Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория упругости с основами теории пластин и оболочек. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

904 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

σ z = ådσ z = −å

2dP z2 (x − ξ )

a 2dP z2 (x − ξ )

= −ò0 π

dξ =

((x − ξ )2 + z2 )2

= −z2 òa

2q(ξ )(x − ξ )

dξ ,

0 π ((x − ξ )2 + z2 )

τ xz = ådτ xz = −å

2dP z(x − ξ )2

a 2dP

= −ò0 π

dξ =

((x − ξ )2 + z2 )2

= −zòa

2q(ξ )(x − ξ )2

dξ.

0 π ((x − ξ )2 + z2 )

Пример. Пусть q = const = qo, а = 1. Тогда интегрируя, получим

(-1+ x)z

-1+ xù

é xùö

qo ç

+ arctgê

ú - arctgê

ú÷

+ z

σ x =

è (-1+ x)

z û

ë z ûø

Аналогично можно найти σ z ,τ xz .

В этом случае бесконечных напряжений под нагрузкой не возникает (например, посередине при х=0.5 получим σх = 0.8183 q0). Поэтому при расчете ленточных фундаментов вместо сосредоточенной силы необходимо задавать нагрузку q(х), близкую к реальному распределенному давлению на основание.

12. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рис.12.1

Рис.12.2

Они возникают при расчете тел вращения. Для упрощения задачи переходят к полярной системе координат. Как видно из рисунка:

y= ρ sinϕ, x = ρ cosϕ.

Тогда производные вычисляются следующим образом:

∂f

∂ρ

∂f

∂ϕ

∂x

∂x +

∂x .

∂ρ

∂ϕ

∂x

= cosϕ,

∂x

= −ρ sinϕ .

∂ρ

∂ϕ

Следовательно,

∂ρ

∂ϕ

= −

∂x

cosϕ

∂x

ρ sinϕ

Подставляя вместо производных по х, у производные по ρ, ϕ, с помощью этого соотношения получим новые системы уравнений в полярной системе координат. В случае осесимметричных задач состояние

тела не зависит от угла ϕ. То есть производные по ∂∂ϕf = 0 , поэтому все

уравнения сильно упрощаются.

Примечание. В системе координат х, у была введена функция Эри,

через которую вычисляются напряжения:

∂2Φ

= −

∂2

∂y2

∂x2

∂x∂y

Аналогичную функцию можно ввести в полярной системе

координат:

1 ∂Φ

∂2Φ .

, σ

ρ ∂ρ

∂ρ2

Рис.12.3

При этом уравнения равновесия внутреннего элемента будут удовлетворяться автоматически, остается удовлетворить уравнения равновесия граничных элементов и условие совместности деформаций. Последнее принимает вид:

Φ''''+2 Φρ''' − ρ12 Φ''+ Φρ3' = 0 , где Φ'= ∂∂Φρ .

Общее решение этого уравнения можно найти в справочниках по дифференциальным уравнениям. Оно имеет довольно простой вид:

Φ = C3r2 + C2 ln r + C1r2 ln r + C4 .

Задача о трубе

Самую большую трудность в теории упругости всегда составляет удовлетворение уравнений равновесия элементов на границе и условий закрепления, но для ряда задач удается получить точное решение.

Рис.12.4

В этой задаче решение имеет вид:

σ	r	=	C2	+ 2C , σ	θ	= −	C2	+ 2C .
			ρ2				ρ2
				3				3

Сi – константы интегрирования уравнения. Их находят из условий равновесия граничных элементов 1 и 2. Выражения для них имеют вид:

	=	p	2	− p	2		2		=	− p	R2 + p r2
C2				1	R	r		, 2C3		2	1 .
		R	2 − r2
										R2 − r2

Здесь r и R − внутренний и внешний радиусы трубы. Рассмотрим, например, случай отсутствия внутреннего давления. Тогда

		2	r	2				p2
C2 =	p2 R		r		, C3	= -		p2		R2 .
C2 =	2			2	, C3	= -	R	2	2	R2 .
	R	- r					R	- r

Так как R > r, то C3<0 , а также ½С2/p½<½C3½, то видно, что σr уменьшается к центру, σθ , наоборот, увеличивается к центру. Эпюры

напряжений приведены на рис. 12.5. Чтобы проверить на прочность надо проанализировать условие:

σэфф = σr2 +σθ2 -σrσθ £ [σ ].

Рис.12.5

Форма кривой σэфф сильно зависит от отношения R r .

