Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум. Учебное пособие

а) ошибки не коррелированны. Значения СКО задать равными σηi = δi fi , i = 1,..., N ; δi = 0.01,0.05,0.01.

Матрица ковариации в этом случае будет диагональной

Vη = diag (σ2η1 ...,σ2ηN ) .

б) ошибки коррелированны. В этом случае вектор ошибок вычисляется по формуле η =Vη1/2ξ, где Vη - заданная

матрица ковариации; ξ - вектор, проекции которого

состоят из нормальных случайных величин с единичной дисперсией и нулевым средним.

4. Задать ограничения на вектор f вида (2.31) и вычислить

матрицу V η по формуле (2.32).

5. Представить матрицу ковариации ошибок V η в форме

6. Вычислить решение системы по формуле (2.48) и погрешность

αk = αk−1 10. Значения параметра γ выбрать эмпирически.

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи.

31

Практическое занятие №3

Алгоритмы выбора параметра регуляризации

§3.1. Выбор параметра регуляризации на основе критерия оптимальности

Рассмотрим систему уравнений

32

(регуляризация первого порядка).

Рассмотрим вектор невязки eα = f − Kϕα = E (α ) fɶ ,

где Vfɶ - матрица ковариации вектора правой части

Vf = M[ f f T ].

Вкачестве αopt возьмем такое значение αW , при котором принимается основная статистическая гипотеза:

33

Подставляя (3.4) в (3.7), получим

ρW (α ) = fɶT Vη−1eα или

ρW (α ) = fɶT (Vη +α −1KWϕ−1KT )−1 fɶ . (3.8) Введем параметр γ =1/α. Тогда выражение (3.9) примет вид

распределению с N степенями свободы. Тогда проверка гипотезы (3.6) сводится к проверке предположения: подчиняется

ли величина ρW (γ ) χ2 -распределению с N степенями свободы.

Для этого построим интервал

то гипотеза (3.6) может быть принята с вероятностью ошибки первого рода, равной β . Следовательно, значение αW , при

котором выполняется (3.11), является оценкой для αopt .

34

с начальным значением γ (0) 10−15 . В качестве γW принимается значение γ (n) , удовлетворяющее (3.12). Заметим, что эта процедура решает нелинейное уравнение ρW (γ ) = N , но момент

останова определяется условием (3.12).

Замечание. Для вычисления статистики (3.9) необходимо вычислять обратную матрицу (Vη + γ KWϕ−1KT )−1 , что приводит к увеличению трудоемкости вычислений. Чтобы этого избежать, запишем статистику ρW (γ ) в форме ρW (γ ) = f T qγ , где вектор qγ является решением системы

В формуле (3.14) используется производная ρW′ (γ ) , равная

ρW′ (γ ) = f T qγ′ , где вектор qγ′ является решением системы уравнений

35

(Vη + γ KWϕ−1KT ) (KWϕ−1KT )−1 q′ = −qγ . (3.15).

Задание 3.1.

Для построенного регуляризованного решения в лабораторной работе №2 при неполной информации (см. задание 2.3 в работе №2) вычислить:

1)параметр регуляризации αW ;

2)регуляризованное решение ϕαW ;

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи

§3.2. Алгоритм выбора параметра регуляризации с использованием SVD-разложения на основе критерия оптимальности

допуская при этом, что сингулярные числа λj упорядочены по убыванию, т.е. λj ≥ λj+1 и λj = 0, j = p +1,...,M , где p – ранг

(или практический ранг) матрицы системы;

• регуляризированное решение ϕα представимо в виде:

36

37

с начальным значением γ (0) 10−15 . В качестве γW принимается значение γ (n) , удовлетворяющее условию

Задание 3.2.

Для построенного регуляризованного решения в лабораторной работе №2 при неполной информации (см. задание 2.4 в работе №2) используя SVD-разложение, вычислить:

1)параметр регуляризации αW ;

2)регуляризованное решение ϕαW ;

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи

§3.3. Алгоритм выбора параметра регуляризации основе статистического принципа невязки

Для вычисления значения αV проверяется статическая гипотеза

38

Для проверки (3.27) введем статистику ρV (α) = eαTVη−1eα .

Здесь eα = f − Kϕα - вектор невязки. Учитывая, что ϕα = (KTVη−1K + αWϕ )−1 KTVη−1 fɶ , получим:

eα = f − Kϕα = fɶ − K (KTVη−1K + αWϕ )−1 KTVη−1 fɶ = (3.28) =Vη (Vη + α−1KWϕ−1KT )−1 f

Тогда выражение для статистики примет вид:

ρV (α) = eαTVη−1eα =

= f T (Vη +α−1KWϕ−1KT )−1Vη (Vη +α−1KWϕ−1KT )−1 f

Введем γ =1/α , получим

ρV (γ ) = f T (Vη +γ KWϕ−1KT )−1Vη (Vη +γ KWϕ−1KT )−1 f .(3.29)

где

39

с начальным условиемγ (0) 10−15 .

Итерационный процесс завершаем при выполнении условия

Задание 3.3.

Для построенного регуляризованного решения в лабораторной работе №2 при неполной информации (см. задание 4 в работе №2) вычислить:

1)параметр регуляризации αV ;

2)регуляризованное решение ϕαV ;

3) ошибку решения ∆α j = bα j + Vξα jj , j = 1,...,M .

40