Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

того, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна соответственно 0,95; 0,9 и 0,8. Найти веро- ятность того, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено, при ус- ловии, что производительность всех рабочих одинакова.

2.42.На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 2:5:3. Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики 3 %, вто- рой – 2 %, третьей – 1 %. Найти вероятности следующих событий: а) взятое наугад со склада изделие окажется нестандартным; б) взятое наугад со склада изделие произведено первой фабрикой, если из- вестно, что оно оказалось нестандартным.

2.43.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их ме- стоположения и равны соответственно 1/3, 1/6, 1/2. Вероятность то- го, что к моменту прихода пассажира билеты, имевшиеся в кассе, будут распроданы, для первой кассы равна 3/4, для второй кассы – 1/2, для третьей кассы – 2/3. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

2.44.Магазин получает товар от трех поставщиков: 55 % товара поступает от первого поставщика, 20 % от второго и 25 % от третье- го. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5 % брака, поступающая от второго поставщика – 6 % брака, а посту- пающая от третьего поставщика – 8 % брака. Покупатель оставил в книге пожеланий жалобу о низком качестве приобретенного товара. Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания по- купателя, поступил от второго поставщика.

2.45.При расследовании преступления, совершенного на автоза- правочной станции (АЗС), было установлено, что поток автомоби- лей, проезжающих мимо АЗС, состоит на 60 % из грузовых и на 40 % из легковых автомобилей. По показаниям свидетелей, во время со- вершения преступления на АЗС находился автомобиль. Известно, что вероятность заправки грузового автомобиля равна 0,1, легкового автомобиля – 0,3. Найти вероятность того, что во время совершения преступления на АЗС находился: а) грузовой автомобиль; б) легко- вой автомобиль.

2.46.За определенный период в торговую фирму поступали теле- визоры от трех фирм-поставщиков в следующей пропорции: 1:3:6. Каждая фирма дает на свои телевизоры гарантию, идентифицируя их по серийному номеру и дате поставки. Телевизоры первой фирмы- поставщика требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15 %

41

случаев, второй и третьей – соответственно в 10 и 7 % случаев. Про- данный телевизор требует гарантийного ремонта, однако потеряны документы, идентифицирующие фирму-поставщика. В какую фирму имеет смысл обратиться в первую очередь?

2.47.В группе из 25 человек, пришедших на экзамен, 10 отлични- ков, 7 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно, 3 – плохо. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовлен- ные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготов- ленные – 10. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез: H1 = {студент подготовлен отлично или хорошо}, H2 = {студент подготовлен удов- летворительно}, H3 = {студент подготовлен плохо}.

2.48.В корзине три красных и семь зеленых яблок. Из корзины вынули одно яблоко и не глядя отложили в сторону. После этого из корзины достали еще одно яблоко, которое оказалось зеленым. Най- ти вероятность того, что первое яблоко, отложенное в сторону, также было зеленым.

2.49.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятно- стью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он ока- зался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

2.50.В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекают наугад 2 мяча для игры. После игры мячи возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще два мяча для следующей игры. Оба мяча оказались неигранны- ми. Найти вероятность того, что первый раз тоже играли новыми мя- чами.

2.51.Известно, что 90 % изделий, выпускаемых предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и не- стандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

2.52.Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разра- ботана система анализа рынка. Из данных за прошлые периоды из- вестно, что 5 % всех ценных бумаг являются «плохими» – не подхо- дящими для инвестирования. Предложенная система определяет 98 % «плохих» ценных бумаг как потенциально «плохие», но при этом 15 % ценных бумаг, пригодных для инвестиций, также определяет как по- тенциально «плохие». Найти вероятность того, что ценная бумага

42

подходит для инвестирования при условии, что данной системой анализа рынка она была определена как потенциально «плохая».

2.53. Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 %. Ве- роятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию подвергнута большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является носителем туберкулеза?

43

3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

3.1. Понятие независимых испытаний

Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые в совокупности события. Другими словами, если опыт выполняется при данном комплексе условий многократно, причем вероятность наступления некоторого события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то та- кие испытания называются независимыми.

Примерами независимых испытаний может служить n подбрасы- ваний монеты или извлечение из урны n раз (с возвращением) одина- ковых на ощупь шаров и т.д.

Математическая модель повторных независимых испытаний сле- дующая: дано пространство вероятностей, у которого конечное число элементарных исходов Ω = {E1, E2, …, Em}, причем все элементарные исходы – события и P(Ei) = pi, тогда n повторных независимых испыта- ний – это пространство вероятностей, у которого множество элементар-

ных исходов Q = Ω × Ω × ...× Ω , т.е. элементарными исходами явля-

n

ются все возможные упорядоченные наборы (Ei1 , Ei2 ,..., Ein ) (очевид-

но, их будет mn), и P((Ei1 , Ei2 ,..., Ein )) = pi1 pi2 ...pin , поскольку испыта- ния независимые.

