Блок 9.
Поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди всех ранее построенных гиперплоскостей в результате подстановки в уравнение каждой гиперплоскости координат ее вершины и данной граничной точки. Признаком генеральной гиперплоскости является противоположность знаков результатов подстановки.
Блок 10.
Проверяется наличие для выбранной граничной точки хотя бы одной генеральной гиперплоскости. Отсутствие генеральной гиперплоскости для данной граничной точки свидетельствует о том, что точка оказалась внутри области работоспособности, и данная точка может быть исключена как граничная.
Блок 11.
Для найденной генеральной гиперплоскости производится поиск координат N точек, по которым она была построена.
Блок 12.
Знаки неравенств «³» и «£» определяются в результате подстановки координат вершин гиперплоскости в уравнение гиперплоскости. При этом используется свойство вершин принадлежать области работоспособности. Символ «£» соответствует отрицательному знаку результата подстановки, символ «³» – положительному. Для удобства использования результатов построения области работоспособности все неравенства приводятся к виду «³ 0».
1.5.1.Пример построения области работоспособности и расчета попадания точки в заданную область
Задана таблица работоспособности объекта с параметрами x1, x2 (табл. 1.2).
|
x1 |
x2 |
Таблица 1.2 |
№ п/п |
Работоспособность объекта |
||
1 |
6 |
10 |
Да |
2 |
1 |
8 |
Да |
3 |
2 |
3 |
Да |
4 |
7 |
5 |
Да |
5 |
8 |
2 |
Да |
6 |
11 |
6 |
Да |
7 |
10 |
8 |
Да |
Вопрос: будет ли работоспособен объект с данными параметрами:
x* = 6, |
x* = 6 ? |
1 |
2 |
Решение. Геометрическое представление исходных данных приведено на рис. 1.12.
18
x2 |
|
|
10 |
1 |
|
9 |
|
|
8 |
2 |
7 |
7 |
|
|
6 |
|
|
5 |
4 |
6 |
4 |
|
|
3 |
3 |
|
2 |
|
5 |
1 |
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x1 |
|
0
Рис. 1.12. Координаты исходных данных
Проведем построение области согласно алгоритму, изложенному ранее.
1 шаг.
Берется (N + 1) точки в N-мерном пространстве, в нашем случае N = 2, т.е. берем точки 1, 2, 3.
Через каждые N точек проводится гиперплоскость и заполняется таб. 1.3.
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
Прямая |
|
1 – 2 |
2 – 3 |
1 – 3 |
|
Вершина |
|
3 |
1 |
2 |
|
Координаты |
|
2; 3 |
6; 10 |
1; 8 |
|
вершин |
|
||||
|
|
|
|
||
Координаты |
|
6; 10 |
1; 8 |
6; 10 |
|
1-й точки |
|
||||
|
|
|
|
||
Координаты |
|
1; 8 |
2; 3 |
2; 3 |
|
2-й точки |
|
||||
|
|
|
|
||
Уравнение |
x1 |
– 2,5 x2 + 19 = 0 |
x1 + 0,2 x2 – 2,6 = 0 |
7 x1 – 4 x2 – 2 = 0 |
|
прямой |
|||||
|
|
|
|
2 шаг.
Для точки 4 ищем генеральную гиперплоскость среди всех ранее построенных плоскостей. Является ли (1 – 2) генеральной гиперплоскостью для точки 4?
S (т.4) = 7 – 2,5 × 5 + 19 > 0,
S (т.3) = 2 – 2,5 × 3 + 19 > 0, т.е. (1 – 2) не является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.
Для точки 4 генеральная гиперплоскость (1 – 3); S (т.4) = 7 × 7 – 4,5 – 2 > 0,
S (т.2) = 7 × 1 – 4,8 – 2 < 0, т.е. (1 – 3) является для точки 4 генеральной гиперплоскостью.
Мы снова имеем (N+1) точку – это {1, 3, 4}.
19
Через каждые N точек проведем гиперплоскости (в данном случае прямые).
Для упрощения построения часть таблицы не заполняется.
Прямая |
1 – |
3 |
3 – |
4 |
1 – |
4 |
Вершина |
4 |
|
1 |
|
3 |
|
После обработки каждой точки генеральная гиперплоскость и плоскости повторяющиеся (одни и те же плоскости в разных таблицах) вычеркиваются.
3 шаг. Для точки 5 генеральная гиперплоскость (1–4), а также (3 – 4).
Прямая |
1 |
– 4 |
4 |
– 5 |
1 |
– 5 |
Вершина |
|
5 |
|
1 |
|
4 |
Прямая |
3 |
– 4 |
3 |
– 5 |
5 |
– 4 |
Вершина |
|
5 |
|
4 |
|
3 |
4 шаг. Для точки 6 генеральная гиперплоскость (1 – 5). |
|
|
||||
Прямая |
1 |
– 5 |
5 |
– 6 |
1 |
– 6 |
Вершина |
|
6 |
|
1 |
|
5 |
5 шаг. Для точки 7 генеральная гиперплоскость (1 – 6). |
|
|
||||
Прямая |
1 |
– 6 |
6 |
– 7 |
7 |
– 1 |
Вершина |
|
7 |
|
1 |
|
6 |
Получили границу области работоспособности: (1 – 2) – (2 – 3) – (3 – 5) – (5 – 6) – (6 – 7) – (7 – 1).
Окончательный шаг. Для перехода от уравнений гиперплоскостей к соответствующим неравенствам необходимо в линейную форму (левая часть уравнения гиперплоскости) поставить координаты вершины.
Если величина линейной формы положительна, то знак «=» меняется на «³», если же отрицательна, то знак «=» меняется на «£».
Пример: (1 – 2): x1 – 2,5 x2 + 19 = 0. S (т.3) = 2 – 2,5 × 3 + 19 > 0.
Соответствующее неравенство имеет вид: x1 – 2,5 x2 + 19 ³ 0. Полученная область имеет вид, представленный на рис. 1.13.
20
x2 |
1 |
|
10 |
||
2 |
||
9 |
||
8 |
7 |
|
7 |
|
|
6 |
|
|
5 |
6 |
|
4 |
||
|
||
3 |
3 |
|
2 |
||
5 |
||
1 |
||
|
||
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x1 |
0
Рис. 1.13. Область решений системы неравенств Система неравенств имеет следующий вид:
(1 – 2) Þ x1 – 2,5 x2 + 19 ³ 0; (2 – 3) Þ x1 + 0,2 x2 – 2,6 ³ 0; (3 – 5) Þ x1 + 6 x2 – 20 ³ 0;
(5 – 6) Þ – x1 + 0,75 x2 + 6,5 ³ 0; (6 – 7) Þ – x1 – 0,5 x2 +14 ³ 0; (7 – 1) Þ – x1 – 2 x2 + 26 ³ 0.
Проверка работоспособности объекта состоит в выполнении данных неравенств. Если хотя бы одно из неравенств не удовлетворяет условию, то точка не попадает в область.
Рассмотрим теперь пример определения попадания точки с заданными координатами (х1; х2) в полученную область. Для этого открыть Windows-приложение MS Excel.
Все необходимые данные занести в таблицу, как показано на рис. 1.14.
Рис. 1.14. Рабочее окно пакета MS Excel
21