Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

кую сумму достаточно сложно, и здесь приходит на помощь инте- гральная предельная теорема.

Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа. Если в после-

довательности испытаний Бернулли вероятность успеха p (0 < p < 1) остается постоянной, то

(равномерно по a и b, где −∞ < a ≤ x ≤ b < +∞).

Применение этой теоремы проиллюстрируем на примере.

Задача 3.10. При производстве изделий вероятность брака р = 0,005. Найти вероятность того, что в партии из 10 000 изделий бра- кованными окажутся не более 70.

Решение. Здесь n = 10 000, np = 50, npq = 49,75, npq = 7,053, ве-

роятность того, что количество «успехов» k, т.е. брака, будет лежать в пределах 0 ≤ k ≤ 70 , равна

функции Ф0 (x) приведены в прил. 3.

Ответ. 0,9975.

Заметим, что более хорошее приближение дает несколько видо- измененная формула, в которой внесена поправка на 0,5, а именно:

Отметим еще одно применение интегральной теоремы Муавра – Лапласа. Из этой теоремы вытекает, что

51

Таким образом, мы можем вычислить вероятность уклонения от- носительной частоты наступления успехов k/n от вероятности успеха в каждом испытании р.

Используя этот факт, можно, например, ответить на вопрос, какое наименьшее число испытаний n надо провести, чтобы с вероятно- стью, не меньшей р0, относительная частота k/n отклонялась от веро- ятности p не больше, чем на ε? Из формулы (3.4) получим

Задача 3.11. Сколько нужно провести испытаний, чтобы относи- тельная частота k/n отклонилась от вероятности p, которая неизвест- на, не больше чем на ε = 0,01 с вероятностью p0 = 0,95?

=p(1 – p) = p – p2, max(pq) = 1/4). Ответ. n < 9604.

Из (3.4), в свою очередь, следует, что для любого ε > 0

т.е. частота k/n → p при n → ∞ с вероятностью 1.

Упражнения для самостоятельной работы

3.1. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциаль- ным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность того, что это произойдет: а) в трех случаях; б) не более чем в трех случаях.

52

3.2.Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, как только торговая инспекция в третий раз выявит серьезное нарушение правил торговли. Найти вероятность того, что лицензия будет ото- брана после пятой проверки. Известно, что вероятность выявления нарушения при одной проверке равна 0,2 и не зависит от результатов предыдущих проверок.

3.3.В микрорайоне 9 машин технической службы. Для беспере- бойной работы необходимо, чтобы не меньше восьми машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебой- ной работы технической службы в микрорайоне.

3.4.В среднем каждый десятый договор страховой компании за- вершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила 5 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай насту- пит: а) один раз; б) хотя бы один раз.

3.5.В семье трое детей. Какова вероятность того, что: а) все они мальчики; б) один мальчик и две девочки. Считать вероятность рож- дения мальчика 0,51, а девочки – 0,49.

3.6.Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Чему равно наиболее вероятное число подбрасываний?

3.7.Известно, что из числа зрителей определенной телепрограм- мы 70 % смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трех наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содер- жания рекламного блока. Найти наивероятнейшее число лиц в груп- пе, которые смотрят рекламные блоки.

3.8.Стоимость проезда в автобусе равна 30 руб., месячный про- ездной билет на автобус стоит 1200 руб., а штраф за безбилетный проезд составляет 100 руб. Петя 24 раза в месяц ездит на автобусе в институт и обратно. Он не покупает проездного билета, никогда не платит за проезд и считает, что вероятность быть пойманным и за- платить штраф равна 0,05. Сравнить стоимость проездного билета с наиболее вероятной величиной штрафа за 48 поездок.

3.9.Что вероятнее: выиграть в бильярд у равносильного противника не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

3.10.Вероятность того, что в результате пяти независимых опы- тов событие произойдет хотя бы один раз, равна 0,99757. Определить вероятность появления события при одном опыте.

3.11.Среди билетов лотереи половина выигрышных. Найти ми- нимальное число билетов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету.

53

3.12.В городе работают 1000 коммерческих банков, из которых 330 допускают нарушения налогового законодательства. Определить число банков, которые должна отобрать для проверки налоговая ин- спекция, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, среди них оказался хотя бы один нарушитель законодательства.

3.13.Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 200 произведенных изделий не более одного бракованного.

3.14.Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко – вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случай- но выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитные карты 2000 клиентам. Найти: а) вероятность того, что за предстоя- щую неделю будет утеряна ровно одна кредитная карта; б) вероят- ность того, что за предстоящую неделю будет утеряна хотя бы одна кредитная карта; в) наиболее вероятное число кредитных карт, те- ряемых за месяц.

