Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится без возвращения.

Решение. Введем следующие события: A1 = {первым вытащили белый шар}, A2 = {вторым вытащили белый шар}, A3 = {третьим вы- тащили белый шар}. Тогда интересующее нас событие A = {придется производить четвертое извлечение} = {первые три шара белые} = = A1 ∩ A2 ∩ A3 . По теореме умножения вероятностей (2.3)

P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 ∩ A2 ) .

P(A1) = 5/8; P(A2 | A1 ) = 4 / 7, так как один белый шар уже вынут и перед вторым извлечением в урне осталось 7 шаров, 4 из которых белые; P(A3 | A1 ∩ A2 ) = 3/ 6, так как два белых шара уже вынуты и

перед третьим извлечением в урне осталось 6 шаров, 3 из которых белые. Следовательно,

P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 5 4 3 = 5 . 8 7 6 28

Ответ. 5/28.

Из аксиом вероятности следует, как мы упоминали, что для про- извольных двух событий А и В вероятность

P(A B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Это равенство носит название теоремы сложения.

Теорема сложения обобщается на случай нескольких событий:

i, j,k

где суммы распространяются на все возможные комбинации различ- ных индексов, взятых по 1, 2, 3 и т.д. соответственно.

2.4. Формула полной вероятности

Если события H1, H2, ..., Hn попарно несовместны и их объедине- ние дает достоверное событие Ω, то говорят, что события H1, H2, ...,

31

Hn образуют полную группу событий. Таким образом, полная группа событий – это «разбиение» достоверного события Ω на непересе- кающиеся части, которые иногда называют гипотезами (рис. 2.5).

Для любого события A и полной группы событий H1, H2, ..., Hn

справедлива формула полной вероятности

P(A) = P(H1 )P(A | H1 ) + P(H2 )P(A | H2 ) + ... + P(Hn )P(A | Hn ). (2.5)

Формулу полной вероятности разумно применять в том случае, если присутствуют как бы два элемента случайности и исход второго слу- чайного события зависит от реализации первого случайного события.

Задача 2.8. Предприятие выпускает изделия, из которых 99 % удовлетворяют стандарту, а 1 % – нет (первый элемент случайности). Упрощенная система контроля стандартное изделие признает стан- дартным с вероятностью 0,995 и нестандартное признает стандарт- ным с вероятностью 0,001 (второй элемент случайности). Найти ве- роятность того, что контроль пропустит наугад взятое изделие.

Решение. Рассмотрим события:

A = {наугад взятое изделие прошло контроль}; Н1 = {взятое изделие стандартное}, Р(Н1) = 0,99;

Н2 = {взятое изделие нестандартное}, Р(Н2) = 0,01;

32

P(H1 ) + P(H2 ) = 0,99 + 0,01 = 1;

A|Н1 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно стандартное}, Р(A|Н1) = 0,995;

A|Н2 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно нестандартное}, Р(A|Н2) = 0,001;

P(A) = P(H1 )P(A | H1 ) + P(H2 )P(A | H2 ) = = 0,99 0,995 + 0,01 0,001 = 0,98506.

Ответ. 0,98506.

Задача. 2.9. В двух урнах имеются белые и черные шары: в пер- вой урне 8 белых и 2 черных, во второй – 6 белых и 2 черных. Шар, взятый наудачу из первой урны, переложен во вторую, после чего выбирается наудачу шар из второй урны. Найти вероятность извле- чения черного шара из второй урны.

Решение. Обозначим: А = {из второй урны извлечен черный шар}. Требуется найти P(A).

Возможны следующие пути развития событий:

либо из первой урны с вероятностью 2/10 извлекается и перекла- дывается во вторую урну черный шар, после чего во второй урне становится 9 шаров (из которых 3 черные), и вероятность достать из нее черный шар равна 3/9;

либо из первой урны с вероятностью 8/10 извлекается и перекла- дывается во вторую урну белый шар, после чего во второй партии – 9 шаров (из которых 2 черных), и вероятность достать из нее чер- ный шар равна 2/9.

Введем гипотезы:

H1 = {из первой урны извлечен черный шар}, P(H1) = 2/10 = 0,2; H2 = {из первой урны извлечен белый шар}, P(H2) = 8/10 = 0,8;

P(H1) + P(H2) = 1.

Тогда Р(A|Н1) = {из второй урны извлечен черный шар при усло- вии, что из первой урны был извлечен черный шар }, P(A|H1) = 3/9 = = 1/3. Аналогично, P(A|H2) = 2/9.

По формуле полной вероятности (2.5)

Ответ. 11/45.

