Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами. Учебное пособие

18. ЛИНИЯ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК

Линия в целом вместе с нагрузкой эквивалентно может быть заменена симметричным четырехполюсником, представленным различными схемами замещения с сосредоточенными параметрами.

Такой подход существенно упрощает анализ работы длинных линий и позволяет моделировать электромагнитные процессы в линиях с помощью достаточно простых соотношений.

Запишем уравнения однородной линии длиной в гиперболических функциях:

Это позволяет сделать вывод, что уравнения (83) с коэффициентами (85) характеризуют симметричный четырехполюсник. Таким образом, уравнения (83) являются уравнениями симметричного пассивного четырехполюсника.

Известно, что четырехполюсник можно реализовать в виде Т-образной или П-образной схемы замещения (рис. 11 и 12).

Сопротивления для Т-образной эквивалентной схемы замещения представляются в следующем виде:

31

изменения электрических и магнитных полей, возникающих при грозовых разрядах. Для анализа переходных процессов в цепях с распределенными параметрами воспользуемся системой дифференциальных уравнений (7):

пределения напряжения прямой и обратной волны в момент времени, равный нулю.

Рассмотрим прямую волну напряжения и определим зависимость этой волны от времени и координаты х. Пусть в некоторый момент

времени (t t1) распределение напряжения вдоль линии описывается выражением

33

Тогда в момент времени t t1 t будем иметь

Таким образом, uпр описывает напряжение волны, движущейся со

скоростью с в сторону увеличения длины линии. Такую волну часто называют падающей.

Точку линии, координата которой совпадает с выражением uпр = 0 при х xф и uпр 0 при хф х, называют фронтом прямой волны.

Рассмотрев вторую половину уравнения (90) и записав его в виде

можно заключить, что выражение (94) характеризует напряжение обратной волны, движущейся в сторону убывания координаты х. Такую волну называют отраженной. Координата фронта обратной волны

определяется выражением uоб = 0 при х xф и uоб 0 при х xф .

Таким образом, в любой момент времени ток и напряжение в линии нужно рассматривать как сумму токов и напряжений двух волн (падающей и отраженной). При анализе распространения волн необходимо учитывать особенности линии, например, если существует узел подключения к другой линии, имеющей свои параметры, отличающиеся от первой. Тогда падающая на узел волна распадается на две: одна проходит из первой линии во вторую, а другая отражается от места соединения. В этом случае существуют три волны: падающая, отраженная и преломленная (или проходящая).

34

20. ВОЛНЫ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ФРОНТОМ

Рассмотрим двухпроводную линию, которая в момент времени t = 0 подключается к идеальному источнику постоянного напряжения. Пусть

напряжение источника равно U0 . Представим линию как бесконечное

множество элементарных элементов, включенных последовательно. После подключения линии к источнику в ней возникает прямая волна

напряжением U0 , которая последовательно заряжает элементы линии до напряжения U0 . Рассмотрим качественно процесс распространения волны. Изображение двухпроводной линии показано на рис. 13.

Рис. 13. Отрезок двухпроводной линии постоянного тока

Допустим, что c момента включения волна через некоторое время t достигла сечения [ав]. В процессе зарядки на верхнем проводе будет

накапливаться положительный заряд величиной q0 C0U0 на едини-

цу длины линии до сечения [ав], за которым уже заряда нет. За время dt волна переместится за сечение [ав] на расстояние dx, при этом

элемент линии получит заряд dq q0dx C0U0dx . Таким образом, рас-

пространение заряда создаст ток в верхнем проводе величиной i = = dq/dt или i q0dx /dt C0U0c . Здесь с – скорость распространения

волны. Естественно, на втором проводе линии будет накапливаться аналогичный противоположный по знаку заряд, который создаст такой же по величине ток, но направленный в сторону источника (см. рис. 13). Противоположные по знаку заряды на проводах создадут электрическое поле между проводами линии на всем участке линии, по которому уже прошла волна. Появление электрического поля у переднего фронта волны вызывает возникновение тока смещения между за-

35

ряжаемыми элементами, т. е. возникает замкнутая электрическая цепь. В этой цепи появляется магнитный поток, силовые линии которого лежат в плоскости, перпендикулярной направлению движения волны (рис. 13), и при перемещении волны на отрезок длиной dx = cdt магнитный поток увеличится. Этот поток будет равен

Появившийся в контуре авсd и изменяющийся во времени магнитный поток наведет в этом контуре ЭДС

направленную против приложенного к линии напряжения.

В результате при подключении линии к источнику постоянного напряжения в ней возникает волна, имеющая прямоугольную форму, т. е.

Рассмотренный выше случай возникновения волн с прямоугольным фронтом относится к подключению линии на идеальный источник питания.

Если же источник имеет некоторое внутреннее сопротивление, то и ток и напряжения бегущих и отраженных волн будут меньше:

36

21. РЕЖИМ ВКЛЮЧЕНИЯ НАГРУЗКИ

Волны прямоугольной формы могут возникать в случае подключения заряженной линии к активной нагрузке. Пусть линия с волновым

сопротивлением Zc , заряженная до напряжения U0 , подключается к нагрузке с сопротивлением R0 ,как показано на рис. 14.

Рис. 14. Подключение заряженной линии к нагрузке R0

Если в момент времени, соответствующий t = 0, к концу рассматриваемой линии подключается сопротивление R0 , то в конце линии

возникает обратная волна, которая движется к началу линии. Напряжение и ток этой волны найдем из уравнений для самой вол-

ны и нагрузки R0 . Так, на основании закона Ома с учетом того, что iпр 0, можно записать:

Найдем из уравнения (102) с учетом (101) ток обратной волны:

Подставив в выражение (101) значение тока обратной волны (103), найдем напряжение

37

Переходный процесс в линии необходимо рассматривать как сумму предыдущего режима и возникающей волны при отключении источника. Тогда ток и напряжение в линии определятся как

i iпр Iн 0, u Uн uпр Uн izc.

На рис. 17, 18 и 19 представлены качественно волновые процессы, возникающие в двухпроводной линии постоянного тока при отключении ее от источника.

40