Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Т.Н. Сабурова Е.В. Шишкова

Теория вероятностей

Вероятностное пространство.

Условная вероятность. Независимость событий

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2011

1

УДК 519.2 С12

Р е ц е н з е н т канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев

Сабурова, Т.Н.

С12 Теория вероятностей : Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий : Учеб. пособие / Т.Н. Сабу- рова, Е.В. Шишкова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 68 с.

ISBN 978-5-87623-475-9

В данном учебном пособии приводится краткое изложение теоретическо- го материала по первой части курса «Теория вероятностей», разобраны ре- шения большого количества типовых задач, приведены контрольные вопро- сы по данному курсу, дано более 100 упражнений для самостоятельного ре- шения с ответами, типовые варианты контрольной работы, предназначенные для проверки усвоения пройденного материала, приведены таблицы значе- ний вероятности для распределения Пуассона, плотности вероятности и функции распределения стандартного нормального распределения.

Соответствует программе курса «Теория вероятностей». Предназначено для студентов всех специальностей МИСиС.

УДК 519.2

2

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Образовательные стандарты бакалавров всех специальностей со- держат курс теории вероятностей и математической статистики, по- этому данное пособие можно использовать студентам всех специаль- ностей нашего университета.

В настоящем пособии дается краткое изложение основополагаю- щих понятий теории вероятностей, таких как вероятность, случайное событие и т.д. При этом авторы, опираясь на интуитивные представ- ления этих понятий, старались давать математически точные форму- лировки определений и теорем. Для лучшего восприятия материала приводится большое количество задач с решениями.

Трудность изучения теории вероятностей связана со спецификой этой математической дисциплины. Решение задач по теории вероят- ностей требует определенного навыка, так как они формулируются не в математических терминах, а в бытовых. Таким образом, прихо- дится каждый раз выбирать соответствующую вероятностную мо- дель, которую следует применить для решения. Поэтому пособие наряду с примерами решенных задач содержит более ста задач для самостоятельного решения, а также типовые варианты контрольной работы. Все задачи снабжены ответами.

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий законо- мерности в случайных явлениях. Ее возникновение относится к сере- дине XVII века. Если случайное явление рассматривать отдельно, само по себе, то предсказать его исход невозможно (потому оно и случайное, например, количество очков, выпавших при бросании иг- рального кубика). Однако если рассматривать серию однотипных слу- чайных явлений, то начинают просматриваться определенные законо- мерности. В то время уровень развития естествознания и техники не давал возможности наблюдать такие ситуации. Единственным источ- ником массовых случайных явлений были азартные игры. Именно анализ задач, связанных с азартными играми, привел к формированию понятия вероятности. Так, французский естествоиспытатель XVIII ве- ка Бюффон бросил монету 4040 раз (при этом герб выпал 2048) и под- считал относительную частоту выпадения герба: 2048/4040 = 0,507. Через полтора века английский статистик Пирсон повторил его опыт, бросив монету сначала 12 000 раз, а затем 24 000, при этом соответ- ствующие относительные частоты выпадения герба были равны 0,5016 и 0,5005, т.е. с увеличением количества бросаний монеты час- тота выпадения герба приближалась к 0,5.

Эти опыты наряду с другими привели к выводу, что если количе- ство испытаний n достаточно большое, то относительная частота случайного события А обладает свойством устойчивости: с увеличе- нием числа опытов n она принимает значения, близкие к некоторому неслучайному числу Р(А). Устойчивость частот – это объективное свойство массовых случайных явлений реального мира. Отсутствие устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых проводятся испытания, претерпевают значи- тельные изменения. Теория вероятностей – это математическая нау- ка, в которой рассматриваются математические модели случайных явлений. При этом обнаруживаются такие связи между вероятностя- ми случайных событий, которые дают возможность вычислить веро- ятности более сложных событий, если известны вероятности соот- ветствующих более простых событий.

