Статистическая теория радиотехнических систем. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ошибки, получим

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

936 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

i l,

(2.19)

i l.

Подставляя (2.19) в (2.18) получим

kˆ argmin P Hi p x

Hi argmin

P Hi p x

Hi P Hl p x

i 1

i l

argmin P x P Hl p x

Hl argmaxP Hl p x

argmaxP x p Hl

x .

kˆ argmax p Hl

(2.20)

Алгоритм (2.20) называется алгоритмом максимума апостериорной вероятности (МАВ). Полученный алгоритм выбирает такую гипотезу Hl , которая имеет максимальную вероятность при условии, что принят сигнал x X . Средний риск в данном случае тождественно равен полной вероятности ошибки.

M M

R P Aij Pош

i 1 j 1 i j

Если дополнительно к условию (2.19) априорные вероятности

появления сигналов на выходе источника равны, т.е.						P Hl	1	то

получим алгоритм различения в виде							M

	kˆ argmaxP Hl p x		Hl argmax p x		Hl .	(2.20)

	l			l
p x	Hl - плотность	вероятности		наблюдаемого сигнала x, при

условии справедливости		гипотезы Hl .		Эту плотность часто называют

функцией или функционалом правдоподобия, а алгоритм (2.20) алгоритмом максимального правдоподобия (МП). Алгоритм МП выбирает ту гипотезу о переданном сигнале, которая обеспечивает максимум вероятности наблюдаемой реализации.

Все рассмотренные выше алгоритмы приема требуют для своей

реализации знания априорного распределения, т.е. P Hi i 1 M . Как и в

задаче обнаружения, отсутствие информации об априорном распределении приводит к ситуации, которая называется априорной проблемой. В задаче обнаружения эта проблема решалась с помощью критерия Неймана – Пирсона. К сожалению, обобщение критерия Неймана – Пирсона для задачи различения невозможно. Поэтому при решении задачи различения иногда используют критерий, который называют критерием минимакса. В рамках этого критерия алгоритм различения строится как минимум байесовского риска в худшем случае относительно априорного распределения, т.е.

	M			p x		.
kˆ argmin max		R P H			H		(2.21)
kˆ argmin max		R P H			H		(2.21)
l P Hk		ij	i		i
l P Hk
	i 1

Рассмотрим случай, когда различаемые сигналы имеют несколько неизвестных на приемной стороне параметров, являющихся случайными величинами λ 1, 2, , n . В этом случае сигнал на выходе источника можно записать в виде

si si t, 1, 2, , n .

В этом случае функционалы правдоподобия и апостериорной вероятности будут иметь неопределенные параметры p Hi x,λ p xHi,λ . Если имеется информация о вероятностных распределениях

неопределенных параметров, то соответствующие функционалы правдоподобия и апостериорной вероятности для построения оптимального алгоритма могут быть получены в следующем виде:

p Hi x p Hi x,λ P λ dλ ,

p xHi p xHi,λ P λ dλ ,

(2.22)

где P λ - функционал плотности вероятности вектора неопределенных параметров. В качестве неопределенных параметров в реальных радиотехнических системах часто фигурируют начальная фаза сигнала, амплитудный коэффициент, частотный сдвиг, временная задержка сигнала и т.д.

Пример 2.2.

Рассмотрим пример нахождения оптимального алгоритма различения дискретного сигнала, прошедшего канал с аддитивным гауссовым шумом. На входе канала присутствуют сигналы вида

t 0,T

s t

t 0,T

На выходе канала наблюдается сигнал

x t s1 t 1 s2 t n t .

где 1,

если справедлива гипотеза

H1 и 0 если справедлива

гипотеза H2 , n t - реализация квазибелого гауссовского шума.

На выходе дискретизатора (Рис.2.2.) наблюдаются отсчеты сигнала

x t

x x ,...x

, каждый из которых

xi s t i 1 s2 t i n t i A 1 A ni ,

где t

- интервал дискретизации,

F-

максимальная частота

i 1,...,n. В рассматриваемом

пропускания канала, ni

- отсчеты шума,

случае отсчеты шума независимы, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию 2. Функции плотности вероятности p xH1 и p xH2 могут быть представлены в виде

1 i n

p x

exp

2 xi

i 1

1 i n

p x

exp

2 xi

i 1

Алгоритм принятия решений, оптимальный по критерию

Котельникова имеет вид

p x

H1 p x

H2 ,

i n

s xi 0.

i 1

Устройство обработки для различения сигналов должно вычислить знак суммы наблюдаемых отсчетов сигнала.

Определим теперь характеристики качества полученного различителя, для случая равновероятных сигналов. Для этого вычислим pош в виде

	1	0		1
pош		p s	H1 ds		p s	H2 ds.

