Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-методическое пособие по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

966 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Решение. а) Введем события Ai {пакет информации от i-го источника по-

ступил}, i = 1, 2, 3. Тогда по условию P A1 0,7 , P A2 0,8, P A3 0,9 .

Пусть B = {пакет информации поступил только от одного источника},

C = {пакет информации поступил хотя бы от одного источника}. Наступле-

ние события В означает, что реализовался один и только один из следующих сценариев: 1) пакет информации принят от первого источника, но не принят от второго и третьего (т.е. произведение этих трёх событий); 2) пакет инфор-

мации принят от второго источника, но не принят от первого и третьего;

3) пакет информации принят от третьего источника, но не принят от первого и второго. На языке алгебры событий (или первый сценарий, или второй,

или третий – т.е. сумма событий) это означает, что

B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

(обратите внимание, насколько эта запись короче словесного описания!),

причем отдельные слагаемые несовместны. Поэтому

P(B) P(A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P(A1 A2 A3 ) .

Поскольку

пакеты

информации

поступают

независимо,

то

P A1

P A1 P

. Аналогично можно разложить в произведе-

ние две другие вероятности. Окончательно получаем:

P B P A1 P

P A2 P

P A3 .

что P

1 P A1 1 0,7 0,3 ,

0,2 ,

0,1,

Учитывая,

имеем:

P B 0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9 0,092 .

б) В обозначениях алгебры событий имеем: C A1 A2 A3 . В соответствии с

рекомендацией перейдём к событию C -

не имело место ни одно из событий

A1 , A2 и A3

т.е. C A1 A2 A3 , поэтому (используя независимость событий)

0,3 0,2 0,1 0,006 .

Тогда P C 1 P

0,994 .

Пример 3. По каналу связи передаются шесть сообщений, каждое из кото-

рых, независимо от других, может быть искажено с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что будут искажены: а) два сообщения; б) не менее двух сообщений.

Решение.	Введем событие A {искажено два из шести сообщений},
B {искажено не менее двух из шести сообщений}. По формуле Бернулли
получаем:
P A P	2 C2 0,22 0,84 0,246 ;
6	6

P B P6 2 P6 3 P6 4 P6 5 P6 6 1 P6 0 P6 1

1 C60 0,20 0,86 C61 0,21 0,85 0,345.

Пример 4. Ресивер принимает 10 независимых двоичных импульсов в секун-

ду с вероятностью искажения каждого импульса 0,001. Найдём вероятность появления хотя бы одного искажения в секунду.

Решение. Нам пришлось бы применить формулу Бернулли при всех

1 k 10 и просуммировать результат. Рациональнее вычислить вероятность противоположного события - ни одного искажения в секунду.

Пусть – искомое количество	ошибок	в секунду. Тогда
P 1 1 P 1 1 P 0 1 C0	0,0010 0,99910	1 0,99910 0,01.
10

Пример 5. Составить решающее правило и найти вероятность ошибки для двоичной системы связи, в которой передаются два сообщения A и B, причем

P A 0,6, P B 0,4 , при этом в каждом сообщении передаются два сиг-

нала “0” и “1”, если P 0| A 0,2 , P 1| A 0,8, P 0| B 0,7 , P 1| B 0,3.

Решение. В этой задаче для выбора оптимального декодера мы воспользуем-

ся так называемым принципом максимума апостериорной вероятности. Для начала по формуле полной вероятности найдем вероятности появления сиг-

налов “0” и “1”:

P 0 P 0| A P A P 0| B P B 0,2 0,6 0,7 0,4 0,4 ,

P 1 P 1| A P A P 1| B P B 0,8 0,6 0,3 0,4 0,6 (для контроля

P 0 P 1 1). Найдем апостериорные (дословно «после опыта») вероятно-

сти передачи сигналов A и B при условии поступления сигналов “0” и “1” по формуле Байеса:

P A| 0

P 0| A P A

0,12

0,3;

P A|1

P 1| A P A

0,48

0,8 ;

P 0

0,4

P 1

0,6

P B | 0

P 0| B P B

0,28

0,7 ;

P B |1

P 1| B P B

0,12

0,2

P 0

0,4

P 1

0,6

(обратим

внимание, что

P A| 0 P B | 0 1,

P A|1 P B|1 1, т.е.

апостериорные вероятности, как и априорные (дословно «до опыта»), всегда в сумме дают единицу). Из полученных выражений решающее правило де-

кодера должно состоять в следующем: при поступлении сигнала “1” считать,

что передавалось сообщение A, а при поступлении “0” – сообщение B. Под-

считаем соответствующую вероятность ошибки декодера:

Pошибки P 0 P A|0 P 1 P B |1 0,24.

2. Случайные величины

Таблица 1

Описание случайных величин

Характеристика

Дискретные с.в.

Непрерывные с.в.

