Технология измерительного эксперимента. Учебное пособие для студентов направления 12.04.01

Перечисленные исходные данные условно делятся на три группы в соответствии с тем, на каких этапах измерения они получены. К первой группе относится априорная информация, выделенная на подготовительных этапах измерения (пп. а, б). Результаты наблюдений и дополнительных измерений (пп. в, г), т. е. основные данные для обработки, полученные на экспериментальном этапе измерения. Наконец, при выборе алгоритмов обработки используют также сведения об алгоритмах (п. д) и априорные оценки погрешностей (п. е).

Кроме выделения и анализа априорной информации, обычно целесообразен предварительный анализ экспериментальных данных. При этом используются простейшие математические методы, быстрые и наглядные, часто – графические.

2). Вычисление и внесение поправок. К точности вычисления поправок предъявляются столь же высокие требования, как и к точности вычисления результата измерения.

3). Формулирование и анализ математической задачи обработки данных; исходными являются соотношения (6.1), которые конкретизируются с учётом сведений о погрешностях измерения, а также критериев качества оценок.

4). Для решения сформулированной математической задачи имеется несколько возможных алгоритмов обработки данных. Необходимо не только сформулировать в явном виде последовательность алгебраических и логических операций (в итоге выполнения которых по исходным данным будут получены результат измерения и оценка его погрешности), но и указать основные характеристики алгоритма, которые позволят обосновать его применение для решения конкретной задачи.

Для простых и широко распространённых задач возможные алгоритмы обработки хорошо известны и необходимо лишь учитывать их область применения. Для более сложных задач необходимо специаль-

51

51

но строить алгоритмы, используя один из известных математических методов.

5). Анализ возможных алгоритмов обработки и выбор одного из них на основании известных свойств алгоритмов, априорных данных о погрешностях и предварительного анализа экспериментальных данных. Если для решения данной задачи можно использовать несколько алгоритмов, то необходимо выбрать наиболее подходящий из них. На практике алгоритм выбирают из соображений простоты и удобства. Однако при выполнении измерений высокой точности (и при плохо известных условиях измерений) целесообразно выбирать алгоритмы обработки на основе их объективных характеристик, математической модели измерения и априорных сведениях о погрешностях.

6). Проведение вычислений согласно принятому алгоритму (в итоге получают значение измеряемой величины и показатели погрешности измерения). При измерениях высокой точности для эффективного выполнения вычислений необходим также большой объём предварительного метрологического анализа.

7). После проведения вычислений необходимо провести анализ полученных результатов и прежде всего осуществить:

–проверку результатов на соответствие исходным требованиям по диапазону, точности и др.;

–проверку адекватности результатов принятой математической модели измерения (с помощью

соответствующих критериев согласия).

Если при проверке некоторые требования оказались не выполненными, то необходимо вернуться к предыдущим этапам процедуры измерения.

8). Запись результата измерения и показателей погрешности в соответствии с установленной формой, что обеспечивает единообразие и возможность сопоставления различных результатов.

52

52

–оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.

Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности

Повторив несколько наблюдений, получим ряд значений измеряемой величины (Х1, Х2, ..., Хn ). Эти значения отличаются одно от другого, но если измерения проводились в одинаковых условиях, заслуживают одинакового доверия. Стремясь приблизиться к истинному значению измеряемой величины, вычисляют среднее арифметическое значение результатов ряда наблюдений по следующей формуле:

Здесь χ – среднее значение; n – число наблюдений; Хi – результат i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n). При этом предполагается, что результаты наблюдений свободны от систематических погрешностей.

Это равенство справедливо всегда, если при вычислении среднего арифметического не производилось округление. Если же округление сделано, то всегда можно оценить, в какой степени отклонение от нуля соответствует этому округлению.

2). Сумма квадратов Vi имеет минимальное значение

другое значение и определим отклонение от него результатов отдельных наблюдений, то сумма квадратов этих отклонений всегда будет больше, чем сумма квадратов отклонений от среднего.

54

54

Определение среднего квадратического отклонения по опытным данным

При бесконечном числе испытаний случайная величина может принимать любые значения, называемые генеральной совокупностью. Некоторое число n этих значений называют выборкой объёма n. Определяя по данным этой выборки характеристики закона распределения, получаем не истинные значения дисперсии D, среднего квадратического отклонения и т. д., характерные для всей генеральной совокупности, а лишь их оценки.

Оценка β среднего квадратического отклонения результата наблюдения (любого из ряда Х1, Х2, ..., Хn) вычисляется по формуле

Появление в знаменателе подкоренного выражения (n–1) связано с заменой истинного значения измеряемой величины средним арифметическим результатов наблюдений.

Вычисление вероятности попадания случайной погрешности в заданный интервал, уровень значимости

Вероятность попадания погрешности в доверительный интервал с границами +ε и –ε при нормальном распределении выражается фор-

мулой Р[–ε < < +ε] = Ф(t). (6.7)

Здесь функция Ф(t) (табл.6.1, 6.2) называется интегралом вероятностей (интегралом Лапласа); t = ε/ ; ε = t . Вероятность того, что случайная погрешность окажется за границами интервала ±ε, равна P{ [ε] < } = 1– Ф(t). Ф(t), соответствующая данному доверительному интервалу ±ε, называется доверительной вероятностью, а значение 1– Ф(t) – уровнем значимости. На практике доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий.

Часто пользуются доверительным интервалом от +3σ до –3σ, для которого доверительная вероятность равна 0.9973 или 99.73%.

55

55