Теория вероятностей вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий. Учебное пособие

№ 5. В театральной кассе к некоторому моменту времени оста- лось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет с равной вероятностью в любой из возможных те- атров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что куплены билеты в один какой-нибудь

система коридоров, изображенная на рисунке. Какова вероятность вытащить из урны белый шар, если экспериментатор в точках раз-

по приведенной схеме. Пусть событие Аi означает безотказную рабо- ту элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 7), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется: a) написать формулу, выражающую событие В через все события Ai; б) найти вероятность события В.

Ответы к вариантам контрольной работы

Вариант 1

1.7/9; 2. 0,3744; 3. 0,001677; 4. 4; 5. 0,8; 6. 1/2, 1/3; 7. a) В =

=(( A1 ∩ A2 ) A3 )∩ A4 ∩ ( A5 A6 A7 ) ; б) (1 –(1 – р2)(1 – р))р(1 –(1 – р)3).

Вариант 2

1. 17/24; 2. 60/91; 3. 0,33696; 4. 4, 0,057497; 5. 228/253; 6. a) 47/60; б) 9/13; 7. a) B = A1 A2 (A3 ∩ A4 ∩ ( A5 A6 )) ; б) (1 –(1 – р)2(1 – р2(1 –

– (1 – р)2)).

61

Вариант 3

1.47/90; 2. 7/9; 3. 0,868; 4. 0,527; 5. В случае несовместных А и В;

6.1/3; 7. a) B = A1 ∩ A2 ∩ (A3 ( A4 ∩ A5 )); б) р2(1 –(1 – р)(1 – р2)).

Вариант 4

1.4/35; 2. 0,187; 3. 0,26272; 4. 0,0001; 5. 1/6; 6. 15/32; 7. a) В =

=( A1 ∩ A2 ) A3 ( A4 ∩ A5 ∩ A6 ) ; б) 1− (1− p2 )(1− p)(1− p3 ) .

Вариант 5

1.1/126; 2. 1; 3. 0,44; 4. 0,7; 5. 2/9; 6. 29/40; 7. a) B = (( A1 ∩ A2 )

A3 A4 ) ∩ A5 ∩ ( A6 A7 ) ; б) (1− (1− p2 )(1− p)2 ) p (1− (1− p)2 ).

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1.1. 7/9; 1.2 0,902; 1.3. а) 1/100; б) 5/144; б) 1/2; 1.4. а) 1/143; б) 2/91; в) 12/143; 1.5. 0,213; 1.6. 0,000064; 1.7. а) 0,264·10−2; б) 0,2813; 1.8. а) 1/60; б) 2/5; в) 1/20; г) 2/5; д) 9/10; 1.9. а) 0,3974; б) 0,4987;

в) 0,1039; 1.10. 2/9; 1.11. 2/7; 1.12. а) 2(5!)2/10!; б) 6·(5!)2/10!; 1.13. a) 10−8; б) 10−7; в) 0,17; 1.15. a) 0,41; б) 0,00195; в) 0,00024; г) 0,1526;

д) 0,07178; 1.16. 1/11; 1.17. a) 1/9!; б) 1/9; в) 1/126; г) 1/945; 1.18. 1/30; 1.19. 24/10!; 1.20. а) 0,0013; б) 0,0154; в) 0,3215; 1.21. a) 0,573; б) 0,36; 1.22. а) 1/30; б) 1/6; в) 1/10; 1.23. 0,151; 1.24. 0,25; 1.26. 9/13; 1.27. 0,5;

1.28.0,32; 1.29. 0,25; 1.30. 11/36.

2.1.1/3; 2.2. 1/4; 2.3. 1/3; 2.4. 1/2; 60/91; 2.5. 2/9; 2.6. Зависимы; 2.7. За-

висимы; 2.8. Верно; 2.9. 13/16; 2.10. В случае несовместных А и В; 2.11. Зависимы, несовместны; 2.12. Независимы; 2.13. Зависимы; 2.14. Не являются; 2.15. а) Да; б) Нет; 2.16. 228/253; 2.17. 0,104; 2.18. а) 0,189;

б) 0,973; 2.19. 2p − p2; 2.20. 0,995; 2.21. 0,6; 2.22. 240; 2.23. 5/8; 2.24.

