Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория упругости с основами теории пластин и оболочек. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

904 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р.А. Каюмов

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ С ОСНОВАМИ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Учебное пособие

Ай Пи Ар Медиа Москва

2022

УДК 539.3 ББК 30.121 К31

Рецензенты:

Паймушин В.Н. — д-р физ.-мат. наук, проф. КГТУ им. А.Н. Туполева, академик АН РТ;

Серазутдинов М.Н. — д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ им. С.М. Кирова

Каюмов, Рашит Абдулхакович.

К31 Теория упругости с основами теории пластин и оболочек: учебное пособие / Р.А. Каюмов ; Казанский государственный архитектурно-строительный университет. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 79 с. — Текст : электронный.

ISBN 978-5-4497-1388-9

В учебном пособии рассмотрены основные понятия, допущения и законы, применяемые в теории упругости, теории пластин и оболочек. Приведены некоторые методы решения задач, уравнений равновесия, уравнений теории упругости в напряжениях.

Предназначено для изучения дисциплин «Теория расчета пластин и оболочек» (направление подготовки 08.03.01 «Строительство», специальность 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений»), «Теория упругости с основами теории пластичности и ползучести» (специальность 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений»), ««Теория пластин и оболочек» (направление подготовки 15.03.03 «Прикладная механика»).

Учебное электронное издание

ISBN 978-5-4497-1388-9	© Каюмов Р.А., 2015
	© Казанский государственный
	архитектурно-строительный университет, 2015
	© Оформление. ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2022

ВВЕДЕНИЕ

Расчет конструкций можно условно разбить на 2 следующих этапа:

1)Определение напряженно-деформированного состояния конструкции.

2)Проверка ее прочности, жесткости и устойчивости.

Вкурсах сопротивления материалов и строительной механики этот расчет ведется для элементов конструкций, изготовленных из стержней. Теория же упругости – это наука, которая занимается вопросами определения напряженно-деформированного состояния упругих тел произвольной конфигурации, в том числе характерных для строительства балок-стенок, плит, стыковых узлов.

Статическая теория упругости использует следующие законы механики:

1.Уравнения равновесия:

∑ Fx=0, ∑ Fy=0, ∑ Fz=0, ∑ Mx=0, ∑ My=0, ∑ Mz=0.

(В.1)

2.Закон Гука, который предполагает прямо пропорциональную зависимость деформаций от нагрузок. Из курса сопротивления материалов известны следующие соотношения обобщенного закона Гука:

εx

σ x

− μ

σ y

− μ

σ z

ε y

σ y

− μ

σ x

− μ

σ z

εz

σ z

− μ

σ x

− μ

σ y

(В.2)

γ xy

τ xy

, γ xz

= τ xz , γ yz

τ yz

3.Закон Дюгамеля-Неймана (закон линейного температурного расширения):

εx = εу = εz = α∙∆T.

(В.3)

1.УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

1.1.Уравнения равновесия внутреннего малого элемента

Основное отличие теории упругости от сопротивления материалов и строительной механики заключается в следующем. В последних двух дисциплинах используется метод сечений, в котором конструкцию делят на две части. Воздействие одной части на другую заменяют силами и моментами. Эти воздействия находятся из условия, что любая часть конструкции находит в покое. Например, для конструкции, изображенной на рис.1.1, уравнения равновесия отсеченной части имеют вид:

åFx = 0 : − N1 − N2 cosα = 0,

åFy = 0 : − N2 sinα − P = 0.

Отсюда:

N2 = −P / sinα,

N1 = Pctgα.

Рис.1.1

В теории упругости из конструкции сечениями выделяется малый элемент (рис.1.2). На него со всех сторон соседние элементы воздействуют давлениями (распределенными по поверхности нагрузками) σх, σу, σz, τху, τyz, τxz, которые называются напряжениями. Для этого элемента записываются уравнения равновесия, физические соотношения, связывающие напряжения с кинематическими параметрами этого элемента. Совокупность таких уравнений для всех микрочастиц и является объектом изучения теории упругости. Составим уравнения равновесия для малого элемента, изображенного на рис.1.2. Для простоты ограничимся напряжениями σх, σу, τxy , τyх .

Рис.1.2

Первый индекс в обозначении касательных напряжений показывает площадку, на которую действует напряжение, второй индекс показывает направление.

Правила для изображения положительного направления напряжений приведены на рис.1.3.

Рис.1.3

Нормаль к грани выбирают так, что она направлена наружу от рассматриваемого элемента. Если направление нормали совпадает с осью х, то положительные σх, τху, τхz направлены в положительном направлении осей х, у, z, если нет, то напряжения направлены в обратную сторону.

Малые величины, на которые различаются напряжения на правой и левой гранях элемента, обозначим через dσх, dσу, dτxy.

Поскольку малая частица является частью всего тела, то эта частица тоже находится в покое, поэтому можем записать уравнения его равновесия в виде:

åFx = 0, åFy = 0, åFz = 0.	(1.1)
5

одно слагаемое

åMx = 0,	åM y = 0,				åMz = 0 .
Из первого уравнения вытекает:
−σ x dzdy + (σ x + dσ x )dzdy −τ yx dxdy + (τ yx + dτ yx )dxdy = 0.
Это уравнение делим на объем					dxdydz . В результате
упрощений получим:		dσ			dτ yx
			x	+		= 0.
					dy
		dx

(1.2)

(1.3)

после

(1.4)

Если имеется воздействие по оси z, то в уравнение добавляется еще

dτ zx .

