Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

1.4. Геометрическая модель

Еще один важный класс задач – задачи, приводящие к так назы- ваемым геометрическим вероятностям. Эти задачи связаны с веро- ятностной моделью, в которой множество элементарных исходов – точки некоторой плоской фигуры D (отрезка, области, тела и т.д.), события – части фигуры D (отрезка, области, тела и т.д.); таким обра- зом, каждое событие А представляет собой множество точек Q D ;

вероятность

P(A) = μ(Q) ,

μ(D)

где μ(Q) и μ(D) – меры (длины, площади, объемы и т.д.) Q и D соот- ветственно.

Задача 1.26. В круг радиусом R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

Решение. Площадь круга равна πR2, а площадь правильного тре- угольника, вписанного в круг, – 3 3R2 / 4 . Следовательно, искомая вероятность равна

3 3R2 = 3 3 ≈

4πR2 4π

0,41.

Ответ. 0,41.

Задача 1.27. На пульт управления в течение минуты в случайные моменты времени должны поступить 2 сигнала, причем они регист- рируются только в том случае, если между моментами их поступле- ния проходит не менее 5 с. Найти вероятность того, что сигналы бу- дут зарегистрированы.

Решение. Пусть х – момент поступления одного сигнала, а у – другого, тогда по условию: 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 60, т.е. множество

элементарных исходов Ω представляет собой квадрат D плоскости Oxy со стороной 60 (рис. 1.3).

Нашему событию А соответствует фигура Q, состоящая из тех то- чек этого квадрата, для которых x − y ≥ 5 (см. рис. 1.3). Тогда

P(A) = S(Q) = 602 − (60 − 5)2 = 0,16.

S(D) 602

21

Ответ. 0,16.

Упражнения для самостоятельной работы

1.1.На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?

1.2.Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность того, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками?

1.3.Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность, что оно: а) одинаково читается как слева направо, так и справа нале- во; б) состоит из нечетных цифр; в) четное?

1.4.Среди кандидатов на предстоящую конференцию студентов 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого со- става наудачу выбирают 5 человек. Какова вероятность того, что: а) будут выбраны одни третьекурсники; б) все первокурсники попадут на конференцию; в) не будет выбрано ни одного второкурсника?

1.5.Из колоды в 36 карт наугад вынимают 2 карты. Найти вероят- ность, что среди них окажется хотя бы одна дама.

1.6.Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 5 карт. Найти вероят- ность того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки?

1.7.Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность того, что: а) в полученной выборке все карты бубновой масти; б) окажется хотя бы один туз.

1.8.Из пяти карточек, на которых написаны цифры от 1 до 5, слу- чайно выбирают три карточки и раскладывают их в порядке поступ- ления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что появится: а) число 123; б) число, не содержащее цифры 5; в) число, состоящее

22

из последовательных цифр; г) четное число; д) число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3.

1.9.Колоду из 36 карт поделили случайным образом на две рав- ные части. Найти вероятность того, что: а) в каждой половине по 2 дамы; б) в одной половине одна дама, а в другой – 3; в) все 4 дамы

водной части колоды.

1.10.За круглый стол случайным образом рассаживают 10 чело- век. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажут- ся рядом.

1.11.7 человек рассаживаются наудачу на скамейке. Какова веро- ятность того, что два определенных человека будут сидеть рядом?

1.12.5 мужчин и 5 женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 10 мест. Найти вероятность того, что: а) никакие два мужчины не будут сидеть рядом; б) все женщины будут сидеть рядом.

1.13.Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что по- явление любого числа на регистре равновероятно, найти вероятность того, что: а) во всех разрядах стоят нули; б) во всех разрядах стоят одни и те же числа; в) регистр содержит ровно две одинаковые цифры.

1.14.Парадокс де Мере. Подбрасывают три игральные кости и подсчитывают сумму выпавших очков. Де Мере заметил, что появление одиннадцати очков возможно при шести комбинаци-

ях (6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3) и появление двенадцати очков возможно при шести комбинациях (6-5-1, 6-4-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4). Объяснить парадоксальность ситуации, которая со- стоит в том, что вероятности появления в сумме 11 и 12 очков не равны.

1.15.В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второ- го) этаже. Какова вероятность того, что: а) все выйдут на разных эта- жах; б) все выйдут на одном этаже; в) все выйдут на девятом этаже; г) на втором, третьем и четвертом этажах не выйдет ни одного чело- века; д) двое выйдут на восьмом этаже?

1.16.Двенадцать студентов, среди которых Иванов и Петров, слу- чайным образом занимают очередь в столовой. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажут- ся ровно 5 человек?

1.17.Числа 1, 2, 3, …, 9 записаны в случайном порядке. Найти веро- ятности того, что: а) числа записаны в порядке возрастания; б) числа 1 и 9 стоят рядом и в порядке возрастания; в) на четных местах стоят

23

четные числа; г) сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, равна 10.

