Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 1). Учебное пособие

Отсюда множитель наращения по учетной ставке d равен:

Пример 29: Определить номинал векселя, если фактически выдано денежных средств в размере 8 млн. руб., срок погашения 3 года (условно). При расчетах использовать сложную годовую учетную ставку 11%.

Пример 30: Определить номинал векселя, если фактически выдано денежных средств в размере 8 млн. руб., срок погашения 3 года (условно). При расчетах использовать сложную годовую учетную ставку 11%. Наращение по сложной учетной ставке производится ежеквартально.

множители наращения при различных условиях (таблица 3):

Таблица 3 – Сравнение множителей наращения в зависимости от сроков и способов начисления

Таким образом:

1)по процентной ставке i для схемы:

–простых процентов Ai 1 iT

–сложных процентов Ai(c) (1 i)T

2)по учетной ставке d для метода

Сравнительная характеристика показывает, что соотношение между коэффициентами наращения по процентной и учетной ставкам зависит от длительности срока финансовой операции.

При краткосрочных операциях длительностью менее одного года наибольший прирост дает сложная учетная ставка, а наименьший – сложная процентная ставка.

При средне- и долгосрочных сделках, сроком свыше одного года, наибольшее приращение приносит начисление по простой учетной ставке, а наименьшее – по простой процентной ставке.

Для срока, равному одному году результат операции по процентной ставке дает меньший прирост по сравнению с наращение по учетной ставке.

Далее сравним множители дисконтирования при различных условиях (таблица 4), приняв равенство размеров ставок i и d :

Таким образом, на соотношение между множителями дисконтирования, исчисленным по процентной и учетной ставкам влияет длительность периода финансовой операции T.

При проведении краткосрочных финансовых операций, срок менее года, максимальный результат дисконтирования дает сложная процентная ставка i , минимальный – сложная учетная ставка d .

Если срок операции превышает один год, то максимальный дисконтирующий эффект дает простая процентная ставка i , минимальный – простая учетная ставка d .

Таблица 4 – Сравнение множителей дисконтирования в зависимости от сроков и способов начисления

по процентной ставке i .

Формулы множителей дисконтирования имеют следующий вид:

1)по процентной ставке i :

–способ простых процентов AdD 1 T d

–способ сложных процентов AdD(c ) (1 d )T

При помощи финансово-экономических расчетов можно определить длительность финансово-кредитной операции и размер установленной процентной ставки в зависимости от исходных параметров наращения и приведения.

Финансовые договора, как правило, устанавливают сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени оказывает существенное влияние на результаты расчетов. Однако имеют место и ситуации, когда срок финансовой сделки прямо не оговаривается, или когда его необходимо определить в процессе разработке условий займа.

Срок финансовой операции можно рассчитать на основе известных величин процентной ставки и процентного дохода.

Для таких расчетов используются ниже приведенные формулы (69-78). 1) продолжительность процентного периода при наращении по

сложной годовой ставке i :

2) длительность периода наращения по номинальной ставке процентов ( j ) m раз в году:

3) срок ссуды при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d :

4) срок ссуды при дисконтировании по номинальной учетной ставке (f) m раз в году:

5) срок ссуды при наращении по постоянной силе роста:

6) величина сложной годовой процентной ставки:

43

Уровень инфляции служит в качестве макроэкономического индикатора финансово-экономического состояния государства.

По степени проявления различают ползучую, галопирующую и гиперинфляцию. Для ползучей, или умеренной, инфляции характерны ежегодные темпы прироста цен в диапазоне 3-10 %, такой темп не опасен и рассматривается как стимул предпринимательской активности.

Галопирующая инфляция отличается скачкообразными ценовыми изменениями, непредсказуемостью, среднегодовыми темпами прироста цен

20-100 %.

Гиперинфляция возникает как результат коренных изменений политического устройства страны, глобальной реструктуризации экономики, военных действий. Прирост цен превышает 1000 % в год, что приводит к расстройству всех сфер экономики.