Функция рас-

x P x

пределения

Ряд распределения

Плотность распределения

Распределение

…

p x

F x

…

Квантиль xp

xp max x : F x p

уровня р

M xk pk

M xp x dx

	D M M 2 M 2 M 2

Дисперсия	D xk M 2 pk		D			x M 2 p x		dx
	k
	xk2 pk M 2				2	p x dx M	2
	k			x		p x dx M

Среднее квад-
ратическое от-			D
клонение
	cov , M M M M M M
	cov ,	cov ,
	cov ,

Ковариация	xk M yl M pkl	x M y M p x, y dxdy
	xk M yl M pkl	x M y M p x, y dxdy
	k ,l
	xk yl pkl M M
	xk yl pkl M M	xyp x, y dxdy M M
	k ,l	xyp x, y dxdy M M

Коэффициент	r , cov ,
корреляции	r , cov ,

Пример 6. Найдите закон распределения дискретной случайной величины ,

её дисперсию, выпишите функцию распределения и постройте график функ-

ции распределения, зная, что эта случайная величина принимает три значения x1 , x2 0 и x3 1. Известно, что P x1 0,3, P x2 0,2 ; M 0,2 .

Решение. По условию нормировки для дискретной случайной величины

P xi 1. Следовательно,					P x1 P x2 P x3 0,3 0,2 P x3 1,
i
откуда P x3 0,5.
Составим ряд распределения случайной величины :

	xi		x1	0		1
	pi		0,3	0,2		0,5
Математическое ожидание дискретной случайной величины , принимаю-
щей значения		x1, x2 ,..., xi ,... с вероятностями P xi pi ,					P xi 1,
							i

согласно таблице 1, вычисляется по формуле M xi pi . В данном приме-

ре: M x1 0,3 0 0, 2 1 0,5 0, 2 , или 0,3x1 0,3 и x1 1.

Окончательно закон распределения случайной величины имеет вид:

		xi			–1			0		1

		pi			0,3			0,2		0,5

Для вычисления дисперсии найдём M 2 .
					2 0,3
M	2			1	2 0,3	0	0,2 12		0,5 0,8.
Тогда			D M 2				M 2		0,8 0,04 0,76.

Построим функцию распределения этой случайной величины. По определе-

нию значение функции распределения случайной величины в произволь-

ной точке x равно вероятности события, состоящего в том, что эта случайная величина примет значение, меньшее, чем x, т.е. F x P x .

Для дискретной случайной величины функция распределения представляет собой функцию скачков в точках xi значений случайной величины. Для рас-

сматриваемой случайной величины эти значения равны –1, 0 и 1. Величина скачка в точке xi определяется вероятностью того, что случайная величина примет значение xi . В данной задаче величина скачка функции распределе-

ния в точке –1 равна 0.3, в точке 0 – 0.2, а в точке 1 – 0.5. Кроме того, если

x 1, F x 0 , а для значений x 1						F x 1. Таким образом:
	0,		x 1,
				1 x 0,
F x	0 0,3,			1 x 0,
F x		0,2,		0 x 1,
	0,3	0,2,		0 x 1,
		0,2 0,5,			x 1.
	0,3	0,2 0,5,			x 1.
Окончательно:
	0,		x 1,
			1 x 0,
F x	0,3,		1 x 0,
F x			0 x 1,
	0,5,		0 x 1,
	1,		x 1.

График этой функции имеет вид, представленный на рис. 4.

		F x
	1
	0.5	0.3
		0.3
–1	0		1	x
	Рис. 4

Пример 7 . Случайная величина – объём продукции предприятия в услов-

ных единицах, имеющая нормальное распределение. Определить дисперсию случайной величины, если известно её математическое ожидание 12 и веро-

ятность 0,8 попадания в интервал 10,14 .

Решение. Так как математическое ожидание является центром интервала, то используем формулу

		,
P{ m		,

В рассматриваемом примере , а вероятность равна 0,8. Получим урав-

нение относительно неизвестного :


						.

По таблицам функции Лапласа находим значение аргумента функции (кван-

тиль), при котором эта функция принимает значение 0,9:

2	2	1,56; 2 DY 2,44.

	1,28

Важное замечание. В литературе встречаются различные определения функции Лапласа. Мы используем определение:

	1	x	y2
x		e
			2 dy .

	2
	2

Это функция распределения нормального закона N 0,1 . Другое часто

встречающееся определение (обозначим эту функцию через Ф0) отличается

от приведённого выше, тем что нижний предел интегрирования равен нулю.

Эти две функции связаны равенством: x 0 x 0,5.

Будьте внимательны при использовании таблиц функции Лапласа: пер-

вым делом проверьте определение функции перед таблицей.

Пример 7. Случайная величина X – объём продукции предприятия в услов-

ных единицах. X – нормально распределённая случайная величина N (2,4) .

Условные единицы были изменены. Соотношение между новыми и старыми условными единицами определяется формулой Y 3X 1. Определить веро-

ятность попадания в интервал 2,17 случайной величины Y .

