Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория упругости с основами теории пластин и оболочек. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

904 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

ε2	= u .	(15.16)
	x

Втонких балках, пластинах и оболочках напряжения, возникающие

внаправлении нормали n (рис. 15.9), как было отмечено ранее, намного

меньше, чем σ1,σ2 :

σ3 << σ1 ,	σ3 << σ2 .
σ1	n

σ2

σ1

Рис.15.9

Закон Гука с учетом этого факта имеет вид:

ε1 =

σ1

−ν

σ2

−ν

σ3

≈

σ1

−ν

σ2

(15.17)

ε2 =

σ2

−ν

σ1

−ν

σ3

≈

σ2

−ν

σ1

Из этих соотношений σ1,σ2 выражаются через ε1 ,ε2

в следующем виде:

(ε

+νε

1 −ν 2

(15.18)

(ε

+νε

1 −ν 2

Таким образом, зная перемещения точек меридиана оболочки можно найти деформации с помощью формул (15.14), (15.16), а затем вычислить напряжения по закону Гука (15.18). И наоборот, зная σ1,σ2 , можно найти

деформации по формулам (15.17), а затем из соотношений (15.16) определить сначала перемещение u точек меридиана оболочки, а затем из (15.14) найти перемещение v. Однако при этом приходится решать дифференциальное уравнение (15.14) относительно v. Это можно сделать и

в общем виде. Действительно, т.к. u,ε1,ε2 , известны, то из (15.14) получаем:

x		+ ( f ')	2	) − u′ dx.
v = C + òε1	(1	+ ( f ')		) − u′ dx.
0		f '
0

Константа интегрирования определяется из условия закрепления.

Для обеспечения безмоментности напряженного состояния оболочки необходимо, чтобы опорный край был закреплен шарнирно, причем, шарнир не должен препятствовать перемещениям по нормали к поверхности оболочки. Поэтому уравнение для определения С имеет вид:

u ×cosα - v ×sinα = 0 .

Подставляя сюда выражение (15.16), окончательно получим соотношение для вычисления С:

é	xосн	ε1 (1 + ( f ')	2	ù
С = êε2осн × xосн × cosαосн -	ò	ε1 (1 + ( f ')		) - u¢ dx × sinαосн ú	/sinαосн .
ê	0	f '		ú
ë				û

15.2. Краевой эффект

Исследования показали, что в оболочках вблизи закрепленных краев большими будут изгибные напряжения. При этом перемещения и напряжения имеют осциллирующий характер. Рассмотрим эту задачу на примере цилиндрической оболочки (рис.15.10).

Вырежем узкую полоску-балку ширины b.

Рис.15.11

Рис.15.10

Сведем эту задачу к задаче о балке. Уравнение изогнутой оси балки и уравнения равновесия имеют вид:


¢¢		=		M x		;	¢	= Qy ;	¢	= q;
¢¢							¢		¢
vss			%				(M x )s		(Qy )s
				EJx
J		= bh			3	q	= pb.			(15.19)
J	x	= bh			,	q	= pb.
	x		12			0
			12

Здесь дифференцируем по координате z (далее индекс «z» для простоты опускаем). Вместо обычного модуля упругости Е согласно закону Гука (1.15) используется приведенный модуль

E% =		E	.
	(1	− μ2 )

Это связано с тем, что оболочка находится в состоянии плоского напряженного состояния.

Главная особенность рассматриваемой балки состоит в том, что к q0 добавляются погонные усилия N2 (рис.15.12).

		Рис.15.12
Тогда, как это следует из рис.15.11,
q = q0 - 2N2 ×sin dθ » q0			- 2N2 × dθ =
	b		b	(15.20)
= q0 - 2 ×		× N2 = q0 - N	2 × r .
	2r
Выразим N2 через прогиб v. Пусть радиус r увеличился на величину
прогиба v. Тогда длина окружности увеличится на				l:

l = 2π (r + v) − 2π r = 2πv .

Согласно определению деформация ε2 будет:

ε2	=	l	l =	2π v	= v .	(15.21)
		l		2π r	r

По закону Гука:

ε2 = σE%2 - μ σE%1 .