1.18.На пяти карточках разрезной азбуки изображены буквы Е, Е, Л, П, П. Какова вероятность того, что при случайном выкладывании этих букв в ряд получится слово ПЕПЕЛ?

1.19.Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова вы- кладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА?

1.20.Бросается 6 игральных костей. Найти вероятность того, что: а) выпадут три единицы, две тройки и одна пятерка; б) выпадут раз- личные цифры; в) выпадут три одинаковые цифры.

1.21.Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, сту- дент знает 50. Найти вероятность того, что среди трех наугад вы- бранных вопросов студент знает: а) все вопросы; б) два вопроса.

1.22.В кондитерской имеется 7 видов пирожков. Покупатель вы- бил чек на 4 пирожка. Считая, что любой заказываемый набор пи- рожков равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал: а) пирожки одного вида; б) пирожки разных видов; в) по два пирожка различных видов.

1.23.Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить ве- роятность того, что ровно на двух костях выпадет 6 очков.

1.24.При проведении фуршета на стол поставили 5 бокалов шампанского, 3 бокала белого вина и 2 бокала красного вина. К столу подошли 7 человек и взяли по одному бокалу. Найти вероят- ность того, что на столе осталось по одному бокалу каждого на- питка. (Будем предполагать, что для каждого из гостей все напитки одинаково привлекательны).

1.25.На заводе работает 30 000 рабочих и служащих. Показать, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми инициалами фамилии, имени и отчества.

1.26.В коробке 6 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Нау- дачу вынимают 2 карандаша. Какова вероятность того, что все они разных цветов?

1.27.Из множества чисел {1, 2, …, 100} выбирается два числа. Какова вероятность того, что второе число больше первого, если вы- бор осуществляется без возвращения?

1.28.На отрезке [0, 5] случайно выбирается точка. Найти вероят- ность того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не пре- восходит 1,6 единицы.

24

1.29.Стержень длиной l разломан в двух наугад выбранных точ- ках. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно со- ставить треугольник.

1.30.(Задача о встрече). Два студента условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 часами дня. Пришедший пер- вым ждет второго в течение 10 мин, после чего уходит. Какова ве- роятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода?

25

2.УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

ИНЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

2.1. Условные вероятности

Если вероятность P(B) > 0, то условной вероятностью P(A|B) со-

бытия А при условии В называется отношение

Если обычная вероятность показывает, какую «долю» событие А составляет от достоверного события Ω, то условная вероятность по- казывает, какую «долю» событие А (точнее, общая часть А и В ) со- ставляет от события В.

Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и обыч- ная вероятность, только для Р(А|В) роль достоверного события игра- ет событие В. Таким образом, условная вероятность соответствует ситуации, когда событие В уже произошло.

Задача 2.1. Один раз подбрасывается игральная кость. Найти ве- роятность того, что выпало число 2 при условии, что выпало четное число.

Решение. Пусть A = {выпало число 2}, B = {выпало четное число}. 1-й способ. A ∩ B = {выпало число 2}. Очевидно, P(B) = 3/6 = 1/2,

P( A ∩ B ) = 1/6. Следовательно, по формуле (2.1)

P(A | B) = P(A ∩ B) = 1/ 6 = 1 .

2-й способ. Так как событие B произошло, то множество равнове- роятных элементарных исходов Ω = {число 2, число 4, число 6}, а {число 2} – исход, благоприятный событию A|B. Поэтому P(A|B) = 1/3.

Ответ. 1/3.

2.2. Независимость событий

События А и В называются независимыми, если

P( A ∩ B) = P(A)P(B).

26

Для независимых событий Р(A|B) = Р(A), т.е. условная вероят- ность равна обычной (безусловной) вероятности. Это равенство от- ражает наше обыденное представление о независимости событий.

Можно показать, что если события A и B независимы, то незави-

симы события A и B, A и B , A и B .

Задача 2.2. При изготовлении изделия необходимо выполнить две операции. Вероятность появления брака при первой равна 0,01, а при второй – 0,02, причем появление брака при каждой из операции – независимые события. Найти вероятность того, что в итоге будет по- лучено качественное изделие.

Решение. Рассмотрим события:

А = {брак не появился при первой операции}, Р(А) = 0,99; В = {брак не появился при второй операции}, Р(В) = 0,98.

Изделие будет качественным, если брак не произойдет при обеих операциях, т.е. при пересечении событий А и В:

A ∩ B = {получено качественное изделие}.

Так как событий А и В независимые, то

P( A ∩ B) = P(A)P(B) = 0,99 0,98 = 0,9702.

Ответ. 0,9702.

Система событий А1, А2, ..., Аn называется независимой, если для любой ее подсистемы Ai1 , Ai2 , ..., Aik выполняется равенство

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩... ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) ... P(Aik ) .

Так, например, система из трех элементов А, В, С называется не- зависимой, если выполняются четыре равенства:

P(A ∩ B) = P(A)P(B),

P(B ∩ C) = P(B)P(C),

P(A ∩ C) = P(A)P(C),

P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).