Наиболее совершенное аксиоматическое построение теории веро- ятностей было сделано лишь в XX веке в работах выдающегося рус- ского математика А.Н. Колмогорова. Его модель позволяет описы- вать не только случайные явления, но и случайные процессы, проис- ходящие в самых различных сферах науки и техники. Поэтому имен- но эта математическая модель положена в основу настоящего курса.

5

1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.1. Основные определения

Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом. Возможные исходы ω опыта называются элементарными собы-

тиями (или элементарными исходами), если они являются взаимно исключающими (два разных элементарных события не могут про- изойти одновременно) и в результате опыта одно из них обязательно происходит.

Множество Ω всех элементарных событий ω в опыте называется

пространством элементарных событий.

Например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и на- блюдении числа выпавших очков на верхней грани. Тогда пространст- во элементарных событий Ω = {ω1, ω2, …, ω6}, где элементарные со- бытия: ωi = {количество очков, выпавших на верхней грани, равно i} (i = 1, 2, …, 6).

Зададим множество , элементами которого являются некоторые подмножества пространства элементарных событий. Множество называется полем событий, а его элементы – событиями. Иными словами, событие – это некоторая совокупность элементарных собы- тий, т.е. если А – событие: А , то A Ω . При этом элементарные события ωi Ω, входящие в событие А, называются благоприятными.

Так, в предыдущем примере, если событие A состоит в том, что выпало четное число очков, то благоприятными являются события ω2, ω4, ω6.

При построении поля событий требуется выполнение следую- щих условий:

1)само множество Ω является элементом поля событий и назы-

вается достоверным событием;

2)пустое множество элементарных исходов тоже является эле-

ментом поля событий и называется невозможным событием, обо- значается ;

3) если A – событие, то множество всех элементарных событий, не входящих в A, (т.е. Ω\A – дополнение А) тоже событие; его обозна- чают A и называют противоположным событию A (рис. 1.1, a);

4) если А1, А2, .., Аn, ... – события, то их объединение и пересече- ние тоже являются событиями.

6

Пространством вероятностей или вероятностным простран-

ством называется совокупность трех объектов: пространства эле- ментарных событий Ω, поля событий и заданной на поле событий вероятности Р(А), т.е. тройка (Ω, , P(A)).

Изложенная выше общая математическая модель реализуется по- разному в зависимости от класса рассматриваемых задач.

Например, задачи, приводящие к вероятностной модели, в кото- рой вероятностное пространство Ω конечно и все элементарные ис- ходы – равновероятные события, называются задачами на непосред-

ственный подсчет вероятностей. В этом случае вероятность собы-

тия А равна отношению количества благоприятных элементарных исходов к количеству всех элементарных исходов:

общее количество элементарных исходов

Так, в нашем примере при бросании игральной кости вероятность выпадения четного числа очков Р(А) = 3/6 = 0,5. Решение таких задач часто требует применения комбинаторных формул, в чем легко убе- диться при рассмотрении дальнейших примеров, поэтому напомним некоторые из них.

1.2. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это часть математики, в которой изучается во- прос: сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из элементов данного конечного множества. Она возникла в XVI веке. Толчок к ее развитию, как и для теории вероятностей, дал анализ азартных игр. Типична комби- наторная задача, например, такая: сколькими способами можно по- лучить данное число при бросании двух игральных костей? Впослед- ствии комбинаторными задачами занимались известные ученые: Паскаль, Ферма, Якоб Бернулли, Лейбниц, Эйлер. В наши дни ком- бинаторика получила дальнейшее развитие в работах современных математиков и нашла широкое применение при решении серьезных

8

хозяйственных проблем. Например, при организации транспортных перевозок, составлении планов производства и реализации продук- ции, декодировании шифров, прочтении древних рукописей на неиз- вестных языках и т.д. Мы рассмотрим очень небольшой раздел ком- бинаторики, который нам понадобится в дальнейшем при изучении теории вероятностей.