По способам возникновения выделяют:

1)открытую инфляцию, сопровождающуюся ростом цен на потребительские товары, услуги и производственные ресурсы;

2)скрытую (подавленную) инфляцию, порождаемую административным ценообразованием ввиду стремления удержать от роста «государственные» цены; это, в свою очередь, порождает товарный дефицит

искрытый рост цен на теневом рынке;

3)инфляцию спроса, если спрос на товары и услуги превышает предложение;

4) инфляцию издержек производства, если наблюдается рост производственных расходов и себестоимости товаров и услуг;

5)импортируемую инфляцию, вызываемую глобализационными тенденциями в экономике;

6)кредитную инфляцию, возникающую вследствие бесконтрольного проведения экспансионистской денежно-кредитной политикой;

Последствия инфляции негативны и заключаются в спаде производства ввиду неуверенности в перспективах его развития на фоне ценовой волатильности; стремлении капитала в сферу обращения, где быстрее его оборот; сворачивании операций на рынке ссудных капиталов вследствие их невыгодности из-за потерь стоимости во времени; обесценивании финансовых ресурсов страны; перераспределении национального богатства и дохода.

Внешними проявлениями инфляции являются устойчивое повышение уровня цен в экономике в течение достаточно длительного временного промежутка; снижение валютного курса национальной денежной единицы; рост цен на золото на внутреннем рынке; накопление частными лицами средств в мировых резервных валютах.

Вкачестве относительных показателей оценки уровня инфляции используются индексы изменения уровня цен товаров и услуг за конкретный временной интервал: индекс потребительских цен, дефлятор валового

45

внутреннего продукта, величина денежной эмиссии, сокращение товарных запасов и др.

Индекс потребительских цен – показатель международной статистики – характеризует динамику затрат на фиксированный набор товаров и услуг за счет действия ценового фактора. Данный показатель носит обобщающий характер, поскольку именно конечное потребление является завершающей фазой формирования валового внутреннего продукта и учитывает предыдущие этапы производственного процесса. Индекс потребительских цен в России рассчитывается ежемесячно и нарастающим итогом с начала года относительно декабря предшествующего года.

Дефлятор валового внутреннего продукта (ВВП) показывает влияние фактора цен на изменение стоимостного объема ВВП и также может служить в качестве обобщенного параметра инфляции, поскольку позволяет проследить движение цен на потребительском рынке и рынке инвестиций.

Инфляция оказывает отрицательное влияние на стоимость денег во времени, уменьшая их покупательную способность. Начисление процентов способствует наращению денежных сумм, однако это нивелируется воздействием инфляционных процессов. Вследствие инфляции происходит обесценение каждой денежной единицы, а в последующем еще сильнее снижается стоимость уже обесцененных денег.

Поскольку инфляция проявляется в росте цен Pt , то ее уровень можно измерить темпом их прироста r, а также периодом Т, в течение которого они вырастут в два раза. Рост цен, или темп инфляции, характеризующий относительное изменение цен за период, как правило, год, рассчитывается по формуле:

Следовательно, возможно описать рост цен правилом сложных процентов, и при сохраняющемся темпе инфляции

рассчитать, сколько потребуется лет Т для двукратного увеличения цен. В этом случае:

Pt (1 r)T 2 ; следовательно:

P0

Для приближенных расчетов количества лет удвоения можно использовать так называемое «правило 70», которое следует из формулы (81), поскольку приблизительное значение ln2 составляет 0,7. Данные формулы применимы и отрицательных темпах (r < 0), т. е. когда наблюдается не прирост цен, а относительное их снижение, или дефляция.

46

Для борьбы с инфляцией и ее последствиями государство использует различные антиинфляционные мероприятия, в частности ограничение спроса на деньги и общей величины денежной эмиссии посредством регулирования государственных расходов, повышения процентных ставок, увеличения налогового бремени и т.п. Негативный эффект чрезмерной дефляционной политики состоит в замедлении экономического роста.

Инвесторы не хотят мириться с обесцениванием своих накоплений, сбережений и вложений и предпринимают различные меры по компенсации потерь от снижения их покупательной способности. В финансовой математике инфляцию учитывают, компенсируя потери наращенной суммы вследствие роста цен, для чего корректируют ставку начисления процентов. Чтобы номинальная ставка j при годовой инфляции r соответствовала

пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается величиной темпа r, и ставку корректируют по формуле:

Индексация ставки процентов, по которой производится наращение – это наиболее распространенный метод. Если уровень инфляции равняется процентной ставке (r = i), то наращение полностью поглощается инфляцией, следовательно, реальный рост денежной стоимости отсутствует. Если имеет место опережение темпа прироста цен по сравнению с уровнем номинальной процентной ставки (r > i),то происходит «проедание» капитала и снижение реальной наращенной суммы. Рост реальной стоимости денег будет наблюдаться в случае превышения уровня процентной ставки над уровнем инфляции (r < i).