33

2.5. Формула Байеса

Пусть снова H1, H2, ..., Hn – полная группа событий и в результате эксперимента произошло событие A. Тогда для гипотезы Нi априор- ную вероятность Р(Нi), вычисленную до проведения эксперимента, можно уточнить после того, как произведен эксперимент, в результа- те которого произошло событие A, и посчитать апостериорную веро- ятность

Формула (2.7) носит название формулы Байеса.

Так, в задаче 2.8 вероятность того, что изделие, прошедшее кон- троль, т.е. поступившее к потребителю, удовлетворяло стандарту равна

Задача 2.10. В условиях задачи 2.9 найти вероятность того, что из первой урны был вынут черный шар, если из второй урны был вынут тоже черный шар.

Решение. В обозначениях введенных при решении задачи 2.9 тре- буется найти P(H1|A). По формуле Байеса (2.6)

Ответ. 3/11.

Задача 2.11. Сообщение состоит из сигналов «1» и «0». Свойства помех таковы, что искажаются в среднем 5 % сигналов «0» и 3 % сигналов «1». При искажении вместо сигнала «0» принимается сиг- нал «1» и наоборот. Известно, что среди всех передаваемых сигналов

34

сигналы «0» и «1» встречаются в соотношении 3:2. Найти вероят- ность того, что отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1».

Решение. Эксперимент проведен, и наступило событие A = {при- нят сигнал «1»}.

Гипотезы: H1 = {отправлен сигнал «0»}, H2 = {отправлен сигнал «1»}.

По условию P(H1) = 3/5 = 0,6, P(H2) = 2/5 = 0,4, т.е. P(H1) + P(H2) = 1.

Рассмотрим события:

A|H1 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «0»} =

={сигнал «0» искажен}, следовательно, по условию P(A|H1) = 0,05; A|H2 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «1»} =

={сигнал «1» неискажен}, следовательно, по условию P(A|H2) = 1 –

– 0,03 = 0,97;

H1|A = {отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1»}. По формуле Байеса (2.7)

Ответ. 0,072.

Упражнения для самостоятельной работы

2.1.Один раз подбрасывается игральная кость. Событие А = {вы- пало простое число очков}, событие B = {выпало четное число оч- ков}. Вычислить вероятность P(A|B).

2.2.Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в само- лет он будет сбит.

2.3.В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки

–независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.

2.4.Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А = {на трех костях выпадут разные грани}, B = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить P(B|A) и P(A|B).

2.5.В группе учатся 10 студентов. Для решения задачи у доски любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в тече- ние занятия. В группе три отличника. Найти вероятность того, что

35

вторую задачу к доске пойдет решать отличник при условии, что первую задачу тоже решал отличник.

2.6.Бросается игральная кость. Пусть событие А = {появление четного числа очков}, событие В = {появление более трех очков}. Зависимы или нет события А и В?

2.7.Игральная кость подброшена дважды. Зависимы ли случай- ные события А = {число очков при первом бросании равно 5} и В =

={сумма очков при двух бросаниях равна 9}?

2.8.Пусть Р(А) = 1/2, P(B) = 1/3. Верно ли, что P(A ∩ B) ≤ 3/8?

2.9.События А и В независимы, Р(А) = Р(В) = 1/4. Найти P(A B) .

2.10.P(A B) будет больше в случае А и В независимых или А и

Внесовместных?

2.11.Из колоды в 36 карт подряд вытаскиваются две карты. Рас- сматриваются события: А = {первая карта имеет пиковую масть}, В = = {обе карты красного цвета}. Зависимы ли события А и В?

2.12.В ящике имеются две партии по 100 деталей, в каждой из ко- торых по 10 бракованных. Из ящика извлечена одна деталь. Зависи- мы ли случайные события А = {извлеченная деталь из первой пар- тии} и В ={извлеченная деталь бракованная}?

2.13.В ящике имеются две партии по 100 деталей. В первой пар- тии – 10 бракованных деталей, во второй – 20. Из ящика извлечена одна деталь. Зависимы ли случайные события А = {извлеченная де- таль из первой партии} и В = {извлеченная деталь бракованная}?

2.14.В группе из 1000 человек 452 имеют текущие счета, 336 – депозитные счета, а 302 – и текущие, и депозитные. Определить, яв- ляются ли события {обладание текущим счетом} и {обладание депо- зитным счетом} независимыми?

2.15.Подбрасываются три игральные кости. Событие А = {на первой и второй костях выпало одинаковое число очков}, событие В = {на вто- рой и третьей костях выпало одинаковое число очков}, событие С = {на первой и третьей костях выпало одинаковое число очков}. Прове- рить, являются ли события А, В и С: а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.

2.16.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех по- ставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет, если он знает ответ на первый вопрос в билете?

2.17.Студенты выполняют контрольную работу в классе контро- лирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для получения по-

36

ложительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи предлагается 5 различных ответов, из которых только один правиль- ный. Какова вероятность получить положительную оценку, если вы- бирать ответы для каждой задачи наудачу?