а) 0,8; б) 0,4; в) 0,6; 2.25. Могут существовать 0, 1, 2, 3, 4 амебы соот-

ветственно с вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32; 2.26. 0,8; 2.27. 0,8;

2.28. a) I: 1 – q1q2q3; II: p1p2p3; б) I: p1(1 – q2q3)p4; II: 1 – q1(1 – p2p3) q4; в) I: 1 – (1 – p1p2)(1 – p3p4)(1 – p5p6); II: (1 – q1q2) (1 – q3q4)(1 – q5q6); г) I: (1 – (1 – p1p2) q3) p4(1 – q5 q6); II: 1 – (1 – (1 – q1q2) p3) q4(1 – p5p6); д) I: (1 – q1q2q3) p4(1 – q5q6); II: 1 – (1 – p1p2p3) q4(1 – p5p6); е) I: p1(1 –

–q2q3) p4(1 – q5q6); II: 1 – q1(1 – p2p3) q4(1 – p5p6); ж) I: 1 – (1 – p1p2)(1 –

–p4p5)(1 – p1p3p5)(1 – p2p3p4); II: (1 – q1q2)(1 – q4q5)(1 – q1q3q5)(1 –

62

–q2q3q4); з) I: 1 – (1 – (1 – q1q2) p3) q4q5; II: (1 – (1 – p1p2)q3)p4p5; и) I: 1

–(1 – p1(1 – q2q3q4))(1 – p5p6); II: (1 – q1(1 – p2 p3p4))(1 – q5q6); к) I: 1 – (1 – p1(1 – q2q3))q4(1 – p5p6); II: (1 – q1(1 – p2p3)) p4(1 – q5q6); 2.29. 0,782, 0,16356; 2.30. а и d; 2.31. 0,151; 2.32. 0,4; 2.33. 0,2; 2.34. 0,4; 2.35. 0,445;

2.36. Безразлично, 1/6; 2.37. 4/7; 2.38. 0,5; 2.39. 0,4; 2.40. 0,4286; 2.41. 0,8(9); 2.42. а) 0,019; б) 0,3158; 2.43. 1/4; 2.44. 0,2; 2.45. a) 1/3; б) 2/3; 2.46. В третью; 2.47. 0,8677; 0,0271; 0,1052; 2.48. 2/3; 2.49. 2/3; 2.50. 0,2941;

2.51.a) 0,87; б) 0,993; 2.52. 0,744; 2.53. 0,0826.

3.1.а) 0,1468; б) 0,9437; 3.2. 0,0307; 3.3. 0,7748; 3.4. а) 0,3281; б) 0,4095;

3.5.a) 0,133; б 0,368; 3.6. 1; 3.7. 2; 3.8. Наиболее вероятная величина штрафа за 48 поездок равна 200 руб., что существенно меньше стоимо- сти проездного билета; 3.9. Вероятнее выигать не менее 5 партий из 8;

3.10.0,7; 3.11. 4; 3.12. 12; 3.13. 0,09; 3.14. а) 0,27; б) 0,865; в) 8; 3.15. 0,021;

3.16.а) 0,86466; б) за 5 дней; 3.17. 365; 3.18. 0,0041; 3.19. 0,025; 3.20. а) 0,4236; б) 0,5; в) 0,5; 3.21. 0,95945; 3.22. 100; 3.23. 177; 3.24. 0,9876;

3.25.900; 3.26. 792 ≤ k ≤ 828.

63

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 256 с. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 8-е изд. М.: Высш. шк., 2002.

575 с.

Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. 256 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

Сб. задач по математике для втузов: В 4 ч. / Под общ. ред. А.В. Ефи- мова и А.С. Поспелова. 3-е изд. перераб. и доп. М.: Изд-во физ.-мат.

лит., 2003. Ч. 4. 432 с.

Сб. задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов / Под общ. ред. А.А. Свешникова. 2-е

изд. М.: Наука, 1970. 655 с.

Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории веро- ятностей. 5-е изд. М.: Изд. центр Академия, 2003.448 с.

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятно- стей и математической статистике. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2004. 404 с.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.

М.: Наука, 1983. 416 с.

64

Приложение 2

66

Приложение 3

Указание. При x > 5 Φ0 (x) ≈ 0,5. Функция Φ0 (x) – нечетная, т.е. Φ0 (− x) = −Φ0 (x) .

67

Учебное издание

Сабурова Татьяна Николаевна Шишкова Елена Владимировна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий

Учебное пособие

Редактор Л.В. Иванкова

Компьютерная верстка М.А. Шамариной

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

68