Учебно-методическое пособие по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I

Алгебра случайных событий. Вероятность противоположного события. Тео-

рема о вероятности суммы совместных и несовместных событий. Зависимые и независимые события. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса.

3. Схема Бернулли. Предельные теоремы для формулы Бернулли.

Условия применимости схемы Бернулли. Формула Бернулли. Теорема Пуас-

сона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.

4.Дискретные случайные величины, их характеристики. Примеры рас-

пределений дискретных случайных величин.

Понятие случайной величины. Непрерывные и дискретные случайные вели-

чины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функции рас-

пределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величи-

ны. Среднее квадратическое отклонение. Закон Пуассона. Биномиальный за-

кон распределения.

5.Непрерывные случайные величины, их характеристики. Примеры рас-

пределений непрерывных случайных величин.

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности.

Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс распределения случайной величины. Вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для непрерыв-

ной случайной величины. Равномерный закон распределения. Экспоненци-

альный закон распределения. Нормальный закон распределения. Основные распределения математической статистики: 2 -распределение, распределе-

ние Стьюдента, распределение Фишера-Снедекора.

6. Нормальное распределение.

Нормальное распределение, его свойства и числовые характеристики. Функ-

ция Лапласа. Функция распределения нормальной случайной величины. Вы-

числение вероятности попадания нормально распределенной случайной ве-

личины в заданный интервал.

4

7. Предельные теоремы теории вероятностей.

Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Закон больших чисел. Централь-

ная предельная теорема.

8. Система двух случайных величин. Основы теории корреляции.

Понятие о двумерном законе распределения. Независимость двух случайных величин. Общая формула для дисперсии суммы (разности) двух случайных величин. Коэффициент ковариации. Коэффициент корреляции. Уравнение регрессии.

9. Основные задачи и методы математической статистики. Описательная статистика.

Генеральная совокупность и выборка. Объем выборки. Принципы формиро-

вания выборки. Понятие репрезентативности. Вариационный ряд выборки.

Эмпирическая функция распределения, ее связь с функцией распределения вероятностей. Гистограмма. Полигон частот. Оценки математического ожи-

дания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.

10. Свойства точечных оценок. Методы получения точечных оценок.

Несмещенность. Состоятельность. Достаточное условие состоятельности то-

чечной оценки. Эффективность. Неравенство Рао – Крамера. Метод момен-

тов. Метод максимального правдоподобия.

11. Интервальные оценки.

Связь между точечным и интервальным оцениванием. Доверительная веро-

ятность. Доверительный интервал. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения для случаев из-

вестной и неизвестной дисперсии случайной величины.

12. Статистическая проверка гипотез.

Понятие статистической гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы.

Общая схема проверки статистических гипотез. Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия Пирсона 2 .

13. Корреляционно-регрессионный анализ экспериментальных данных.

5

Выборочный коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент детермина-

ции. Построение и анализ выборочного уравнения регрессии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: КноРус, 2010.

2.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятно-

стей: Учебное пособие для втузов. – М.: КноРус. – 2016. – 366 с.

3.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные при-

ложения. – М.: Высшая школа, 2010.

4.Медведев Г.И., Ивченко Ю.И. Математическая статистика. Изд. 2, доп. –

М.: Высшая школа, 1992.

5.Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч., ч. 4. Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.В. Ефимова,

В.С. Поспелова: Учебное пособие для втузов. - М.: Физматлит. – 2004.

–432 с.

6.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, мате-

матической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс. – 2015.

–288 с.

7.Энатская Н.Ю., Хакимуллин Е.Р. Теория вероятностей и математическая статистика для инженерно-технических направлений: Учебник и практи-

кум. – М.: Юрайт, 2015. – 399 с.

8.Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Форум,

2008.

Дополнительная

1.Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Либроком, 2009.

2.Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. – М.: Форум, 2008.

3. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник.

– СПб: Питер, 2001.

4.Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. – СПб.: Питер, 1997.

6

5.Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000.

6.Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая ста-

тистика. – М.: КноРус, 2009.

7.Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. – М.: Бином. Лабора-

тория знаний, 2009.

