снизил ставку по вкладам до 11% годовых и 22 июля вкладчик востребовал деньги. Рассчитать процентный доход, используя английскую практику начисления.

Решение: Количество дней для начисления процентов по первоначальной их ставке (15%) составило 57 дней, а по пониженной ставке

(11%) – 20 дней.

Определим процентный доход:

Сумма полученного процентного дохода вкладчика составила 14500 рублей.

Пример 6: Коммерческий банк предлагает клиентам по вкладу сроком на год следующие условия: первое полугодие процентная ставка – 10% годовых, каждый следующий квартал предусматривается ее повышение на 2%. Начисление производится по схеме простых процентов. Вкладчик разместил в банке на указанный срочный депозит 300 тыс. руб. Исчислите будущую стоимость первоначального вклада.

Решение:

SS0 (1 T1i1 T2i2 Tnin ) S0 1 Tnin

n

300000 (1 0,5 0,1 0,25 0,12 0,25 0,14) 34500 руб.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени. База начисления процентов изменяется во времени. Тогда I R j t j i , где Rj –

j

остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, tj – срок хранения денег (в годах) до нового изменения

остатка средств на счете.

Реинвестирование по простым ставкам. Если по прошествии некоторого периода зафиксированная к данному моменту времени наращенная сумма инвестируется вновь, то такая операция называется реинвестированием или капитализацией полученных средств. В этом случае проценты начисляют на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение.

Наращенная сумма в этом случае будет рассчитываться как:

где in – размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления процентов не изменяются во времени, то:

Пример 7: Клиент разместил на банковском депозите 600 тыс. руб. Определить сумму вклада, наращенную за четыре месяца при следующих условиях: процентная ставка за первый месяц составляет 10% годовых, за каждый последующий месяц увеличивается на 4% с одновременной капитализацией получаемого дохода, практика начисления процентов – германская.

2.2Операции дисконтирования

Впрактике финансово-экономических вычислений возникает необходимость в решении задач дисконтирования, то есть по известным

исходным параметрам – наращенной сумме S, процентной ставке i, процентном периоде T – необходимо найти первоначально инвестируемую сумму S0.

18

Другими словами дисконтирование позволяет дать ответ на вопрос, какую сумму надо инвестировать для получения в конце предполагаемого срока финансовой операции заданной суммы в определенных условиях.

Процесс начисления и авансового удержания процентов, до наступления срока погашения долга, называется учетом, а проценты как разница между будущей и исходной суммами финансовой операции –

дисконтом:

Смысл операции дисконтирования (рисунок 4) заключается в определении числового значения современной стоимости будущей (заранее известной) суммы денег в конкретный момент времени.

S S

Время

Рисунок 4 – Логика операции дисконтирования

Данную финансовую операцию по-другому называют приведением стоимостного показателя к настоящему моменту времени (начальному, либо

промежуточному, значения не имеет), а стоимость S0 – приведенной

(современной, текущей) величиной S .

Значение дисконтирования состоит в возможности учета временного фактора в финансовых вычислениях.

В зависимости от вида процентной ставки применяются два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае при расчете применяют обычные (декурсивные), а во втором – авансовые проценты.

Процентная и учетная ставки различаются базой начисления

Учетная ставка теснее связана с фактором времени и его влиянием по сравнению с процентной ставкой. Сравнение результатов математического и банковского дисконтирования при равенстве процентной и учетной ставок показывает, что современная стоимость, исчисленная методом

19

математического дисконтирования, превышает аналогичную величину, рассчитанную способом банковского учета.

Метод математического дисконтирования позволяет определить такую стоимость вкладываемых средств, при которой к концу срока инвестирования наращенная сумма составит планируемую величину при заданной процентной ставке i :

где AiD – множитель приведения.

Экономический смысл коэффициента приведения состоит в том, что он показывает долю первоначальной суммы долга в наращенной сумме. Дисконтный множитель зависит от процентной ставки и срока ссуды.

Пример 8: Определить исходную сумму инвестирования при заданных условиях контракта: период операции – 165 дней, сумма к возврату – 500 тыс. руб., процентная ставка – 11% годовых, метод начисления – 365/ 360.

Ответ: сегодня необходимо вложить 476009 руб., чтобы получить через 165 дней 500000 руб. Процентный доход за период инвестирования составит 23991 руб.

Пример 9: Сколько средств необходимо вложить при простой процентной ставке 12% годовых, чтобы через 3 года получить 4,2 млн. руб.?

Решение: S 4,2, T 3, i 0,12 .

Определим сумму сегодняшних вложений:

Сумма дисконта: D S S0 4,2 3,09 1,11 млн. руб.

При банковском дисконтировании, исходя из желаемой к получению суммы, определяют сумму в настоящий момент времени за минусом суммы дисконта. Примером могут служить учет векселей и операции на открытом рынке с государственными ценными бумагами.

Под учетом векселей понимают покупку кредитным учреждением векселя у предъявителя до наступления срока погашения со скидкой (дисконтом). Номинал векселя – это сумма денег, обозначенная в реквизитах векселя. Сумма, получаемая векселедержателем при учете векселя, называется дисконтированной величиной. Банк удерживает дисконт за время, оставшееся до срока платежа по векселю. Дисконтирование по учетной ставке, как правило, производится по временной базе, принятой за 360 дней, при точном числе дней в периоде.

Дисконт определяется по простой учетной ставке по формуле:

20