13. ЗАДАЧА КИРША

Это задача о растяжении бесконечной пластины с круглым отверстием.

Рис.13.1

Оказывается, что система уравнений в полярной системе координат позволяет решить и кососимметричные задачи. Одной из них является задача о растяжении пластины с отверстием (пластина считается

бесконечной). Задача Кирша знаменита тем, что позволяет найти (σϕ)max. Оказывается, что (σϕ)max = 3р. Независимо от размеров и от упругих характеристик материала оно возникает в точке В.

Задачи подобного типа для разных видов отверстий называются задачами о концентрации напряжений.

Следствие: при расчете даже простых тел (типа стержней при растяжении), но с круговыми отверстиями, независимо от размера отверстия мы должны увеличивать в 3 раза напряжение, вычисляемое по формуле σ = P / A.

Рис.13.2

14. ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Запишем закон Дюгамеля-Неймана (закон линейного температурного расширения), который гласит, что при изменении температуры тела на величину T оно изменяет свои линейные размеры. Температурная линейная деформация при этом прямо пропорциональна перепаду температуры:

ε = α × D T .

Тогда обобщенный закон Гука с учетом закона ДюгамеляНеймана

примет вид:

εx = σEx -ν σEy -ν σEz + α × DT,

εy = σEy -ν σEx -ν σEz + α × DT,

εz = σEz -ν σEy -ν σEx + α × DT.

Для изотропного тела изменение температуры не приводит к сдвигам, поэтому:

γ xy =	τ xy	,	γ xz =	τ xz , γ yz =		τ yz	.
	G
				G		G
Так как α· Т=const		,	то в	уравнениях	равновесия внутренних

элементов α· Т не участвует, поскольку производные от константы равны

нулю, т.е. (α· Т)′х=0, (α· Т)′у=0. Слагаемое α· Т входит только в уравнения равновесия граничных элементов и условия закрепления, если

их выражаем через деформации.

Приведем точное решение, полученное для задачи о трубе при

наличии перепада температур Т = Тнаружн – Твнутр. . Оно имеет вид:

ç ln

- ρ

σρ = -Gk ç

r2 ÷

(R2 - r2 )ρ2

ç ln

- ρ

1+ν

σθ = -Gk ç

r2 ÷

, k =

αDT.

(R2 - r2 )ρ2

1-ν

ç ln

Примечание: некоторые конструкции получают температурные напряжения с большими перепадами (от сжимающих до растягивающих). Особенно большие перепады появляются в тех случаях, когда учитываются процессы теплопроводности, то есть процесс перетекания тепла из одной точки в другую. Уравнение, описывающее этот процесс, для плоской задачи имеет вид:

¶T	æ	2	T2		2	T	ö
	= λ ç	¶		+	¶		÷	+ F.
¶t						2
	è	¶x			¶y		ø

Здесь λ − коэффициент, отражающий способность к переносу тепла. F − внутренний источник тепла. Это уравнение практически не имеет точных решений, поэтому такие задачи могут быть решены только приближённо.

15. РАСЧЕТ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

Особенности работы оболочек заключаются в следующем.

1.Они обладают прочностью и жесткостью, которые превышают

вдесятки и сотни раз, соответственно, прочность и жесткость пластин и балок.

2.Большая часть оболочки при плавных нагрузках работает только на растяжение или сжатие, на изгиб работает узкая полоса по ширине в несколько толщин, вблизи закреплений, т.е., в отличие от пластин и балок, усиливать оболочку приходится только вблизи закреплений.

15.1. Расчет куполов по безмоментной теории

Рассмотрим оболочку вращения, которую называют куполом.

	ζ
	σ1
	σ2
	σ2
	ds1
ds2	p
	σ1
Рис.15.1	Рис.15.2

Вырежем малый элемент. Обозначим через h толщину оболочки. Считаем, что изгибающих моментов нет. Наш элемент будет

растягиваться напряжениями σ1, σ2. Их найдем из соотношений статики.

Направление нормали к поверхности в центре элемента обозначим осью ζ. Запишем первое уравнение:

ΣFζ = 0 .		(15.1)
Равнодействующая давления р будет:
P = p × ds1 × ds2 .		(15.2)
Равнодействующая напряжений σ1 будет (см.	рис.15.3).
2σ1 × h ×sin dθ × ds2 » 2σ1 × h ×dθ ×ds2	= σ1	× h ×	ds1	ds2 . (15.3)

			R1

Здесь учтено, что ds1 = R1 × 2dθ.