ЛЕКЦИИ

1.Определение вероятности. Алгебра событий. Классическое определение вероятности. Случайные события. Теоремы сложения и умножения веро-

ятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. (2 ч.)

2.Случайные величины и их характеристики. (2 ч.)

3.Система двух случайных величин. Основы теории корреляции. (2 ч.)

4.Описательная статистика. Свойства точечных оценок. Методы получения точечных оценок. Интервальные оценки. (2 ч.)

5.Статистическая проверка гипотез. Корреляционный анализ. (2 ч.)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

1.Определение вероятности. Алгебра событий. Классическое определение вероятности. Случайные события. Теоремы сложения и умножения ве-

роятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. (2 ч.)

2.Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли. Дискретные случайные величины, их характеристики. Примеры распределений дис-

кретных случайных величин. (2 ч.)

3.Непрерывные случайные величины. Примеры распределений непрерыв-

ных случайных величин (2 ч.)

4.Система двух случайных величин. Предельные теоремы теории вероят-

ностей. (2 ч.)

5.Основные задачи математической статистики. Описательная статистика. (2 ч.)

6.Свойства точечных оценок. Методы получения точечных оценок. Интер-

вальные оценки. (2 ч.)

7

Процесс изучения дисциплины ТВ и МС направлен на формирование

элементов соответствующих компетенций в соответствии с ФГОС ВО по указанному направлению.

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать:

принципы вероятностного описания явлений природы, техники и обще-

ства;

основные законы распределения вероятностей и их характеристики,

предельные теоремы теории вероятностей, условия их применимости;

принципы статистического анализа данных различной природы.

уметь:

использовать вероятностные методы в технических приложениях;

строить вероятностные модели для конкретных информационно-

коммуникационных процессов;

проводить расчеты в рамках построенных вероятностно-статистических моделей;

планировать эксперимент с учетом ограничений используемых впослед-

ствии статистических методов обработки.

владеть навыками:

использования профессиональной вероятностно-статистической терми-

нологии для описания случайных явлений и методов их анализа;

применения аппарата теории вероятностей и математической статистики к конкретным данным;

иметь опыт аналитического и численного решения вероятностных и ста-

тистических задач.

8

Номер варианта для выполнения контрольной работы определяется

двумя последними цифрами номера студенческого билета (обозначим полу-

ченное двузначное число буквой a ):

1.Если число a меньше 25, то это и есть номер варианта.

2.Если a 25, 49 , то номер варианта равен a 25 (например, если номер студенческого билета ЗБЭ1638, то номер варианта будет

38–25 = 13).

3.Если a 50, 74 , то номер варианта равен a 50.

4.Если a 75, 99 , то номер варианта равен a 75.

1. Случайные события и их вероятности

Пример 1. Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятностями pk . При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каж-

дой из схем. Провести расчет для схемы на рис. 3 при p1 p4 0,2 , p2 p3 p5 0,1.

1

1

9

1. Для соединения на рис. 1 обрыв произойдёт, если будут разорваны все ветви, поэтому B A1 A2 ... An . В силу независимости отказов отдельных элементов P B P A1 P A2 ... P An .

2. Для соединения на рис. 2 обрыв происходит, если откажет хотя бы один элемент, поэтому B A1 A2 ... An .

Рекомендация. Вычисление вероятности суммы трёх и более совместных

событий всегда рациональнее вычислять переходом к противоположному

соединенных элементов (все отказали) C A1 A2 A3 . В силу независимости

P C P A1 P A2 P A3 0,002 .

Тогда B C A4 A5 . Переходим к противоположному событию (отка-

зал блок параллельных элементов и блоки 4 и 5).

P B P C A4 A5 P C P A4 P A5 0,998 0,8 0,9 0,71856,

тогда для вероятности обрыва соединения получаем

P B 1 P B 0,28144.

Пример 2. Пакет информации может поступить независимо от трёх источни-

ков с вероятностями 0,7; 0,8 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того,

что пакет информации поступит: а) только от одного источника; б) хотя бы от одного источника.

10