	2			2

					0

В соответствии с алгоритмом различения s является суммой гауссовых случайных величин. В случае, когда справедлива гипотеза H1 M s nA, D s n 2 , функция плотности вероятности имеет вид

	1			1			2

p s	H0		exp				s nA	.
					2n	2
		2 n 2

Если справедлива гипотеза H2			M s nA, D s n 2 , функция
плотности вероятности	1			1
							2

p s	H0		exp				s nA	.
					2n	2
		2 n 2

Подставляя полученные выражения в выражение для вероятности

Зависимость полной вероятности ошибки от отношения сигнал-шум различителя показана на Рис.2.5.

Рис.2.5. Зависимость pош от отношения сигнал-шум,

при 1) n 1, 2) n 5, 3) n 10.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оптимальное байесовское правило различения сигналов на приеме сводится к выбору гипотезы, минимизирующей функционал среднего риска. Правило максимума апостериорной вероятности является частным случаем байесовского правила различения при одинаковых значениях риска для неправильных решений и нулевых для правильных. Правило максимума правдоподобия дополнительно предполагает априорную равновероятность различаемых сигналов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что в СТРТС понимают под задачей различения сигналов?

2.Как формулируется задача различения сигналов в терминах задачи проверки статистических гипотез?

3.В чем суть алгоритма максимума апостериорной вероятности в задаче различения сигналов?

4.В каком случае алгоритм максимума апостериорной вероятности сводится к алгоритму максимального правдоподобия?

5.В каких случаях при решении задачи различения применяется алгоритм, основанный на критерии минимакса?

6.Что делать, если у различаемых сигналов некоторые параметры неизвестны?

ЛЕКЦИЯ №4. Алгоритмы и устройства оптимального обнаружения и различения сигналов на фоне БГШ. Оптимальный прием детерминированного сигнала. Структурная схема когерентного обнаружителя и различителя. Коррелятор и согласованный фильтр. Потенциальная помехоустойчивость когерентного обнаружителя.

2.3. АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.3.1. Обнаружение детерминированного сигнала

Рассмотрим задачу обнаружения полностью известного сигнала s t на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Эту задачу называют также задачей когерентного приема. В этом случае наблюдаемый сигнал

можно записать в виде

x t s t n t ,

где 1, если справедлива гипотеза H1 и 0 если справедлива гипотеза H0 , n t - реализация белого гауссовского шума. H1- гипотеза о наличии сигнала, H0 -гипотеза об отсутствии сигнала.

В соответствии с общим методом (2.4) для нахождения алгоритма обнаружения необходимо найти отношение правдоподобия x .

Найдем функционал плотности вероятности

p x

H0 ,

x L2 0,T . В

этом случае x t n t . Тогда

p x

H0 c exp

x2 t dt

(2.23)

где c- константа, а x- функция времени.

Найдем функционал плотности вероятности p x

H1 ,

x L2 0,T . В

этом случае x t s t n t . Тогда

p x

H1 c exp

x t s t

dt .

(2.24)

Отношение правдоподобия запишется в виде:

p x

x2 t 2x t s t

t dt

exp

t dt

p x

x t s t dt

s2 t dt

exp

Введем обозначения:

Es s2 t dt - энергия сигнала;

Z x t s t dt- скалярное произведение сигналов в L2 0,T , которое

будем называть также корреляционным интегралом.

Алгоритм обнаружения примет вид

	2Z Es	H1
x exp			,	(2.25)
	N0

где - порог, зависящий от выбранного критерия (2.4).

Так как функция exp - монотонная, то (2.25) можно записать в виде

H1	N0	ln	Es
Z				Z	0,	(2.26)
	2		2

Структурная схема аналогового приемника, соответствующего правилу (2.26) представлена на Рис.2.5. Поскольку приемник в процессе принятия решений вычисляет корреляционный интеграл, то он называется корреляционным приемником. Часть схемы до устройства сравнения, вычисляющая значение корреляционного интеграла называют также

коррелятором.

Рис.2.6. Структурная схема корреляционного приемника.

При реализации корреляционного приемника в виде аналогового устройства часто применяют другую схемную реализацию, в основе которой пассивная электрическая цепь – фильтр. Любой фильтр, у которой на входе сигнал x t , а на выходе сигнал y t может быть описан интегралом свертки


y t x h t d			(2.27)

где h t - импульсная характеристика фильтра.
Значение корреляционного интеграла Z можно сформировать как
отсчет в момент времени t T	на	выходе фильтра,	импульсная
характеристика которого h t s T	t .	Такой фильтр в	радиотехнике

называют согласованным фильтром (СФ).

Структурная схема обнаружителя на основе согласованного фильтра показана на следующем рисунке.

Рис.2.7. Структурная схема приемника.

Преимущества данной схемы заключается в том, что она не содержит активных элементов, а это преимущество при реализации в аналоговом виде.

