Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами. Учебное пособие

тогда

j (r0 j L0)(g0 j C0

(38,4 j5026,5481 88,4 10 4)(0,05 10 6 j5026,5481 5,12 10 9

(58,728 49,17 )(25,736 10 6 88,889 )

1511,4238 10 6 138,059 13,91 10 3 j36,3 10 3.

Отсюда коэффициент затухания 13,91 10 3Нп/км , а коэффици-

ент фазы 36,3 10 3 рад/км.

Отыщем напряжение на нагрузке. Для этого воспользуемся первым уравнением системы (83):

Учитывая, что I 2 U 2 /Z н , перепишем уравнение (П1.1) в виде

Из уравнения (П1.2) найдем напряжение U2 . В уравнение (П1.2)

входят гиперболические функции от комплексного аргумента. Для их расчета воспользуемся соотношениями:

sh sh( j ) sh сos jch sin ,

ch ch( j ) ch сos jsh sin .

Аргумент гиперболических функций

( j ) (13,91 j36,3)10 3 38 0,807 j1,379.

Тогда

sh sh(0,807 j1,379) sh0,807 сos1,379 jch0,807sin1,379

1,329 82 ,

42

ch ch(0,807 j1,379) ch0,807 сos1,379 jsh0,807sin1,379

1,406 j0,968 0,917 73 .

Подставив полученные значения гиперболических функций Z c , Z н в (П1.3), будем иметь

Ток в начале линии найдем из второго уравнения системы (83):

Подставив в уравнение (П1.5) найденное напряжение U2 , полу-

43

Определим активную мощность на входе линии:

Найдем коэффициент полезного действия линии:

Р2 12,64 0,255. Р1 49,65

Коэффициент полезного действия линии составляет 25,5 %.

P1 49,65мВт, P2 12,64мВт, 25,5%.

Задача 2. Воздушная линия без потерь с волновым сопротивлением 300 Ом нагружена на реактивную нагрузку L2 = 2 мГн. Длина вол-

ны этой линии λ = 60 м.

Определить зависимости u(x,t),i(x,t), а также координаты бли-

жайших от конца линии точек, в которых имеют место максимумы напряжения и тока.

Решение

Запишем основные уравнения линии без потерь:

U (x) U 2 cos x jI 2Z c sin x,

44

Найдем сопротивление нагрузки Z2 j L2 jx2. Перепишем уравнение (П1.6) с учетом того, что I 2 U 2 / Z 2 U 2 / jx2 . Тогда получим

Пусть начальная фаза выходного напряжения равна нулю. Тогда при индуктивном характере нагрузки ток отстает от напряжения на угол 90º, или

I 2 jI2 I2 90 .

Запишем выражения (П1.9) в мгновенной форме:

45

Отметим, что в выражении (П1.10) есть уравнения стоячих волн,

т. е. в линии существуют точки, в которых имеют место пучности напряжения. Для таких точек справедливо тождество

Um cos( x )sin t Um .

Следовательно, cos( x ) 1, а ( x ) 2 n . При этом n прини-

мает значения n = 0, 1, 2, 3… Координата ближайшей от конца линии пучности напряжения отыскивается при n = 0, т. е.

Подставим в (П1.11) цифровые данные:

Определим угловую частоту ω. Для линии без потерь фазовая скорость равна скорости света

В результате координата ближайшей пучности напряжения от конца линии будет равна

46

Для точек линии, в которых наблюдаются пучности тока,

Im sin( x )cos t 1.

Следовательно, x (4n 1)2.

Тогда координаты пучностей тока от конца линии будут определяться как

x2 (4n 1) .

2

Координата ближайшей пучности тока от конца линии будет равна

(n = 0)

x2 2 x1 4.

В результате будем иметь

x2 2 x1 4 4,58 604 19,58м Ответ: x1 = 4,58 м; х2 = 19,58 м.

П2. Переходные режимы

0,5 10 3 c после включения линии. Построить графики изменения напряжения и тока вдоль линии для этого момента времени.

Решение

Определим время, за которое волна пройдет всю линию:

47

Так как время прохождения волнами тока и напряжения всей линии меньше заданного в условии задачи, то волны дойдут до конца линии и отразятся от нагрузки. Время, за которое отраженные волны дойдут до исследуемой точки:

t2 t1 t0 0,5 10 3 0,3 10 3 0,2 10 3 c.

За это время отраженные волны пройдут расстояние

( х) t2 c0 0,2 10 33 105 60 км.

Отсюда следует, что при длине линии 90 км отраженные волны пройдут 2/3 ее длины. Значит, на этом участке, в том числе и середине длины линии, напряжение и ток будут представлять собой сумму падающей и отраженной волны. На участке 1/3 длины линии от ее начала будут, естественно, только падающие волны. Найдем ток и напряжение в конце линии (а значит, и в нагрузке):

На основании закона Ома для падающих и отраженных волн запишем:

48

Уравнению (П2.7) можно сопоставить схему (E 2uпад), рис. П2.1.

Рис. П2.1.Схема включения линии

Так как в полученной схеме существуют только активные сопротивления, то в переходном режиме ток определится как

49

Таким образом, на участке длиной от нуля до 1/3 длины линии бу-

дут существовать при t 0,5 10 3 только падающие волны напряжения и тока:

На участке от /3 х напряжение и ток будут определяться суммой прямой (падающей) и отраженной волны:

u uпад uотр 6,6 4,4 2,2кВ,

(П2.14)

i iпад iотр 13,2 8,8 22А.

Изобразим графики изменения u(x) и i(x) для момента времени t 0,5 10 3 с (рис. П2.2 и П2.3).

50