Простейший случай, когда данное пространство вероятностей со- держит всего два элементарных исхода, которые условно называются успех и неуспех, причем вероятность успеха равна р, а вероятность неуспеха равна q = 1 – p. Соответствующие повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли.

3.2. Формула Бернулли

Вероятность наступления k успехов в n испытаниях Бернулли равна

Заметим, что события {k = 0},{k = 1},…,{k = n} образуют полную группу событий, т.е. из (2.4) имеем

44

Задача 3.1. Вероятность того, что при одном измерении некото- рой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Проведены три независимых измере- ния. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Решение. Проводится три независимых испытания (измерения), т.е. n = 3. Событие A = {допущена ошибка, превышающая заданную точность}, вероятность наступления события А в одном испытании (при одном измерении) равна р = 0,4, следовательно, q = 1− p = 0,6 .

Тогда по формуле Бернулли (3.1) вероятность наступления одного успеха в трех испытаниях

P3 (1) = C31 p1q3−1 = 3 0,4 0,62 = 0,432.

Ответ. 0,432.

Задача 3.2. Проводится 6 независимых испытаний, каждое из ко- торых заключается в одновременном подбрасывании двух монет. Найти вероятность того, что не менее двух раз выпадут одновремен- но 2 герба.

Решение. Здесь А = {выпадение двух гербов при одном подбрасы- вании двух монет}. В одном испытании пространство равновероят- ных элементарных событий Ω = {ГГ, ЦГ, ГЦ, ЦЦ} (Г – выпадение герба, Ц – выпадение цифры; первая буква в исходах относится к первой монете, вторая – ко второй); событие A = {ГГ}; следователь-

но, p = P(A) = 1/4 = 0,25, q = 1 – p = 0,75 и

= 1− 0,756 − 6 0, 25 0,755 = 0, 466.

Ответ. 0,466.

Задача 3.3. С вероятностью 0,4 посланное сообщение принимает- ся при одной передаче. Сколько надо сделать передач, чтобы с веро- ятностью не менее 0,9 сообщение было принято хотя бы один раз?

Решение. Интересующее нас в каждом испытании событие A = = {посланное сообщение принимается}, тогда p = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6.

45

Пусть n – число передач сообщения (число испытаний). Тогда ве- роятность того, что в n испытаниях событие принято хотя бы один раз, равно

В то же время по условию эта вероятность не менее 0,9, т.е.

1− 0,6n ≥ 0,9; 0,6n ≤ 0,1;

n ln 0,6 ≤ ln 0,1;

≥ ln 0,1 ≈

n 4,5. ln 0,6

Ответ. Нужно сделать не менее пяти передач сообщений.

Задача 3.4. Найти вероятность того, что в серии из 2n последова- тельных независимых испытаний Бернулли число успехов больше числа неудач, если вероятность успеха в одном испытании p = 0,5.

Решение. Здесь 2n – число испытаний, k – число успехов в серии из 2n испытаний, 2n – k – число неудач, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5.

Применяя свойство биномиальных коэффициентов C2kn = C22nn− k и учитывая, что в нашем случае p = q = 0,5, имеем

P2n (k) = C2kn 0,5k 0,52n− k = C2kn 0,52n = C22nn− k 0,52n =

= C22nn− k 0,52n− k 0,52n−(2n− k ) = P2n (2n − k) ,

т.е.

P2n (0) + P2n (1) + ... + P2n (n − 1) = P2n (n + 1) + ... + P2n (2n)

(так как равны между собой слагаемые, стоящие на одинаковом рас- стоянии от знака равно). А так как по формуле (3.2)

P2n (0) + P2n (1) + ... + P2n (n − 1) + P2n (n) + P2n (n + 1) + ... + P2n (2n) = 1

(величины, выделенные фигурными скобками, равны), то

P2n (0) + P2n (1) + ... + P2n (n − 1) = P2n (n + 1) + ... + P2n (2n) = 1 (1− P2n (n)). 2

46

Следовательно, вероятность того, что в серии из 2n испытаний Бер- нулли число успехов больше числа неудач равна

P2n (k > 2n − k) = P2n (2k > 2n) = P2n (k > n) =

Задача 3.5. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,5. Какое минимальное количество независимых испытаний Бернулли надо провести, чтобы вероятность появления пяти успехов стала больше

Ответ. Минимальное число испытаний равно 10.

