Учебно-методическое пособие по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I

Суть ЗБЧ состоит в том, что при некоторых весьма общих условиях совместное действие случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. На этом фундаментальном факте построен весь стати-

стический анализ данных.

Другая группа теорем теории вероятностей, устанавливающая связь между законами распределения суммы случайных величин и его предельной формой – нормальным законом распределения, называется центральной пре-

дельной теоремой (ЦПТ). Различные формы ЦПТ отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных величин.

В наиболее простом случае независимых и одинаково распределённых слага-

емых ЦПТ может быть сформулирована следующим образом.

Теорема (Центральная предельная теорема в форме Леви).

Если случайные величины 1 , 2 ,..., n ,... независимы, одинаково рас-

пределены и имеют конечную дисперсию, то при n равномерно по

x R1

Замечание: Функция, выступающая в качестве предельной в ЦПТ – это функция распределения стандартного нормального закона N 0,1 , т.е. функ-

ция Лапласа. Её значения приведены в многочисленных таблицах, как в пе-

чатных, так и в электронных табличных процессорах. Например, для нахож-

дения 0,5 в MS Excel надо вести в ячейку функцию НОРМРАСП(0.5,0,1,

истина) и получить значение примерно 0,6914. Часто возникает обратная за-

дача нахождения квантили, т.е. решения уравнения x p . В MS Excel это

22

В частном случае схемы из n испытаний Бернулли с вероятностью p

успеха в одном испытании для общего числа успехов имеем при n

Этот результат носит название интегральной предельной теоремы Муавра-

Лапласа. Вероятность отдельного значения m описывается локальной предельной теоремой Муавра-Лапласа:

Замечание. При малых значениях p в схеме Бернулли лучшее качество аппроксимации даёт следующая теорема о вероятностях редких событий.

Теорема (Теорема Пуассона).

Если в схеме Бернулли p p n 0 при n и np n 0 , то для лю-

бого m 0,1, 2,... при n

P m e m . m!

Замечание. При расчетах всегда n и p конечны, поэтому выбор при-

ближения в схеме Бернулли (нормальное по ЦПТ или пуассоновское по тео-

23

реме редких событий) осуществляется на основе подсчета npq . Так, при

больших n и npq 9 лучшее приближение дает распределение Пуассона, в

противном случае следует воспользоваться ЦПТ [7, § 3.3].

Пример 10. По каналу связи передаётся сообщение, состоящее из

n 105 двоичных символов. Вероятность искажения каждого символа равна

Пример 11. В страховой компании застраховано 10000 лиц одной возрастной и социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,0064. Каждый застрахованный вносит в год 10 у.е.

и в случае смерти его родственники получают от компании 1000 у.е. Чему равна вероятность того, что: а) компания потерпит убытки; б) компания по-

лучит прибыль, не меньшую 40000, 60000, 80000 у.е.?

Решение. Мы имеем дело с независимыми испытаниями Бернулли,

общее число испытаний n 10000, вероятность наступления смерти и,

следовательно, выплат компании, p 0,0064 .

Компания потерпит убытки, если из числа ее клиентов умрут более 100 чело-

век. Применим интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа, учиты-

вая, что в данном случае n p 64, n p q 63,59, n p q 7,974 :

24

Таким образом, вероятность того, что выплаты превысят поступления стра-

ховых взносов, приближенно равна 1,8 10 6 .

Для того чтобы прибыль оказалась не менее 40000 у.е., необходимо, чтобы пришлось делать выплаты менее 60 клиентам. Поэтому

1 0,6915 0,3085.

Аналогично рассчитываем вероятность того, что прибыль составит не менее

60000 у.е. (менее 40 выплат) и не менее 80000 у.е. (менее 20 выплат по стра-

ховым случаям):

1 0,999999779 2,2 10 7.

Таким образом, как чистые убытки, так и чрезмерные прибыли представля-

ются практически очень малоправдоподобными событиями.