Пусть Wn – множество, состоящее из n различных элементов. За- метим, что элементы конечного множества всегда можно занумеро- вать, и оно станет упорядоченным (естественным образом).

Упорядоченные множества считаются разными, если они отлича- ются либо своими элементами, либо их порядком, либо тем и другим.

Далее мы будем рассматривать подмножества Wn (упорядоченные и неупорядоченные), удовлетворяющие определенным условиям.

1.2.1. Перестановки

Любое расположение в определенном порядке элементов множе- ства Wn называется перестановкой из n элементов этого множества, т.е. перестановки – это упорядоченные множества, состоящие из всех элементов данного множества Wn и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения.

Например, для W3 = {2, 8, 17} (n = 3) имеют место перестановки: {2, 8, 17}, {8, 17, 2}, {17, 2, 8}, {8, 2, 17}, {17, 8, 2}, {2, 17, 8}.

Из определения следует, что всевозможные перестановки элементов данного множества Wn состоят из одних и тех же n элементов, т.е. име- ют одинаковый «качественный» состав и, следовательно, равны как множества, а отличаются друг от друга только порядком элементов.

Посчитаем, сколько различных перестановок можно составить из n различных элементов (обозначают это число обычно Pn). Первый эле- мент мы можем выбрать n способами, после чего у нас останется только n – 1 элемент, поэтому второй элементы мы можем выбрать n – 1 спосо- бом. Причем для каждого первого элемента у нас n − 1 вариант выбора второго элемента. Таким образом, первые два элемента перестановки можно выбрать n(n − 1) способами. На каждую такую комбинацию первых двух элементов приходится n − 2 вариантов выбора третьего элемента, т.е. первые три элемента можно выбрать n(n − 1)(n − 2) способами. Таким образом, мы получим, что все n элементов можно выбрать n(n − 1)(n − 2) … 1 способами. Итак, из n элементов можно составить n! перестановок, т.е.

Pn = n!

9

Задача 1.1. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Очевидно, что существует столько способов расставить 5 книг, сколько существует перестановок из 5 элементов, т.е. количе- ство способов равно 5! = 1ּ2ּ3ּ4ּ5 = 120.

Ответ. 120.

Задача 1.2. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг так, чтобы 2 данные книги стояли рядом?

Решение. «Склеим» эти две книги. Тогда у нас получится 4 книги и их можно переставить 4! способами. Но склеить две книги можно двумя способами, поэтому существует 2ּ 4! = 2ּ1ּ2ּ 3ּ4 = 48 способов расстановки книг.

Ответ. 48.

Задача 1.3. Сколькими способами можно занумеровать числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы все нечетные числа имели четные номера?

Решение. Среди данных чисел нечетных – 4. Их можно нумеро- вать только четными номерами (2, 4, 6, 8). А это можно сделать столькими способами, сколько можно составить перестановок из 4 элементов, т.е. 4! способами. Аналогично остальные 4 числа мы должны нумеровать числами 1, 3, 5, 7. Здесь тоже будет 4! вариан- тов. А чтобы получить общее количество вариантов, надо взять про-

изведение 4!ּ4! = 24ּ24 = 576.

Ответ. 576.

Задача 1.4. Пусть дана квадратная таблица чисел из n строк и n столбцов (в доме n этажей и n подъездов). Требуется из этой таблицы выбрать n чисел так, чтобы все они были из разных строк и разных столбцов (требуется выбрать n делегатов от дома так, чтобы они представляли каждый подъезд и каждый этаж). Сколькими способа- ми это можно сделать?

Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, припишем каждому числу из таблицы два номера: i – номер строки, в которой стоит данное чис- ло (номер этажа), и j – номер столбца (номер подъезда), которые опре- деляют положение числа в таблице, т.е. являются как бы его «таблич- ными координатами». Если теперь выстроить выбранные числа так, чтобы номера строк шли в естественном порядке: 1, 2, ..., n (у нас ведь присутствуют номера всех строк), то номера столбцов окажутся пере-

10