3.3. Наиболее вероятное число успехов

Наиболее вероятным является количество успехов, равное [(n+1)p] – целая часть произведения (n+1)p, если же число (n+1)p – целое, то такую же вероятность будет иметь и наступление ((n+1)p – 1) успехов.

Задача 3.6. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано 9 приборов. Найти наиболее вероятное число отказавших приборов.

Решение. Здесь n = 9; p = 0,2; q = 0,8. Следовательно, (n + 1)p = 2 и наиболее вероятен отказ одного или двух приборов.

Ответ. Наиболее вероятен отказ одного или двух приборов.

Использование формулы Бернулли (3.1) при больших значениях n вызывает огромные трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, например, при n = 200, m = 100, p = 0,8 величину P200 (100) = C200100 (0,8)100 (0, 2)100 вычислить практически невозможно. Поэтому при больших n применяют формулы для приближенного

47

вычисления вероятностей, в основе которых лежат предельные тео- ремы Пуассона и Муавра – Лапласа.

3.4. Формула Пуассона

Пусть Tn – n испытаний Бернулли и вероятность успеха в одном испытании равна pn. Рассмотрим последовательность таких испыта- ний {Tn}.

Теорема Пуассона. Если в последовательности {Tn} испытаний

Значения величины Pn (k) содержатся в прил. 1.

Теорема Пуассона показывает, что если n достаточно велико, а p мало, то вероятность наступления k успехов в серии n испытаний приближенно равна

Причем это приближение будет достаточно хорошим, если веро- ятность успеха р < 0,1 и npq < 9. Например, если n = 800, р = 0,005 (здесь npq = 3,98 < 9), то, полагая λ = np = 4, по теореме Пуассона вероятность трех успехов в серии из 800 испытаний равна

P800 (3) = 43 e−4 = 0,1954,

3!

а по формуле Бернулли

P800 (3) = С8003 0,00530,995797 = 0,1945.

Задача 3.7. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 10–3. Найти вероятность событий: А = {в пути будет повреждено хотя бы одно изделие}, B = {в пути будет повреждено более двух изделий}.

Решение. Здесь n = 1000, p = 0,001, λ = np = 1, следовательно,

P(A) = 1− P1000 (0) = 1− (1)0 e−1 = 0,632 ;

0!

48

Ответ. 0,0803.

Задача 3.8. Сообщение содержит 500 символов. Вероятность ис- кажения символа при передаче постоянна и равна р. Если хотя бы один символ искажен, то сообщение будет принято неверно. При ка- ких значениях р вероятность того, что сообщение будет успешно пе- редано, окажется равной 0,95?

Решение. n = 500. По формуле Пуассона вероятность того, что со- общение будет успешно передано, равна

P500 (0) = λ0 e− λ = e− np = e−500 p .

0!

В то же время по условию эта вероятность равна 0,95. Следовательно, e−500 p = 0,95 ; −500 p = ln 0,95, откуда p = − ln 0,95/ 500 = 1,03 10−4 .

Ответ. р = 1,03·10−4.

3.5. Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа

В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю (p ≠ 0, p ≠ 1), для вычисления вероятностей Pn(k) используют локальную теорему Муавра – Лапласа.

Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа. Если в после-

довательности испытаний Бернулли вероятность успеха p (0 < p < 1)

остается постоянной, а величина x = k − np ограничена равномерно npq

по k и n (−∞ < a ≤ x ≤ b < +∞), то

т.е. если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испы- таний n достаточно велико, то вероятность Pn(k) может быть вычис- лена по приближенной формуле

49

где x = k − np . npq

Эта формула дает хорошее приближение, когда npq > 9 и 1/(n + 1) < < p< n/(n + 1). Например, если n = 10 000, k = 40, p = 0,005 (здесь npq = 49,75 > 9, n/(n + 1) = 0,9999, 1/(n + 1) = 0,00009 и р попадает в указанный промежуток), то приближенное значение P10000 (40) будет равно 0,0206, а точное – 0,0197.

Задача 3.9. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 150 раз.

Решение. Здесь n = 200, k = 150, p = 0,8, q = 0,2. Применим форму-

лу (3.3). Имеем

= k − np = 150 − 200 0,8 ≈ −

x 1,7678;

ϕ(−1,7678) = 0,0836 ,

следовательно,

Ответ. 0,015.

3.6. Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа

При решении задач, связанных с повторными независимыми ис- пытаниями Бернулли, возникает необходимость вычисления суммы

k2

вероятностей ∑ Pn (k) , если надо вычислить вероятность того, что

k = k1

число успехов k лежит в данных пределах: k1 ≤ k ≤ k2. Вычислить та-

50