Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ch x I 2Z csh x ,

I (x) I 2ch x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

947 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

или

U A1e	j( 1 x)	e	x	A2e	j( 2	x)	e	x	.	(27)

Переходим в уравнении (27) от комплекса напряжения к его мгновенному значению, в результате будем иметь:

u(x,t) Jm(U )

	2 A e x sin( t x )		2 A e x sin( t x	2	). (28)
	1	1	2	2

Ток получим из второго уравнения системы (20):

j x

j( 1 )

A2e

j x

j( 1 )

I Z c A1e

(29)

Записав уравнение (29) в мгновенной форме, получим

i(x,t)

2 A1

e x sin( t x )

Z c

2 A1

e x sin( t x 2 ).

(30)

Z c

В результате система уравнений в мгновенной форме для длинной линии в установившемся режиме будет иметь вид

u(x,t)				2 A e x sin( t x )
				1				1
			2A e x sin( t x				2	),
				2			2
i(x,t)				2 A1		e x sin( t x )			(31)
i(x,t)						e x sin( t x )			(31)
				Z c				1
				Z c
		2A1			e x sin( t x 2		).
					e x sin( t x 2		).
	Z c

В выражениях (31) первые слагаемые имеют убывающую амплитуду с ростом координаты х, а вторые – увеличивающуюся амплитуду при том же росте х. Так как оба слагаемых могут рассматриваться как

бегущие волны, то первые слагаемые характеризуют прямобегущую волну, а вторые – обратнобегущую волну. Сведем данные по прямобегущей и обратнобегущей волне в табл. 1.

Таблица 1

Прямобегущая волна	Обратнобегущая волна
(напряжения и тока)	(напряжения и тока)

i(x,t)	2 A1		i(x,t)	2 A2
	Z c			Z c
e x sin( t x		)	e x sin( t x		2	)
		1			2

u(x,t)	2 A e x sin( t x )		u(x,t)	2 A e x sin( t x	2	)
	1	1		1	2

В табл. 1:
u(x,t)	2 A e x sin( t x				2	)–	прямобегущая волна	напря-
жения;	1				2
жения;
i(x,t)	2 A1		e x sin( t x			) – прямобегущая волна тока;
i(x,t)			e x sin( t x			) – прямобегущая волна тока;
	Z c				1
	Z c
i(x,t)	2A1	e x sin( t x )					– обратнобегущая	волна
i(x,t)		e x sin( t x )					– обратнобегущая	волна
	1
напряжения,	Z c
напряжения,
i(x,t)	2 A2			e x sin( t x 2 )			– обратнобегущая волна тока.
i(x,t)				e x sin( t x 2 )			– обратнобегущая волна тока.
	Z c

Прямо- и обратнобегущие волны

Прямобегущую волну тока (напряжения) называют падающей волной, а обратнобегущую волну – отраженной. Если учесть знаки у падающей и отраженной волны (31), то будем иметь

U	U	пад U отр, I I пад I отр.	(32)

Следует иметь в виду, что представление электромагнитных процессов в длинной линии в виде падающих и отраженных волн облегчает теоретическое изучение длинных линий в установившихся режимах и является удобным математическим приемом. На самом деле в линии существуют только результирующие токи и напряжение.

6. КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ ВОЛНЫ

Ранее было показано, что практически при любом сопротивлении нагрузки в конце линии в ней возникает отраженная волна. Это обстоятельство можно учесть, если вести некоторый комплексный коэффициент отражения χ. Коэффициент отражения определим в виде отношения комплексов напряжения или тока в любой точке линии:

	U об	I об		U 2 I2Z c	e 2 x	Z н Z c	e 2 x.
		I пр
U пр			U 2 I2Z c			Z н Z c

Отсутствие обратной волны является преимуществом такой длинной линии, так как вся мощность от начала линии переносится к ее концу и целиком поглощается в нагрузке. Если в линии присутствуют обе волны, то часть мощности, переносимая прямой волной, возвращается к источнику. Поэтому КПД линии (с точки зрения нагрузки) становится ниже.

7. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ

Фазовая скорость – это скорость перемещения фазы колебания, которая при росте координаты х и времени остается постоянной. Из определения следует:

t x 1 const, t ( t x 1) v,

(33)

xt 0, v 0, v .

Длина волны

Длина волны – расстояние между двумя ближайшими точками в направлении распространения волны, фаза которых отличаются на 2π. Тогда

t x 1 t (x ) 1 2 ,
0 2	2 .	(34)

Определим фазовую скорость

v	2 f	2	.	(35)
		T 2
			T

Таким образом, длина волны и фазовая скорость найдутся из соотношений

v		,		2 .	(36)
	T

Анализ соотношения (36) позволяет отметить, что длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное периоду, т. е.

vT.

8.УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Пусть задана некоторая линия, и в начале линии при х = 0 задано значение тока I1 и напряжения U1. Запишем основные уравнения

длинной линии:

U (x) A e x A e x ,
		1		2

				(37)
	1
I (x)			(A e x A e x ).
	Z
		c	2	1

Из системы (37) следует, что при х = 0,

U				A			A				,
		1				1				2
			Z				A		A .
I	1				c			2
											1

Выразим из системы (38) коэффициенты A1 и A2:

A2 U1 2I1Z c ; A1 U1 2I1Z c .