Для простоты рассмотрим случай, когда коэффициент Пуассона достаточно мал, а именно случай, т.е. когда можно принять, что

ε2 » σE2 = hN× 2E .

Отсюда

N2	= v	® N2	= v × h ×.
h ×
	r		r

Таким образом, на балку будет воздействовать погонная сила

q = q0 - v ×	h	× E ×	b	= p ×b - v ×	h × E ×b
							.
	r		r		r	2

Запишем уравнение изогнутой оси балки:

v¢¢¢¢ EJx = p ×b - v × h ×rE2 ×b .

Учитывая, что J x = b12× h3 , получим:

(15.22)

(15.23)

	¢¢¢¢	b × h3		h × E ×b
v		× E × 12	= p ×b - v ×
				r2 .	(15.24)

Итак, разрешающее уравнение для прогиба v примет вид:

v¢¢¢¢× E × h3 = p - v × h ×2E .

12 r

Представим решение в виде однородного и частного решений:

v = vодн + vчаст .

Пусть vчаст = const . Тогда из (15.24) вытекает, что

(15.25)

(15.26)

v	=	p × r2	.	(15.27)

част		h × E

Теперь рассмотрим однородное уравнение.

¢¢¢¢

× E ×

= -vодн ×

h × E

vодн.

Обозначим λ

. Тогда (15.27) примет вид

r 2 ×h2

¢¢¢¢

(15.28)

vодн = -vодн 4λ

Решение такого уравнения имеет вид:

= C ×e−λs ×cos λs + C

×e−λs

×sin λs + C ×eλs

×cos λs + C

×eλs ×sin λs

одн

Константы С1 , С2, С3 , С4 определяют из условий закрепления.

Рис.15.13

Рис.15.14

Рассмотрим пример. Примем l=1м, r=0.1 м, h=0.001 м.

Тогда получим λ=186. Т.к. λ − очень большое, то составить систему уравнений для Сi, можно только с помощью специальных приемов. Вот один из них.

Обозначим C = C%					× e		−λl	, C		~			×e−λl . Тогда
Обозначим C = C%					× e			, C	4	= C	4		×e−λl . Тогда
			3	3					4		4
С × e	λs	%	× e	λ(s−l )		,			С × e			λs		%		× e	λ(s−l)	.
С × e		= C	× e			,			С × e					= C	4	× e		.
3		3								4					4

Выражение для перемещения v примет вид:

v = C1 ×e−λs ×cosλs + C2 × e−λs ×sin λs + C%3 ×eλ (s−l) ×cosλ(s - l) +

+ C%4 × eλ (s−l) ×sinλ(s - l) + p ××r2 . h E

На краях оболочки прогиб равен нулю. Из этого условия вытекают уравнения для С1,С%3 :

при	s=0: v » C + 0 + 0 +	p × r2	,
при	s=0: v » C + 0 + 0 +		,
	1	h × E
		h × E
	%	p × r2
при	s=l: v » 0 + 0 + C +			.
при	s=l: v » 0 + 0 + C +			.
	3	h × E
		h × E
Здесь учтено, что e−λl ≈ 0 . Отсюда получаем выражения для С ,С%							3	:
			1				3
	С1 = С%3 = -				p × r2	.
	С1 = С%3 = -					.
					h × E
Из условия, что в заделке равна нулю производная v′ , получаем:
s=0:	v′ » C1 × e−λs × (-λ) × sin 0 + C2 × e−λs × (-λ) × cos0 = 0.

Отсюда вытекает, что C2 = 0 .

Аналогично получим, что на правом краю в заделке равна нулю производная v′. Это дает

~ =

C4 0 .

Таким образом, решение имеет вид:

v =	p × r2	× (1- e−λs × cosλs - eλ (s−l ) × cosλs)	(15.29)
	h × E

Отсюда видно следующее.

1.Функция осциллирует, поскольку имеются тригонометрические функции.

2.Множители e−λs , eλ (s−l ) говорят о том, что функция vодн является затухающей при удалении от краев.

С помощью формулы (15.26)- (15.29) можно найти форму изгиба меридиана оболочки (качественная картина приведена на рис. 15.15.