На тело, кроме внешних поверхностных сил могут действовать объемные силы (например, удельный вес). Обозначим эти силы через qx , qy, qz.

Рис.1.4

Вес параллелепипеда с удельным весом qx будет:

Qx = qx × dV = qx dxdydz .

Поэтому в уравнение равновесия (1.4) добавится удельный вес qx. Таким образом, в общем случае уравнения равновесия

следующий вид:

ìdσ

dτ yx

dτ

+ qx = 0,

ïdσ

dτ

+ qy = 0,

ïdσ

dτ

dτ yz

+ qz = 0.

примут

(1.5)

Эти соотношения называются дифференциальными уравнениями равновесия внутреннего малого элемента (другими словами, уравнения в приращениях).

Из уравнений равновесия (1.2) вытекает закон парности

касательных напряжений, которые приведем без вывода:

τxy =τ yx ,					τzx =τ xz ,			τ zy =τ yz .	(1.6)
В балках-стенках, плитах, оболочках, используемых, например, в
строительстве, как правило, σz,						τyz, τxz очень малы. В результате получим
следующую более простую систему уравнений:
ìdσ		x	+			dτ yx	+ qx	= 0,
ï
	dx					dy
ï									(1.7)
í						dτ xy
ïdσ y				+			+ qy	= 0.
ï	dy					dx
î

1.2. Уравнения равновесия граничного элемента

Пусть на грани тела действует внешнее давление. Его можно разложить на составляющие рx, рy, рz (рис.1.5).

Рис.1.5

Внешние давления рx, рy, рz всегда изображаются в направлении осей координат. Если же необходимо указать, что оно действует против оси, ставят знак «–», т.е. если px<0, то оно действует против оси х. Для простоты рассмотрим плоский случай, когда рz=0.

Изучим малые элементы, примыкающие к границе. Запишем для них уравнения равновесия:

åFx = 0, åFy = 0 .

Рассмотрим элемент 1:

Рис.1.6

Для упрощения выкладок считаем, что dх / dу ® 0 , то есть dх по

сравнению с dу бесконечно мал, тогда вкладом напряжений на горизонтальных площадках можно пренебречь. В состоянии покоя должны выполняться следующие условия:

px dydz − σ x dydz = 0 →	σ x	= px	,	(1.8)
py dydz -τ xy dydz = 0 ®	τ xy = py .			(1.8)
py dydz -τ xy dydz = 0 ®	τ xy = py .

Аналогично получаем уравнения равновесия элемента 2,

расположенного на верхней грани:	= py
σ y	= py	,	(1.9)
τ xy = px .			(1.9)
τ xy = px .

Рассмотрим уравнения равновесия элемента 3, расположенного на наклонной грани:

Рис.1.7

å x F = 0:	px × c × dz - σx	× a × dz -τ yx ×b × dz = 0,	(1.10)
å y F = 0:	py × c × dz - σ y ×b × dz -τxy × a × dz = 0.		(1.10)
å y F = 0:	py × c × dz - σ y ×b × dz -τxy × a × dz = 0.
Учитывая, что	a = c × sinα,	b = c × cosα ,
	a = c × sinα,	b = c × cosα ,

получим уравнения равновесия элемента 3 в виде:

px − σ x sinα −τ yx cosα = 0, py − σ y cosα −τxy sinα = 0.

Наконец, уравнения равновесия элемента, расположенного на левой грани, дают:

Рис.1.8

åFх = 0:	σ x = − px ,
åFу = 0:	τ xy = − py .

Таким образом, для граничных элементов уравнения равновесия записываются не в дифференциальной, а в алгебраической форме.

1.3.Типы плоских задач теории упругости

Существует два типа плоских задач, описывающих два типа напряженно-деформированного состояния:

−плоское напряженное состояние (ПНС);

−плоское деформированное состояние (ПДС).

Плоское напряженное состояние

ПНС возникает в тонких плитах, балках-стенках, оболочках. Здесь принимается, что σ z ≈ 0; τz ≈ 0; τ yz ≈ 0 .

На первый взгляд кажется, что и в поперечном направлении напряжения должны быть большими, но многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали, что в действительности: σz ,τxz ,τyz <<σx ,σy ,τxy . Проверим эту гипотезу на примере изгиба балки

прямоугольного сечения (рис.2.1). Перейдем к другой расчетной схеме

(рис.2.2).

Рис.1.9

Рис.1.10

Рис.1.11

Здесь q = p × a . Для этого случая существует решение сопротивления материалов:

σmax	=	M y	max	zmax .
		M y


		J y

В нашем случае

zmax

, J y

a × h3

M y

q ×l2

max

Примем сечение балки квадратным a = h, тогда:

σ		= 3	q × l2	=	3 × p × a × l2	=	3 × p × l2	.
	max		h3		h3
							h2

Рассмотрим теперь эту задачу с точки зрения теории упругости. Рассмотрим элемент, примыкающий к верхней грани балки, тогда:

σ y

= p .

Сравним полученные результаты:

σmax

3 ×

p × l2

3 × l2

σ z

× h2

Поскольку длина балки значительно больше

ширины и высоты, то

>>1. Тогда получим, что

σ x

Пусть l=100см, h=10см, следовательно,

= 300 .

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]