Пример 33: Ежемесячный темп инфляции составляет 12%. Произвести оценку годовой инфляции.

Решение: Исходя из принципа капитализации, рассчитаем годовой индекс цены:

IndP = (1 + 0,12)12 = 3,896;

и годовой темп инфляции:

r год = IndP – 1 = 2,896, т.е. 289,6%.

Пример 34: Годовая инфляция оценивается на уровне 10% . Необходимо рассчитать номинальную ставку j по ссудным операциям коммерческого банка, чтобы реальная ставка составила 5%.

Решение:

По формуле (82) требуемая номинальная ставка составит: j = 0,05 + 0,1 + 0,05×0,1 = 0,155 или 15,5%.

Для получения приближенного решения можно воспользоваться оценкой (83) и прийти к следующему примерному значению:

j = 0,05 + 0,1 = 0,15 или 15%.

47

Пример 35: Определить среднегодовой темп прироста валового внутреннего продукта, который по истечении 10-ти летнего периода обеспечит его удвоение.

Решение: 70/10=7%. Следовательно, среднегодовые темпы роста валового внутреннего продукта, обеспечивающие его удвоение через десять лет, должны составлять 7%.

Пример 36: Рассчитать, какой должна быть номинальная ставка процентов для финансовой операции, если требуемый уровень эффективности – 7% годовых, а годовой уровень инфляции составляет 22%.

Решение:

По формуле (82) требуемая номинальная ставка составит: j = 0,07 + 0,22 + 0,07×0,22 = 0,3054 или 30,54%.

То есть, номинальная ставка составит 30,54% при реальной ставке 7% и фактическом уровне инфляции.

Пример 36 А. Клиент взял в коммерческом банке ссуду на срок один год в размере 20 тыс. руб. по ставке 6% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Рассчитать, учитывая темп инфляции реальную процентную ставку по данному кредиту, сумму к погашению и процентный доход банка в сумме.

Решение:

Номинальная наращенная сумма

S = S0 × (1 + i×n) = 20000 (1 + 0,06) = 21200 руб.

Номинальные начисленные проценты

I = S – S0 = 21200 – 20000 = 1200 руб.

Реальная наращенная сумма

Sr = S0 / (1 + r) = 21200 / 1,18 = 17966,10 руб.

Реальный процентный доход составит:

Ir = Sr – S0 = 17966,10 – 20000 = -2033,90 руб.

Таким образом, данная кредитная сделка принесла банку убыток в сумме 2033,90 руб.

Определим, какой должна быть процентная ставка по кредиту с учетом инфляции: j = [(1 + i×n) × r – 1] / n = (1,06 × 1,18 – 1) / 1 = 0,2508

Тогда сумма к погашению составит:

S = S0 × (1 + i×n) = 20000 (1 + 0,2508) = 25016,00 руб.

Процентный доход коммерческого банка:

I = S – S0 = 25016 – 20000 = 5016,00 руб.

Реальный доход банка: Ir = Sr – S0 = 25016 / 1,18 – 20000 = 1200,00 руб.

Реальная доходность кредитной сделки: i = Ir / S0 =1200 / 20000 = 0,06 Для обеспечения доходности в размере 6% годовых, необходимо установить процентную ставку по кредиту с учетом инфляции 25,1%

годовых.

48

3.7 Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Сумма в 5 млн руб. выплачивается через 5 лет. Какова ее современная величина при условии, что применяются сложные проценты по ставке 10% годовых?

Задание 2. Физическое лицо занимает у другого гражданина 90 тыс. руб. и выдает вексель с обязательством выплаты через четыре месяца 100 тыс. руб. Найти годовую ставку сложного процента и годовую учетную ставку данной кредитной операции с финансами физических лиц.

