Финансовые и коммерческие расчеты (модуль 1). Учебное пособие

Пример 16: Вклад размером 45000 руб. внесен на счет в коммерческом банке сроком на 85 дней под 11% годовых. Определить наращенную сумму по методу сложных процентов.

Пример 17: Кредит в сумме 2 млн. руб. предоставлен кредитной организацией сроком на 5 лет по сложной процентной ставке 24% годовых. Определить процентный доход и возвращаемую сумму.

Решение: Сумма, подлежащая возврату:

S S0 1 i n 2000000 1 0,24 3 3813248 руб.

или S S0 Ai(c) 2000000 1,906624 3813248 руб.,

Таким образом, через пять лет следует вернуть сумму величиной 3813248 руб., из которой 2000000 руб. составляет основной долг, а 1813248 – цена кредита.

Нередко договора о финансово-кредитных сделках заключаются на срок, отличный от целочисленного значения. Если длительность контракта выражается дробью, то начислять проценты можно общим, либо смешанным методами расчета. Сущность общего метода состоит в прямом расчете:

начисления процентов используется формула сложных процентов, а для дробной части года – простых:

Наибольшее отклонение будет при b 12 .

Пример 18: В коммерческом банке получен кредит под 13% годовых в размере 450 тыс. руб. со сроком погашения через три года и 7 месяцев.

31

Исчислить сумму, которую необходимо выплатить банку по истечении срока договора общим и смешанным способами. Практика начисления процентов – германская.

Решение:

по общему методу:

S S0 1 i n 450 (1 0,13)3,7 707,29 тыс. руб.

по смешанному методу:

I S S0 707,29 450,00 257,29 тыс. руб.;

по смешанному методу I S S0 685,56 450,00 235,56 тыс. руб.

Таким образом, для кредитора смешанный способ расчета является более выгодным.

Рассмотрим частный случай изменения ставки сложных процентов во времени. Тогда наращенная сумма определяется по формуле:

значения ставок, n1,n2, ,nk – период, в течение которого ставка постоянна.

Пример 19: Кредитным договором предусмотрены следующие ставки сложных процентов: переменная ставка составляет 15% и маржа 9% – в первые два года; 7% – в третий год; 4% – в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение:

Воспользуемся формулой Ai(c) (1 i)n :

Ai(c) (1 i1)n1 (1 i2 )n2 (1 i3 )n3 (1 0,24)2 (1 0,22)(1 0,19) 2,232.

3.2 Сравнение способов начисления по простым и сложным

процентам

Сравнительная оценка схем простых и сложных процентов позволяет сделать вывод о целесообразности выбора метода начисления в зависимости от срока финансовой операции (таблица 2, рисунок 6). Допустим, уровень ставки составляет 12% годовых. Временная база – 365 дней. Сопоставим значения коэффициентов наращения по простым и по сложным процентам. Расчеты представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Численные расчеты коэффициентов наращения

приращению. При простых процентах базовая стоимость суть первоначальная сумма долга, это константа.

Начисление сложных процентов производится на накапливающуюся стоимость с учетом приращения процентов за каждый период. Экономический смысл простых процентов заключается в построении траектории развития исследуемых явлений и процессов, характеризующихся постоянными абсолютными приростами.

Схему сложных процентов отличает устойчивый тренд приращения базовой стоимости с определенным ускорением, поэтому данный метод позволяет обосновать вектор экономического роста в течение периода проведения финансовой операции.

3.3 Номинальные и эффективные процентные ставки

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, поскольку кредитор может производить ежеквартальное начисление процентов. При этом условия кредитной сделки включают именно годовую номинальную ставку с уточнением периода начисления (например, квартал) j . Тогда, если m – число периодов начисления за год, то ставка

периодического начисления определяется как отношение mj . Формула наращения в этом случае выглядит так:

где T nm – общее количество периодов начисления.

Допустим, что банк производит ежеквартальное начисление процентов по сложной ставке 12% годовых. Рассчитаем множитель наращения за год:

Как видим, периодическое начисление процентов увеличивает годовую ставку процентов (12,55%) по сравнению с номиналом (12,0%). В этом случае говорят, что эффективная ставка составляет 12,55%, а объявленная номинальная ставка – 12%.

Номинальной называется процентная ставка, используемая для расчетов, фиксируемая в финансово-кредитных контрактах. Эффективная ставка процента измеряет тот реальный относительный доход, который извлекают за год в целом от начисления процентов. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает результат, соответствующий периодическому начислению процентов по ставке за период.