2.18.Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Веро- ятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность по- падания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

2.19.Вероятность превысить личный рекорд с одной попытки для данного спортсмена равна р. Найти вероятность того, что на сорев- нованиях спортсмен превысит свой личный рекорд, если разрешается делать две попытки.

2.20.Три радиостанции независимо друг от друга передают само- лету один и тот же сигнал. Вероятности того, что самолетом будут приняты эти сигналы, соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,75. Найти вероятность того, что самолет примет посылаемый ему сигнал.

2.21.Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятно- стью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Най- ти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет.

2.22.Менеджер по кадрам разместил в сети Internet объявление о том, что банку требуется начальник отдела долговых обязательств, и получил 300 резюме. Из прошлого опыта известно, что вероят- ность того, что претендент имеет высшее экономическое образова- ние, равна 0,3, вероятность того, что претендент имеет опыт руково- дящей работы в банке, – 0,7, а вероятность того, что претендент име- ет и высшее экономическое образование, и опыт руководящей рабо- ты, – 0,2. Оценить количество претендентов, имеющих опыт руко- водящей работы или высшее экономическое образование.

2.23.Студент может ехать в институт или автобусом, который хо- дит через каждые 20 мин, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Какова вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут?

2.24.Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, об- наружила следующие факты: 60 % всех студентов занимаются спор- том, 40 % участвуют в научной работе на кафедрах и 20 % занима- ются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти ве- роятность того, что наудачу выбранный студент: а) занимается по крайней мере одним из указанных видов деятельности; б) занимается только спортом; в) занимается только одним видом деятельности.

37

2.25.За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с ка- ждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать

кконцу второго промежутка времени?

2.26.Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи прини- мают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,8, а третий судья для принятия решения бросает монету. Оконча- тельное решение принимается по большинству голосов. Какова веро- ятность того, что жюри примет правильное решение?

2.27.Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи прини- мают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,8, а третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения, то он к ним присоединяется, если же решения двух первых судей разные, то третий судья бросает монету. Какова вероятность правильного решения у такого жюри?

2.28.Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рис. 2.6). Предполагается, что от- казы элементов являются независимыми в совокупности событиями.

Вычислить:

I) вероятность надежности каждой из схем, если pk – вероятность надежности k-го элемента;

II) вероятность отказа каждой из схем, если pk – вероятность отказа k-го элемента.

2.29.Зададим надежности работы элементов электрической цепи: p1 = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,6; р4 = 0,5; р5 = 0,4; р6 = 0,3. Найти надежно-

сти схем, приведенных на рис. 2.7.

2.30.Подбросили две игральные кости. Какие из представленных ниже наборов событий образуют систему гипотез:

a) Н1 = {на 1-й кости выпало одно очко}, ..., H6 = {на 1-й кости выпало шесть очков};

б) H1 = {на обеих костях выпало по одному очку}, ..., Н6 = {на обеих костях выпало по шесть очков};

в) H1 = {на 1-й кости выпало четное число очков}, H2 = {на 2-й кости выпало нечетное число очков};

г) H1 = {на 2-й кости выпало четное число очков}, H2 = {на 2-й кости выпало нечетное число очков}?

2.31.Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % – госу- дарственные органы, 20 % – другие банки, остальные – физические

38

лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, со- ставляют 0,01; 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

ж

з

Рис. 2.7. Схемы систем соединения элементов

2.32. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. при солнечной погоде равна 80 %, при переменной облачности – 50 %, а при дождливой погоде – 10 %. Найти вероятность

39

того, что на следующей неделе оборот превысит 2000 руб., если веро- ятность солнечной погоды в данное время года составляет 20 %, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой по- годы – по 40 %.

2.33.Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет сломанный грифель.

2.34.Пусть имеется 5 урн. В двух из них лежит по одному белому

ипо три черных шара, а в трех урнах – по два белых и два черных шара. Наугад выбирается некоторая урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

2.35.В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются 2 мяча и после игры воз- вращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлека- ются еще 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

2.36.Из 30 экзаменационных билетов студент выучил только 5. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым?

2.37.В урну, содержащую 6 шаров, опущен белый шар, после че- го наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извле- ченный шар окажется белым, если равновозможны все предположе- ния о первоначальном составе шаров (по цвету).

2.38.В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во вто- рой урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлек- ли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

2.39.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и пере- ложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу из- влеченный из третьей урны, окажется белым.

2.40.Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг дру- га. Первая в конечном итоге напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая – ос- тальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, а вто- рая – с вероятностью 0,1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.

2.41.На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 ра- бочих пятого разряда и 5 рабочих четвертого разряда. Вероятность

40