Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами. Учебное пособие

Определить ток и напряжение на зажимах приемника в момент

времени, когда отраженная волна пройдет 3 длины линии. Найти и

4

построить зависимости U(x) и i(x) для этого момента времени.

Решение

Найдем время, в течение которого волна, отраженная от нагрузки, пройдет ¾ длины линии:

Для определения тока и напряжения составим эквивалентную схе-

му (рис. П2.4).

Рис. П2.4. Переходный процесс в кабельной линии

Поскольку рассматривается отраженная волна, то коммутация происходит в момент времени t = 0, когда падающая волна достигнет нагрузки.

Рассчитаем переходный процесс в кабельной линии операторным методом. Так как в цепи (рис. П2.4) до коммутации нулевые начальные условия, внутренние операторные ЭДС отсутствуют, то изображение тока в нагрузке будет иметь вид

Для отыскания оригинала воспользуемся теоремой разложения. Приравняем нулю знаменатель выражения (П2.16) и найдем корни полученного уравнения

51

В знаменателе теоремы разложения (П2.19) стоит производная, найдем ее:

Подставим в соотношение (П2.21) корни знаменателя (П2.18):

После несложных преобразований выражение (П2.22) приобретает вид

Подставим числовые значения и получим оригинал тока нагрузки в виде

52

Напряжение на нагрузке

iн(t) 400 1 e 6103 0,110 3 400(1 0,5488) 180,48, А. (П2.27)

Определим величину падающей волны тока:

Так как в конце линии волна представляет собой сумму падающей и отраженной волны, то представляется возможным найти отраженные волны напряжения и тока в виде

iотр iн iпад 400 2 е 6103t 600 200 1 2е 6103t , А. (П2.32)

Найдем отраженные волны тока и напряжения в любой момент времени и в любой точке линии с координатой х от конца линии. Момент времени, соответствующий произвольной координате х,

53

Полученные выражения (П2.33) и (П2.37) позволяют получить отраженные волны тока и напряжения в момент времени t 0,1 10 3c:

u(х) uпад uотр 30 10 1 2е 0,6 0,04х

20 2 1е 0,6 0,04х , кВ;

54

Если х изменяется в пределах от 3ℓ/4 до ℓ, то результирующие напряжение и ток в линии будут равны падающей волне тока и напряжения, т. е.

u(х) uпад 30 кВ, i(х) iпад 600 А.

Зависимости результирующего напряжения и тока от координаты х для момента времени t 0,1 10 3 представлены на рис. П2.5 и П2.6.

Задача 3. Вдоль воздушной линии (рис. П2.7) с волновым сопротивлением Zc1 = 450 Ом распространяется прямоугольная волна

uпад1 U0 110 кВ, а затем она переходит в отрезок разомкнутого на конце кабеля с волновым сопротивлением Zc2 = 50 Ом, длиной 2 = = 50 м. Скорость распространения волны в кабеле равна 1,5 108 м/с.

В месте стыка линий включен конденсатор емкостью С 5 10 3 мкФ. Найти распределение тока и напряжения вдоль отрезка кабеля для

момента времени t1 5 10 7 c после прихода падающей волны к месту соединения кабеля.

Решение

В месте стыка линий в момент прихода падающей волны имеют место следующие процессы.

55

1.Возникает отраженная волна, направленная вдоль воздушной линии от места стыка к началу первой линии.

2.Появляется преломленная волна, направленная вдоль кабеля от места стыка к разомкнутому концу кабеля.

Рис. П2.7. Воздушно-кабельная линия к задаче 3

1 ct1 1,5 108 5 10 7 75м.

Отсюда можно сделать вывод, что преломленная волна, являющаяся для кабеля падающей волной, дойдет до конца кабеля и отразится от него. Эта отраженная волна дойдет до середины кабеля.

Таким образом, расчет распределения тока и напряжения вдоль отрезка кабеля сводится к двум этапам. На первом этапе рассчитывается

преломленная волна (обозначим ее как uпад2 ), а на втором этапе определяется отраженная волна uотр2.

Преломленная волна uпад2 может быть определена по схеме (рис. П2.8), соответствующей времени прихода падающей волны uпад1, когда в месте стыка еще отсутствуют волны, отраженные от конца кабеля.

56

Рассмотрим расчет переходного процесса в линии операторным методом:

57

Формулы для преломленной волны с учетом ее пространственного распространения получим из выражений (П2.45) и (П2.46) путем замены t на (t – х/с). Тогда получим следующие соотношения:

Отыщем отраженные волны тока и напряжения на конце кабельной

линии (при х 2).

С учетом того что кабельная линия разомкнута, в момент прихода преломленной волны к концу кабеля пройдет промежуток времени

iотр2( 2) iпад2( 2) 440 1 e 444 104(5 10 7 3,3 2)

Анализируя (П2.49) и (П2.50),отметим, что эти выражения позволяют оценивать отраженные волны с учетом их движения к месту соединения кабельной и воздушной линии.

58

Введем обозначение y ( 2 x) . Тогда (П2.49) и (П2.50) приобретают вид

Найдем распределение напряжения и тока вдоль кабеля для момента времени t 5 10 7c.

В точках кабельной линии с координатами 0 x 22 , если х отсчитывается от места соединения линий, существуют только падаю-

В точках кабельной линии с координатами 22 x 2 существуют

одновременно и падающая и отраженная волна токов и напряжений, т. е.

Подставив выражения (П2.53) и (П2.54) в (П2.55) и (П2.56), получим распределение напряжения и тока в кабельной линии для рассмат-

риваемого момента времени t1 :

59

Выводы

В электрических цепях с распределенными параметрами в режимах переходного процесса (включение и отключение линий электропередач) возникают прямобегущие и отраженные волны с прямоугольным фронтом. Такие же волны будут возникать, если к имеющейся линии подключается другая линия, т. е. существует место соединения нескольких линий. В этом случае появляется преломленная волна, распространяющаяся вдоль новой подключенной линии.

60