34

Значение эффективной ставки определяется количеством начислений внутри периода, увеличиваясь с ростом m; при m 1 эффективная ставка выше номинальной.

Эффективная и номинальная ставки тождественны между собой в финансовом отношении, поэтому прямая и обратная замены в контракте эффективной ставки на номинальную ставку не изменяет финансовых обязательств контрагентов.

Пример 22: Определить годовую эффективную ставку процентов, исходя из того, что известно значение номинальной ставки – 20% при ежемесячной схеме начисления.

Решение: Из формулы (50) получаем:

Для сторон сделки не имеет значения, какую ставку применить 20% при помесячном начислении или годовую эффективную ставку 21,9381%.

Пример 23: Рассчитать номинальную ставку при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 13% годовых.

Решение: Из формулы (51) получаем: j 4 4 1 0,13 1 0,1241, т. е. 12,41%.

Если соответствующие номинальным годовым процентным ставкам годовые эффективные ставки равны, то можно утверждать об эквивалентности номинальных ставок.

Значение эффективной ставки состоит в том, что она служит мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее использование обеспечивает сопоставление финансовых операций с различными условиями.

3.4 Метод непрерывного начисления процентов

На практике в финансово-экономических расчетах схемы непрерывного наращения, т.е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Такая необходимость возникает при обосновании и выборе оптимального инвестиционного решения. При оценке деятельности организаций финансового сектора экономики, характеризующейся непрерывными денежными потоками в течение периода, целесообразно исходить из гипотезы, что прогнозируемые суммы постоянно изменяются во времени, поэтому есть смысл использовать метод непрерывного начисления процентов.

36

Чем больше количество периодов начисления процентов, тем меньше временной интервал между датами начисления. При непрерывном начислении процентов будущая стоимость за n лет по номинальной годовой процентной ставке j определяется следующим образом:

непрерывного начисления процентов за n лет по непрерывной годовой ставке

процентов .

Пример 24: На вклад в размере 3 млн. руб. начисляются непрерывные

проценты по ставке 9%.

Рассчитать, сколько на депозитном счете будет накоплено через 3 года. Решение: По формуле (53) найдем наращенную сумму:

S 3 e0,083 3,814 млн. руб.

Между дискретными и непрерывными ставками процентов наблюдается функциональная зависимость. Приравняем коэффициенты

Пример 25: Определить силу роста эквивалентную годовой ставке сложных процентов – 20%.

Решение: Из формулы (54) получаем:

ln(1 0,2) 0,1823 , или 18,23%.

3.5Дисконтирование по сложной ставке

Рассмотрим задачу определения S0 по значению дохода S ,

планируемого к получению через T лет при заданной ставке сложных процентов i .

Выведем из формулы будущей стоимости:

1 1Ti (1 1i)T ;

при T=1, результат одинаков:

1 1Ti (1 1i)T .

Процесс дисконтирования происходит с запаздыванием, поскольку каждая последующая учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как это имеет место при простых ставках дисконтирования, а к сумме, приведенной к настоящему моменту времени на предыдущем шаге.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

Пример 27: Долговое обязательство на сумму 400 тыс. руб. со сроком погашения 7 лет, куплено с дисконтом по сложной учетной ставке 12%. Определите величину приведенной денежной стоимости и сумму дисконта.

Решение: Из формулы: S0 S (1 d)T получаем:

S0 400000 (1 0,12) 7 1 6 3470, 239 руб.;

D S S0 400000 163470,239 236529,77 руб.

Сравним результаты, получаемые при дисконтировании по простым и сложным учетным ставкам (рисунок 7).

AdD

1 1 Td

(1 d )T

1

1 1/d T

Рисунок 7 – Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам

Если 0 T 1 , то 1 Td (1 d)T – более выгодным для должника является дисконтирование по сложной учетной ставке.

39

Если T 1, то 1 Td (1 d)T – более выгодным для заемщика является дисконтирование по простой учетной ставке.

При T 1, то 1 Td (1 d)T – выбор способа дисконтирования не влияет

на результат.

Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке mf . Тогда:

Во всех случаях, когда m 1, эффективная учетная ставка меньше номинальной.

Пример 28: Рассчитать эффективную годовую учетную ставку при номинальной учетной ставке 15% и дисконтировании:

а) ежемесячном, б) ежеквартальном,

в) каждое полугодиям, г) один раз в год.

С помощью сложной учетной ставки можно также рассчитать наращенную сумму. Из вышеприведенных формул (61) S0 S (1 d)T и (63)