Подставим уравнения (39) и (40) в систему (37):

U (x)

U1 I1Z c

e x

1 I1Z c

e x

e x e x I

e x e x

U ch x I

sh x;

I (x)

Z с

I1Z c

Zс

ch x

sh x.

Z c

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

Из уравнений (41) и (42) следует, что основными уравнениями длинной линии в гиперболических функциях при отчете х от начала линии являются

U (x)	U	1ch x I1Z csh x,
					(43)
			U	1	(43)
I (x) I1ch x			U		sh x.

			Z
			Z		c

При решении задач иногда бывает удобнее использовать величины в конце линии (т. е. на нагрузке). В этом случае вводят новую пере-

менную x – x . После несложных преобразований получим

При анализе системы (44) нетрудно заметить, что структура уравнений при отчете расстояния от конца линии осталась практически неизменной, за исключением знака вторых слагаемых и значений тока

инапряжения.

9.ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ДЛИННОЙ ЛИНИИ

Под входным сопротивлением линии понимают такое сосредоточенное ее сопротивление, которым по отношению к входным зажимам эквивалентно можно заменить всю линию вместе с нагрузкой:

Входное сопротивление линии может быть рассчитано через ее параметры и сопротивление нагрузки. Для этого воспользуемся уравнениями системы (44). Поделив первое уравнение системы (44) на второе, при х , получим

вх

2ch I 2Z csh

I 2ch

I 2ch (Z 2

Z сth )

Z Ccth

(Z 2

Z сth )

(46)

I 2sh

(Z 2

Z сcth )

(Z2

Zсcth )

Z с

10. ЛИНИЯ С СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКОЙ

Линией с согласованной нагрузкой называется такая линия, которая работает на сопротивление нагрузки, равное волновому. Таким образом, условием согласования линии является

Z 2 Zс.

Для изучения процессов в длинной линии с согласованной нагрузкой воспользуемся системой уравнений

Перепишем систему уравнений (47) с учетом того, что

В результате получим систему

U (x) U
			(ch x		sh x ),
		2


I (x) I	2	(ch x		sh x ).

Упростим систему (48), при этом учтем, что

ch x sh x e x e x	e x e x	e x .
2	2

В результате получим систему

U (x) U 2e x ,

I (x) I 2e x

U 2 Z с. Z 2

(48)

(49)

Преобразуем уравнения системы (49), подставив в уравнения значение x x, тогда получим

( x)

(x)

( x)

(50)

I 2e

I (x) I 2e

Учитывая, что в системе (50) U 2e U1, а

U (x) U1e x ,

I (x) I1e x .

I 2e I1, будем иметь

(51)

В системе (51) х отсчитывается от начала линии. Полученные выражения говорят о том, что в линии с согласованной нагрузкой отсутствуют отраженные волны напряжения и тока, т. е. падающие волны напряжения и тока целиком без отражения поглощаются нагрузкой. Отметим, что в линии с согласованной нагрузкой отношение напряжения к току есть величина, не зависящая от х:

Z 2

Z с Z вх.

(52)

I 2

В линии с согласованной нагрузкой входное сопротивление Z вх равно сопротивлению нагрузки или волновому сопротивлению.

11. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ

Для телеграфных линий и линий связи, линий передачи данных (информационных линий) весьма важно, чтобы формы кривых тока и напряжения в начале и в конце линии с высокой точностью повторяли друг друга, например, как показано на рис. 4 и 5.

U(t)

а	б
Рис. 4. Напряжение в начале (а) и конце (б) линии
i	t

	i		t
	i


а		б
Рис. 5. Ток в начале (а) и конце (б) линии

Очевидно, для того чтобы сигнал не искажался, необходимо выполнение следующих условий.

1. Все гармонические составляющие тока и напряжения должны иметь одинаковые коэффициенты затухания, т. е. необходимо, чтобы коэффициент β не зависел от частоты ( f ( )).

2. Все гармонические составляющие должны распространяться вдоль линии с одинаковой скоростью v f ( ).

Покажем, что погонные параметры однородной линии r0, L0, g0, c0 могут быть подобраны таким образом, чтобы выполнялись условия v f ( ), f ( ).

Коэффициент распространения имеет вид

(R0 j L0)(g0 j C0).

(53)

Преобразуем выражение (53). Вынесем из под корня (g0 j C0). Тогда получим

(g			0	j C	)			(R0 j L0)
(g				j C	)
				0				(g		0	j C		)
										0		0
					R0
										j
							L			j			L
(g	0	j C )					g		0				0	.	(54)
(g		j C )											C	.	(54)
				0					0				C
									0	j			0
						C				j
									0

Пусть в рассматриваемой линии выполняются условия

R0	g0		.	(55)
L
	C	0
0

Если с учетом условия (55) проанализировать уравнение (54), то получим

g0		L0	;	(56)
		C
	0
	L0C0 .			(57)

Анализ выражений (56) и (57) говорит о том, что коэффициент затухания и фазовая скорость не зависят от частоты. Следовательно,

R0		g0	(58)
L		C

0	0

есть условие обеспечения работы линии в неискажающем режиме.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]