Следует отметить, что попарная независимость событий не влечет независимости всей системы. Это можно проиллюстрировать на сле- дующем примере.

27

Задача 2.3. Из четырех студентов студент S1 владеет английским языком, студент S2 – немецким, S3 – французским, а S4 – всеми этими тремя языками (полиглот). События: А = {выбранный наудачу сту- дент владеет английским языком}, В = {выбранный наудачу студент владеет немецким языком}, С = {выбранный наудачу студент владе- ет французским языком}. Выяснить, зависимы или нет события А и В, A и С, B и C, события А, В, С в совокупности.

Решение. Число возможных равновероятных исходов при выборе студента 4: S1, S2, S3, S4. Имеем следующие благоприятные исходы для событий: А = {S1, S4}, В = {S2, S4}, С = {S3, S4}, A ∩ B = A ∩ C = = B ∩ C = A ∩ B ∩ C = {S4}.

Следовательно, события А, В, С попарно независимы, так как

P(A ∩ B) = 1 = 2 2 = P(A)P(B), 4 4 4

P(A ∩ C) = 1 = 2 2 = P(A)P(C), 4 4 4

P(B ∩ C) = 1 = 2 2 = P(B)P(C), 4 4 4

но вся система А, В, С не является независимой, так как

P(A ∩ B ∩ C) = 1 ≠ 2 2 2 = P(A)P(B)P(C). 4 4 4 4

Ответ. События А, В, С попарно независимы, но вся система А, В, С не является независимой.

Задача 2.4. Релейная схема состоит из трех последовательно со- единенных элементов (рис. 2.1). Выразить событие A = {отказ схе- мы} через события Ai = {отказ i-го элемента} (i = 1, 2, 3) и найти ве- роятность события A при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна pi.

Рис. 2.1. Схема последовательного соединения

Решение. Так как событие Ai – отказ элемента с номером i, то Ai – противоположное событие, состоящее в том, что элемент с номером i

28

работает. Заметим, что схема на рис. 2.1 не работает при условии, что не работает хотя бы один элемент, и работает при условии, что рабо-

= 1− P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1− (1− p1 )(1− p2 )(1− p3 ) .

Ответ. A = A1 A2 A3 , P(A) = 1 – (1 – p1) (1 – p2) (1 – p3).

Задача 2.5. Релейная схема состоит из трех параллельно соеди- ненных элементов (рис. 2.2). Выразить событие A = {отказ схемы} через события Ai = {отказ i-го элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероят- ность события A при условии, что отказы отдельных элементов неза- висимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна pi.

1

2

3

Рис. 2.2. Схема параллельного соединения элементов

Решение. Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в предыдущей задаче. Заметим, что схема на рис. 2.2 не работает при условии, что не работают все элементы, и работает при условии, что работает хотя бы один элемент, поэтому A = A1 ∩ A2 ∩ A3 . Так как система событий Ai независимая, то

P(A) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A1 )P(A2 )P(A3 ) = p1 p2 p3 . Ответ. A = A1 ∩ A2 ∩ A3 , P(A) = p1p2p3.

Задача 2.6. Релейная схема состоит из пяти элементов (рис. 2.3). Найти вероятность события В = {схема работает} при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа эле- мента с номером i равна pi.

Рис. 2.3. Схема соединения элементов

29

Решение. Разобьем нашу схему на блоки I1, I2, I3 так, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Разбивка схемы на блоки

Введем обозначения: событие Bj = {блок Ij работает} (j = 1, 2, 3), qi = 1 – pi – вероятность работы элемента с номером i. Так как блоки I1 и I2 соединены последовательно, то схема работает, если работают оба блока, т.е. на языке событий B = B1 ∩ B2 . В силу независимости

отказов отдельных элементов события В1 и В2 также независимы, по- этому P(B) = P(B1)P(B2). В блоке I1 элементы 1 и 2 соединены парал- лельно, поэтому блок I1 откажет, если откажут оба элемента 1 и 2, т.е. P(B1) = 1 – p1p2. Аналогично блок I2 откажет, если откажут блок I3

и элемент 5, т.е. P(B2 ) = 1− P(B3 ) p5 ; в свою очередь, I3 откажет, если откажет хотя бы один из элементов 3 или 4, т.е. P(B3 ) = 1− q3q4 . Сле-

довательно, P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5). Ответ. P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5).

2.3. Теорема умножения

Равенство

носит название теоремы умножения.

Эта теорема обобщается на случай n событий:

P ( A1 ∩ A2 ∩... ∩ An ) = (2.3)

= P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 ∩ A2 ) ... P(An | A1 ∩ A2 ∩... ∩ An−1 ).

Задача 2.7. Из урны, содержащей 5 белых шаров и 3 черных, нау- дачу и последовательно извлекают по одному шару до появления

30