С другой стороны недостаток данной схемы заключается в том, что при перестройке обнаружителя к другому виду сигнала необходим другой СФ. При реализации оптимального обнаружителя в виде цифрового устройства схема с согласованным фильтром полностью эквивалентна схеме с СФ.

СФ – устройство, часто применяемое в радиотехнике. Рассмотрим некоторые полезные свойства СФ:

1. Отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра для сигнала, с которым он согласован максимально возможное среди всех линейных фильтров.

Действительно пусть на входе фильтра наблюдается сигнал вида

s t n t ,	t 0,T	.
x t	t 0,T	.
0,	t 0,T

Мгновенная мощность сигнала на выходе СФ в момент времени t T

				2
				2
Ps	ys T	2	s t h T t dt	.

Найдем среднею мгновенную мощность шума на выходе СФ

							Pn M yn T																														2
																																					2
																			2						n t h T							t dt
																			2
																				M




						M									n t h T t n* t h* T t dt dt
																	1					1						2							2		1
																	1					1						2							2		1	2


						M n t1 n* t2 h T t1 h* T t2 dt1dt2


												N0				t2 t1 h T t1 h* T t2 dt1dt2
												2				t2 t1 h T t1 h* T t2 dt1dt2

									N
										0			h T t								2dt.
										0

2
2
	Отношение сигнал-шум на выходе СФ
																														2
																														2

													P						s t h T t dt
													P
														s																	.							(2.28)
														s
													Pn					N0
																								h T t					2dt


																			2
																			2

	Используя										известное													неравенство													Буняковского-Шварца
	x,y	2	x	2	y		2, получим
	x,y	2	x	2	y		2, получим

								P						h T t									2dt		s t		2dt						2E	s


									s																											.		(2.29)
																																				.		(2.29)
								Pn							N0																		N0
																					h T t					2dt

															2
															2

Максимальное значение отношения сигнал-шум на выходе СФ достигается только если h t qs T t , где q – константа.

2. Выигрыш в отношении сигнал-шум согласованного фильтра равен базе сигнала.

В соответствии с (2.29) отношение сигнал-шум на выходе СФ в случае, когда на входе сигнал с которым фильтр согласован

На входе СФ отношение сигнал-шум

Ps		Es 1
						.
	P	T	N	0	F	.
n вх				0

Выигрыш в отношении сигнал-шум согласованного фильтра


	Ps

		P
g	n вых		2FT .	(2.30)

Pn вх

3.Если на входе согласованного фильтра сигнал, с которым он

согласован, то на его выходе наблюдается автокорреляционная функция этого сигнала. Действительно


	y t x s T t d s s T t d .

	4. Передаточная функция согласованного фильтра имеет вид

	K j h t exp j t dt q s T t exp j t dt		(2.31)
			(2.31)

qs* j exp j T .

Рассмотрим теперь вопрос о потенциальной помехоустойчивости когерентного обнаружителя. Определим рабочую характеристику когерентного обнаружителя. Пусть справедлива гипотеза H0 . В этом случае значение корреляционного интеграла определяется в виде

Z n t s t dt,

где n t - это реализация белого гауссовского шума. Это означает, что Z - гауссовская случайная величина, для описания которой необходимо знать только ее математическое ожидание и дисперсию. Найдем эти характеристики:

M Z M n t s t dt 0,

			0
				TT
					n t1 n t	2 s t1 s t
D Z M Z M Z 2 M					n t1 n t	2 s t1 s t	2 dt1dt2
								(2.32)
T	N0		N0Es	0 0				(2.32)
T		s2 t dt
				.
	2		2	.
0	2		2
0

Т.о.

p Z	H0		1
			1

			N	0	E	s
			N		E
		2
		2		2
				2

	1	Z	2
	1	Z
exp				.
exp	2	N0Es		.
	2	N0Es

		2
		2

Вероятность ложной тревоги определим как

pлт p Z

H0 dz

dt 1 erf

2Z0

N0Es

где h Z0 - модифицированный порог.

N0Es

Пусть теперь справедлива гипотеза H1. Тогда

1 erf h ,

(2.33)

Z s t n t s t dt .

Т.к. s t - детерминированный сигнал, то Z - гауссовская случайная величина, для которой

M Z s2 t dt Es,

D Z N0Es .

								Z Es 2
									N0Es
									N0Es
p Z \| H1		1						2
								2
							e		2 .
			N		E		e		2 .
				0		s

	2
	2			2
				2

Вероятность пропуска цели

Z0 Es

N0Es

Z0					t2
Z0		2	1		t2
рпц p Z	H1 dz

					2
					2
				e		dt erf	h
			2				h
			2

2Es erf h q ,

(2.34)

где q 2Es - коэффициент различимости.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]