Замечание 1. Рассмотренная задача представляет собой реальный рас-

чет в задаче страхования. Компании стараются определить страховой взнос в каждой группе страхователей и страховое возмещение таким образом, чтобы страхование различных рисков представлялось клиентам привлекательным.

Ключевую роль при этом играет оценка вероятности наступления страхового случая p . Чем больше клиентов застраховано в данной компании, тем устой-

чивее ее положение на рынке страховых услуг.

Замечание 2. Для нахождения значений функции x можно вос-

пользоваться не только обычными таблицами этой функции, но и встроен-

ными функциями MS Excel. Например, нахождение 4,64 соответствует запросу НОРМРАСП(4.64,0,1,ИСТИНА) и дает значение 0,999998256.

25

Вопросы для самопроверки

1.Как проверяется адекватность модели? Приведите примеры выбора моделей.

2.Каково соответствие схем выбора и размещений?

3.Выпишите формулу сложения вероятностей для трех произвольных событий.

4.Выпишите формулу умножения вероятностей для трех произвольных событий.

5.Приведите примеры точных и асимптотических связей распределений.

6.Как восстановить ряд распределения дискретной случайной величины по ее функции распределения?

7.Как используются таблицы функции Лапласа для подсчета вероятно-

стей нормально распределенных случайных величин?

8.Как связаны распределение двумерной случайной величины и распре-

деления ее отдельных компонент?

9.Приведите примеры явлений природы и технических процессов, в ко-

торых появляются случайные величины со следующими распределени-

ями: биномиальным, геометрическим, Пуассона, равномерным, экспо-

ненциальным, Гаусса.

10.Какие данные нужны для нахождения математического ожидания и

n

дисперсии линейной комбинации случайных величин ci i , ci – неко-

i 1

торые известные постоянные, i – случайные величины, 1 i n ?

11.Как связаны между собой ЗБЧ и ЦПТ?

12.Опишите применение ЦПТ для приближения биномиальной схемы.

13.В каком случае для приближенного расчета о формуле Бернулли при большом числе испытаний следует использовать распределение Пуас-

сона, а в каком – распределение Гаусса?

14. В чем смысл «правила трех сигма»? Каково его практическое исполь-

зование?

26

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Задача 1

Варианты 00-12

Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятно-

стями pk . При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается.

Найти вероятность обрыва соединения за этот период для схемы

Варианты 13-24

Отдельные элементы каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода независимо от остальных с вероятно-

стями pk . При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается.

Найти вероятность обрыва соединения за этот период для схемы:

27

Задача 2

Варианты 00-12

Поставщик задерживает поставку товара с вероятностью p , задержки товара в разных партиях независимы между собой. По условиям контракта в случае задержки на поставщика накладываются штрафные санкции. При каком ми-

нимальном числе партий товара вероятность того, что поставщик должен бу-

дет платить штраф, окажется не меньше 0.999?

Варианты 13-24

Датчик системы безопасности срабатывает в n% случаев несанкционирован-

ного проникновения в помещение. При отсутствии такого проникновения он реагирует на изменение физических параметров среды (т.е. ложно срабаты-

вает) в m% случаев. Зафиксировано срабатывание датчика. Какова вероят-

ность того, что кто-то несанкционированно проник в охраняемое помещение,

если априорные вероятности наличия и отсутствия посторонних одинаковы?

28

Задача 3

Варианты 00-12

Найдите ряд распределения дискретной случайной величины , выпишите функцию распределения и постройте её график, зная, что эта случайная величина принимает пять значений. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Варианты 13-24

Найдите ряд распределения дискретной случайной величины , если её математическое ожидание равно 10, зная, что эта случайная величина принимает пять значений. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

29

Задача 4

Варианты 00-12

При передаче ФМ сигнала мешающим параметром является начальная фаза сигнала, которая распределена равномерно R a,b . Плотность распределения имеет вид

Найти постоянную c , функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания в интервал , для этой случайной величины

Варианты 13-24

Время сервисного обслуживания распределено по закону с плотностью распределения

(экспоненциальный закон с задержкой времени обслуживания ). Найти постоянную c , функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания в интервал , для этой случайной величины

30