Рис.15.15

Как видно, около краев возникают сильные изгибы. Вычислив

изгибающий момент
M x = EJx × v'' = EJxλ2	p × r2		× (-e−λs × cosλs + ....) ,
	h × E

можно найти изгибные напряжения:
σ x = -M x y » λ2 y ×	p × r2	×(e−λs ×cosλs -....) .
	h × E
EJx

Отсюда следует, что около краев напряжения получаются очень большими, т.к. выражение для скобок имеет порядок единицы, а множитель λ2 достаточно большой.

Следствие. Таким образом, оболочки хорошо работают в основной области (в большей части) конструкций, но получают большие изгибные деформации возле закреплений. Значит, их достаточно укреплять только вблизи опор в отличие от балок и пластин, которые плохо работают в основной, т.е. в большей части пролета. Это говорит о большом преимуществе оболочечных конструкций.

Список литературы

1.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.

2.Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. − М.: «Высшая школа», 1984. – 472 с.

3.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. − М.: «Наука», 1979. – 744 с.

4.Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1990. – 368 с.

5.Александров А.В. Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.- М.:

Высшая школа, 1990.- 400 с.

6.Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1982. – 264 с.

7.Саргасян А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. − М.: «Высшая школа», 2002.-286 с.

8.Кац А.М. Теория упругости. - СПб.: Лань, 2002. – 208 с.

9.Елисеев В.В. Механика упругих тел. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. - 336 с.

10.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.

– М.: Высшая школа, 1986. – 512 с.

11.Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. – М.: Издательство «Физматлит», 2002 – 416 с.

12.Кожаринова Л.В. Основы теории упругости и пластичности: учебное пособие для студентов строительных специальностей. − Орел:

ОрелГТУ, 2009. − 85 с.

13.Барашков В.Н., Смолина И.Ю., Путеева Л.Е., Песцов Д.Н.. Основы теории упругости. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2012. – 184 с.

	Содержание
	Введение................................................................................................	3
1.	Уравнения равновесия.........................................................................	4
1.1.	Уравнения равновесия внутреннего малого элемента......................	4
1.2.	Уравнения равновесия граничного элемента.....................................	7
1.3.	Типы плоских задач теории упругости..............................................	9
2.	Кинематические соотношения ...........................................................	12
2.1.	Соотношения Коши.............................................................................	13
2.2	Условие совместности деформаций...........................................	15
3.	Решения уравнений теории упругости в напряжениях.....................	16
3.1.	Задача о дамбе.......................................................................................	16
3.2.	Функция напряжений (функция Эри).................................................	19

4.Некоторые методы приближенного решения задач теории

	упругости. Метод коллокаций.............................................................	20
5.	Метод Бубнова-Галеркина...................................................................	24
6.	Метод Рэлея-Ритца...............................................................................	26
7.	Метод конечных разностей.................................................................	30
8.	Метод конечных элементов.................................................................	33

9.Теорема о минимуме потенциальной энергии упругой системы и

	ее применение для опосредованной оценки точности решения.....	37
10.	Теория изгиба жестких плит................................................................	39
10.1.	Гипотезы Кирхгоффа-Лява..................................................................	39
10.2.	Уравнение Софии-Жермен (уравнение для прогиба).............	41
10.3.	Условия на границах пластины...........................................................	47
10.4.	Точные решения задачи об изгибе жестких пластин........................	53
	10.4.1. Решение об изгибе защемленной эллиптической пластины...	53
	10.4.2. Задач о свободно опертой прямоугольной пластине под
	синусоидальной нагрузкой..................................................................	54
10.5.	Решение задачи изгиба свободно опертой по краям пластины при
	произвольной нагрузке методом Бубнова-Галеркина.......................	56
10.6.	Изгиб пластины под действием сосредоточенных сил.....................	57
10.7.	Пластина на упругом основании.........................................................	58
11.	Задача Фламана.....................................................................................	59
12.	Осесимметричные задачи теории упругости.....................................	61
13.	Задача Кирша........................................................................................	64
14.	Задачи термоупругости........................................................................	65
15.	Расчёт тонких оболочек.......................................................................	66
15.1.	Расчёт куполов по безмоментной теории...........................................	66
15.2.	Краевой эффект.....................................................................................	72
	Список литературы...............................................................................	78

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]