Аналогично, проекция на ось ζ равнодействующей напряжений σ2

будет:		ds1ds2
σ 2	× h ×		.	(15.4)

		R2

Подставляя (15.2) − (15.4) в уравнение (15.1) получим

p ×ds1 ×ds2 -σ1 ×h × ds1R×1ds2 -σ2 ×h × ds1R×2ds2 = 0.

Поделив на ds1 ds2, приходим к соотношению:

σ1 ×h	+	σ2 ×h	= p .	(15.5)
R		R
1		2
Это первое уравнение равновесия,			которое называется уравнением

Лапласа.

Рис.15.3. Здесь N1 = σ1 × h

Рис.15.4. Здесь N2 = σ2 × h

Получим далее второе уравнение (уравнение для Вырежем часть купола (рис.15.5). При этом r и q

Рис.15.5 Здесь N1 = σ1 × h

Тогда уравнение равновесия ΣFy = 0 дает:
p ×πr2 -σ1 × h ×2π rsinθ = 0	=> σ1 × h =	p × r
Из уравнения Лапласа (15.5) находим σ2 :		2sinθ

σ2 = ( p - σ1 ×h ) ×	R2 = ( p - p	R2	) ×

R1	h	2R1

Окончательно из (15.6), (15.7) вытекает:

σ1 ).

известны.

= p × R2

Rh2 .

(15.6)

(15.7)

σ1	= p	R2	,	σ2 = p × (1 -	R2	) ×	R2	.	(15.8)
		2h			2R
							h
					1

После этого можно проводить расчет на прочность, выбрав теорию прочности. Например, для стали используют 4-ю теорию прочности в виде

			£ [σ ]
σ 2	+σ 2	-σ σ	£ [σ ]	.	(15.9)
1	2	1 2		.	(15.9)
		68

Для хрупких материалов, например, для бетона часто используют критерий Гениева:

σ 2	+ σ 2	− σ σ	2	+ (σ	1	+ σ	2	)(R − R ) ≤ R R .		(15.10)
1	2	1	2		1		2	b bt	b bt

Связь перемещений и деформаций в оболочке вращения

В общем случае перемещение точки меридиана можно представить состоящим из вертикального перемещения v и горизонтального перемещения u. Рассмотрим малую дугу ВС = ds (рис. 15.6).

z		z
C		C		B
C	du	C	α	2
ds		B1	α
ds				dv
B	α		G
	α

	D		B	α
	x			x
Рис.15.6			Рис.15.7

Пусть точка В переместилась в точку B1 на малое расстояние отрезок ВС удлиняется на величину DB1 = BB1 cosα . Учтем, что

	1
tgα = f ', BC = ds = 1 + ( f ')2 dx, cosα =	1	.
tgα = f ', BC = ds = 1 + ( f ')2 dx, cosα =		.
1	+ ( f ')2

du . Тогда

(15.11)

Здесь штрихом обозначена производная по переменной х. Тогда получим, что относительная деформация меридиана будет:

ε1

du cosα

du / 1 + ( f ')2

u′

(15.12)

+ ( f ')

dx 1 + ( f ')2

Рассмотрим теперь случай, в котором точка В перемещается вдоль оси вращения в точку В2 на величину dv (рис.15.7). Из рисунка видно, что ВС укоротится на величину

BG = BB2 sinα = dv .

Примем во внимание, что

sinα =

f '

+ ( f ')2 .

Тогда выражение для деформация примет вид:

ε1

= - dvsinα

dv × f '

v′ × f ′

(15.13)

dx[1 + ( f ')2

]

1 + ( f ')2

Здесь учтено, что f ' = tgα < 0.

Окончательно выражение для ε1 в общем случае получим, суммируя

(15.12) и (15.13):

ε1	= (u¢ + v¢ × f ')		1	.	(15.14)
		1	+ ( f ')2

Выразим далее деформацию ε2 вдоль параллели через перемещения.

Пусть точки В и С (рис.15.8) перемещаются на величину u. Это означает, что радиус дуги ВС увеличился, тогда и длина дуги ВС увеличится до

величины B1C1 .
Следовательно,
ε2 =	B1C1 − BC	= OC1ϕ − OCϕ	=	(x + u ) − x	=	u	.	(15.15)
	BC			x
		OCϕ				x

						u
	O	α			C	C1	x
					C	C1



			B
				B1
				Рис.15.8
Вертикальное смещение точек В и С длину дуги ВС не изменяет.
Поэтому ε2 от u		не зависит.		Таким образом, получим окончательное
выражение для ε2	в виде

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]