Решение. Линейное преобразование случайной величины, распределённой по нормальному закону, приводит к новой случайной величине, также рас-

пределённой по нормальному закону. Поэтому достаточно найти параметры этого распределения m MY и 2 DY :

MY M (3X 1) M (3X ) M ( 1) 3MX 1 3 2 1 5.

DY D(3X 1) D(3X ) D( 1) 9DX 0 9 4 36.

При вычислении MY были использованы следующие свойства математиче-

ского ожидания: Mc c , M (cX ) cMX , M (X Y ) M (X ) M (Y ) .

При вычислении DY были использованы следующие свойства дисперсии:

Dc 0, D(cX ) c2 DX , D(X Y ) D(X ) D(Y ) (при условии независимости

X и Y ).
В итоге мы получаем нормально				распределённую случайную величину
N (5,36) . Вероятность попадания в интервал , для нормально распреде-
лённой случайной величины N m, 2					находится по формуле
	m	m
P X					,

где x – функция Лапласа. В нашем случае
	17 5		2 5
P 2 X 17				2 0,5 0,9772 0,3085
P 2 X 17				2 0,5 0,9772 0,3085
	6		6
0,6687.

Пример 8. Годовой доход физического лица в некоторой стране облагает-

ся налогом, если он превышает порог x0 , x0 0 . Для описания уровня дохо-

дов часто используется распределение Парето, которое в общем виде запи-

	c	, x x
сывается как

	p x xn	0 , где n 4 .
	0,	x x
		0

Найти нормирующую постоянную с , функцию распределения вероятностей,

математическое ожидание M , дисперсию D , среднеквадратическое от-

клонение случайной величины , медиану распределения x1 2 . Вычис-

лить вероятность того, что наудачу взятый человек, платящий налог, имеет доход ниже среднего значения.

Решение. Для нахождения постоянной с воспользуемся условием

нормировки

p x dx 1.

В данном случае получаем

x dx

n 1 xn 1

откуда c n 1 x0n 1 , и плотность распределения в общем виде записывается

как

n 1		x		n	x x0
			0	,
				,
p x x0		x				.
	x x0
0,	x x0
						x
Из определения					функции распределения F x p y dy следует,

что при x x0		подынтегральная функция равна нулю, поэтому для таких зна-

чений получаем F x 0 . При x x0 область интегрирования разбивается на две части:

		x				x0
F x p y dy p y dy

x		n 1	x	x		n 1
x		n 1	x	x		n 1
	0			1	0
	y			1
	y		x0		x
			x0

Окончательно получаем: F x

x0	x	n 1	x		n
y dy	0dy			0		dy
		x0		y
	x0

x		n 1		x x0
	0		,
	x				.

x x0

Для нахождения медианы нам надо решить относительно x1 2 уравне-

ние

F x1 2 0,5. Подстановка вида функции

F x в последнее уравнение

дает:

n 1

0,5 ,

0,5

и окончательно x1 2 x0

2 . Это значение,

1 2

как и всякая медиана, делит множество возможных значений случайной ве-

личины на две равновероятные области: P x1 2 P x1 2 0,5.
Вычисление математического	ожидания,	в соответствии с табл. 1,
		x dx .
сводится к нахождению интеграла	M xp	x dx .

Область интегрирования разбиваем на две части в соответствии с видом плотности распределения:

n 1

M xp

x dx

x 0dx x

dx n 1 x0n 1 x n 1dx

n 1 xn 1

x n 2

n 1

n 2

n 2 0

Для нахождения дисперсии сначала найдем

n 1 x

M 2 x2 p x dx x2 0dx x2

n 1 x0n 1 x n 2dx

x0 x

n 1 xn 1

x n 3

n 1

n 3

n 3 0

Тогда в соответствии с табл. 1 дисперсия равна

n 1

D M

n 3

n 3 n

n 2

n 1

и среднеквадратическое отклонение

x0 .

n 3 n 2 2

Для нахождения вероятности того, что наудачу взятый человек, платя-

щий налог, имеет доход ниже среднего значения, заметим, что здесь, как и во многих других случаях, слово «средний» используется как замена математи-

ческого ожидания. Обозначим m M . Таким образом, требуется найти

P m . Для этого воспользуемся найденной ранее функцией распределе-

ния вероятностей, учитывая, что m 0:

x		n 1	n 2	n 1
P m F m 1	0		1	.

m			n 1

Применим выполненный анализ к конкретному случаю: необлагаемый

доход x0 1000 у.е.,				в распределении Парето n 5 . Подставляя в результаты
			c 4 10004 ,
анализа получаем			c 4 10004 ,				x		10004 2 1189,207 ,
							1 2
		1000			5						1000		4
					5								4

p x	0.004				,	x 1000				1			,	x 1000
	0.004				,	x 1000				1			,	x 1000
			x					,	F x			x			.
		1000									x 1000
	0, x	1000								0,	x 1000

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]