Задание 3. Сравнить, какое вложение денежных средств на срок 6 месяцев выгоднее: а) под простую процентную ставку процентов размером 20% годовых; б) под сложную ставку в 19% годовых при ежеквартальном начислении процентов. При решении использовать сопоставления: 1) множителей наращения за 6 месяцев; 2) эффективных годовых процентных ставок.

Задание 4. Клиент разместил в коммерческом банке 2,5 млн. руб. под 8,5% годовых, а по истечении двух лет и 180 дней он изъял вклад. Рассчитать сумму полученную вкладчиком при условии, что банк использовал метод начисления:

а) сложных процентов; б) смешанный.

Задание 5. Определить эффективную ставку при ежемесячном начислении сложных процентов. Годовая номинальная ставка процентов по вкладам коммерческого банка составляет 12%.

Задание 6. Долгосрочное долговое обязательство номиналом 6 млн руб. со сроком погашения 7 лет учитывается банком по сложной ставке учетных процентов в размере 11% годовых. Рассчитать:

а) размер выплаченной банком суммы; б) сумму дисконта;

в) величину выплаченной банком суммы и размер дисконта при поквартальном учете; г) эффективную учетную ставку при поквартальном учете.

Задание 7. На срок 5 лет инвестирован капитал в сумме 1 млн. руб., на который финансовая компания производит начисления методом сложных проценты в размере 17% годовых. Вычислить, какой будет сила роста (эквивалентная ставка непрерывного наращения).

Задание 8. Исходные условия инвестирования: срок – 5 лет; начисление методом сложных процентов. По истечении срока наращения сумма процентов оказалась равной сумме основного долга. Определить процентную ставку двумя способами: по «правилу 70»; с использованием эффективной ставки.

Задание 9. Ставка налога на процентный доход составляет 13%. Процентная ставка – 20% годовых, срок вклада – 4 года. Сумма инвестиций –

49

900 тыс. руб. Метод начисления – сложные проценты. Вычислить сумму налога на доход.

Задание 10. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку по кредиту, при условии, что номинальная ставка составляет 16% годовых и при ежегодном начислении процентов.

Задание 11. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку по кредиту, при условии, что номинальная ставка составляет 16% годовых и при начислении процентов два раза в год.

Задание 12. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку по кредиту, при условии, что номинальная ставка составляет 16% годовых и при ежемесячном начислении процентов.

Задание 13. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку по кредиту, при условии, что номинальная ставка составляет 16% годовых и при непрерывном начислении процентов.

Задание 14. Сила роста меняется по линейному закону: а) растет со скоростью 4% в год; б) падает с той же скоростью.

Первоначальное значение силы роста – 6%, период наращения – 7 лет. Определите множитель наращения для указанных случаев.

Задание 15. У деревоперерабатывающего предприятия имеется лесоматериал, оценку стоимости которого в году n следует производить по формуле S(t) = 2(1+0,3n). Обозначим годовую ставку сложных процентов в течение периода исследования i. Обоснуйте формулу наилучшего периода n для начала производства и реализации лесоматериалов в зависимости от ставки i. Предложите рекомендации по использованию производственных материалов в случае, если процентная ставка составляет 10%.

Задание 16. Привести доказательство того, что при одинаковом значении процентной ставки начисление сложных процентов выгоднее простого метода при длительности периода наращения выше единицы, и убыточнее, если срок наращения – менее единицы.

Задание 17. Привести доказательство того, что при одной и той же учетной ставке дисконт при сложных процентах перекрывает простые проценты внутри единичного временного интервала и отстает от дисконта по простым процентам вне этого промежутка.

Задание 18. Гражданин поставил целью удвоить сумму денежных средств и открыл вклад с начислением по схеме простых процентов со ставкой 12% годовых. Рассчитать срок, по истечении которого будет накоплена требуемая сумма. Сравнить полученный срок с длительностью достижения цели, если банк использовал бы метод сложного процента.

Задание 19. Срок погашения долгового обязательства величиной 3 млн руб. наступает через 3 года. Годовая учетная ставка составляет 15%. Определить способ реализации обязательства, наиболее выгодный для продавца: с годовым удержанием сложных процентов; с дисконтом при полугодовом учете по сложной ставке. Ответ обоснуйте расчетами.

50