3.15.На лекции по теории вероятностей присутствуют 84 студен- та. Какова вероятность того, что среди них есть 2 студента, у кото- рых сегодня день рождения?

3.16.Один процент стодолларовых купюр составляют фальши- вые, сделанные, однако, довольно искусно, так что операционист об- менного пункта десятую их часть принимает за настоящие. Каждый день для обмена приносят примерно 200 стодолларовых купюр (всего: настоящих и фальшивых). Определить: а) вероятность того, что среди них есть хотя бы одна фальшивая; б) наиболее вероятное время, за ко- торое оправдает себя детектор валюты, который стоит 100 долларов и определяет все фальшивые купюры как фальшивые.

3.17.Найти такое число k, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что среди 800 новорожденных более k девочек. Считать, что вероятность рождения девочки равна 0,485.

3.18.Найти вероятность того, что событие наступит ровно 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность наступления этого события

вкаждом испытании равна 0,6.

3.19.Монета брошена 1000 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно 500 раз.

3.20.Вероятность появления события в каждом из 2100 независи- мых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие поя- вится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

54

3.21.Вероятность появления события в каждом из 21 независи- мых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие поя- вится в большинстве испытаний.

3.22.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не ме- нее 75 раз?

3.23.Вероятность появления положительного результата в каж- дом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы

свероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

3.24.Вероятность появления события в каждом из 625 независи- мых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относитель- ная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

3.25.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с веро- ятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появле- ния события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

3.26.Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число k стандартных деталей среди проверенных.

55

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется пространством вероятностей?

2.Дайте определение случайного события.

3.Что такое вероятность и какие значения она может иметь?

4.Какие события называются несовместными?

5.Какая модель пространства вероятностей называется классической?

6.Чему равна вероятность события в классической модели?

7.Какая модель пространства вероятностей называется геометриче-

ской?

8.Чему равна вероятность события в геометрической модели?

9.Какие события называются независимыми?

10.Что такое условная вероятность?

11.Может ли условная вероятность события быть больше его ве- роятности?

12.Может ли условная вероятность события быть меньше его ве- роятности?

13.В каких случаях условная вероятность события равна его ве- роятности?

14.Какая система событий называется независимой? Привести пример системы событий, которая не является независимой, но вхо- дящие в нее события попарно независимы.

15.Что такое полная группа событий? Приведите пример.

16.Напишите формулу полной вероятности.

17.Напишите формулу Байеса.

18.Что такое испытания Бернулли?

19.Напишите формулу для вероятности k успехов в n испытаниях Бернулли.

20.Какое количество успехов наиболее вероятно?

21.Сформулируйте теорему Пуассона. В каких случаях ее разум- но применять?

22.Сформулируйте локальную теорему Муавра – Лапласа. В ка- ких случаях ее разумно применять?

23.Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. В каких случаях ее разумно применять?

56

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

№1. В ящике лежат детали: 8 качественных и 4 бракованных. Из ящика наугад вынимают 5 деталей. Какова вероятность того, что из этих пяти деталей 3 или 4 окажутся качественными?

№2. Два студента играют в теннис до трех проигрышей. В каж- дой партии вероятность выигрыша первого студента равна 0,6, а вто- рого – 0,4. Какова вероятность того, что они сыграют ровно четыре партии?

№3. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6. Найти веро- ятность того, что в серии из десяти последовательных независимых испытаний Бернулли будет по крайней мере два успеха.

№4. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,5. Сколько не- зависимых испытаний следует провести, чтобы вероятность того, что число успехов в серии испытаний Бернулли равно двум, была в 6 раз больше вероятности того, что успехов не будет вовсе?

№5. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи прини- мают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,8, а третий судья для принятия решения бросает монету. Оконча- тельное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение?

№6. В трех ящиках имеются белые и черные шары. В первом ящике 4 белых и 1 черный шар, во втором – 5 белых и 5 черных, в третьем – 2 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны случайным образом вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый. Ка- кова вероятность, что шар взят из второго ящика, если он черный?

№7. Вероятность безот-

Пусть событие Аi означает безотказную работу элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 7), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется: a) написать формулу, выражающую событие В через все события Ai; б) найти вероятность события В.

57

Вариант 2

№1. В партии из 10 телевизоров есть 3 бракованных. Какова ве- роятность того, что среди трех наудачу взятых телевизоров хотя бы один бракованный?

№2. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Найти вероят- ность события А| B, если события: A = {на трех костях выпадут раз- ные грани}, B = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}.

№3. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6. Найти веро- ятность того, что в серии из пяти последовательных независимых испытаний Бернулли будет не менее четырех успехов.

№4. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,00001. Найти наивероятнейшее число успехов в серии из 400 000 независимых ис- пытаний и оценить вероятность того, что число успехов будет равно 5.

№5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех по- ставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет, если он знает ответ на первый вопрос?

№6. На сборку попадают детали с трех автоматов. Первый авто- мат дает 0,2 % брака, второй – 0,1 %, третий – 0,3 %. На сборку по- ступило 1000 деталей с первого автомата, 2000 – со второго и 3000 –

стретьего. Найти: a) вероятность попадания на сборку небракован- ной детали; б) вероятность того, что деталь изготовлена на третьем автомате, если она оказалась бракованной.

№7. Вероятность отказа

схеме. Пусть событие Аi означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 6), а событие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Тре- буется: a) написать формулу, выражающую событие В через все со- бытия Ai; б) найти вероятность события В.

Вариант 3

№ 1. От каждой из двух групп людей путем жеребьевки выбира- ются по одному представителю. В первой группе 5 мужчин и 4 жен- щины, во второй группе 3 мужчины и 7 женщин. Найти вероятность того, что представители будут разного пола.

58

№2. В театральной кассе к некоторому моменту времени оста- лось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет с равной вероятностью в любой из возможных те- атров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что куплены билеты в разные театры.

№3. На каждом станке за смену выпускается 8 деталей. Вероят- ность брака для первого станка равна 0,05, для второго – 0,03. Найти вероятность того, что в сменной продукции обоих станков не более одной бракованной детали.

№4. Вероятность (предполагается, что она одна и та же во всех опытах) того, что в результате 4 независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна 0,95. Определить вероятность появления события при одном опыте.

№5. В каком случае Р(А В) будет больше: в случае, когда А и В не-

зависимы, или в случае, когда А и В несовместны? Ответ обосновать.

№6. В корзине 4 красных и 3 зеленых яблока. Из корзины вынули одно яблоко и, не глядя, отложили в сторону. После этого из корзины достали еще одно яблоко, которое оказалось зеленым. Найти вероят- ность того, что первое яблоко, отложенное в сторону, также было зеленым.

№7. Вероятность безот-

независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие Аi означает безотказную работу элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 5), а со- бытие В – безотказную работу цепи. Требуется: a) написать формулу, выражающую событие В через все события Ai; б) найти вероятность события В.

Вариант 4

№1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учеб- ника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники ока- жутся рядом.

№2. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. На семейном совете постановили, что дети в семье будут рождаться до появления второго мальчика. Найти вероятность того, что в семье будет четверо детей.

59

№3. По каналу связи передаются 5 сообщений, каждое из кото- рых, независимо от других, может быть искажено с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что будет правильно принято не более трех сообщений.

№4. Сообщение содержит 500 символов. Вероятность искажения символа при передаче постоянна и равна р. Если хотя бы один сим- вол искажен, то сообщение будет принято неверно. При каких значе- ниях р вероятность того, что сообщение будет успешно передано, окажется равной 0,95?

№5. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одно и то же число очков.

№6. Среди восьми одинаковых приборов два были ранее в упот- реблении. Для эксперимента случайно выбирают три прибора, затем возвращают. Какова вероятность того, что для второго эксперимента взят прибор, который в употреблении еще не был?

по приведенной схеме. Пусть событие Аi означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 6), а событие В – отказ цепи за время Т (пре- кращение тока в цепи). Требуется: a) написать формулу, выражающую событие В через все события Ai; б) найти вероятность события В.

Вариант 5

№1. На книжной полке случайным образом расставлены 10 томов эн- циклопедии. Найти вероятность того, что все четные тома окажутся стоящими рядом в одной группе, а все нечетные – рядом в другой группе.

№2. Пусть события А и В независимы и Р(А∩В) = Р(В) = 1/4.

Найти Р(А В).

№3. Вероятность смертельного исхода в автомобильной аварии в рассматриваемом регионе равна 0,005. Найти вероятность того, что в течение месяца смертельных исходов будет более одного, принимая среднее число аварий в месяц равным 300.

№4. Вероятность того, что в результате пяти независимых опы- тов событие А (предполагается, что она одна и та же во всех опытах) произойдет хотя бы один раз, равна 0,99757. Определить вероятность появления события при одном опыте.

60