Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум. Учебное пособие

где η - вектор ошибки, вычисляемый с помощью нормального датчика случайных чисел для двух случаев:

а) ошибки не коррелированны. Значения СКО задать равными σηi = δi fi , i =1,..., N ; δi = 0.01,0.05,0.01.

Матрица ковариации в этом случае будет диагональной

Vη = diag (σ2η1 ...,σ2ηN ) .

б) ошибки коррелированны. В этом случае вектор ошибок вычисляется по формуле η =Vη1/2ξ, где Vη - заданная

матрица ковариации; ξ - вектор, проекции которого

состоят из нормальных случайных величин с единичной дисперсией и нулевым средним.

4. Вычислить решение по формуле (2.10) и вектор ошибки (2.24).

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи.

§2.3. Построение регуляризованного решения при неполной информации

В ситуациях, когда отсутствует априорная информация о числовых характеристиках решения и шума, сглаживающий функционал имеет вид

В этом случае вектор ϕα , доставляющий минимум функционалу (2.25), является решением системы

21

(KTWf K +αWϕ )ϕα = KTWf fɶ +αWϕωϕ , (2.26)

состоящей из M уравнений относительно M неизвестных.

Здесь α > 0 параметр регуляризации, ωϕ - пробное решение. Параметр регуляризации является неизвестной величиной.

Метод рандомизации. Допустим, что априори известно о принадлежности искомого решения ϕ гиперпрямоугольнику,

определяемому неравенствами

являющимися детерминированными ограничениями. Метод рандомизации позволяет интерпретировать детерминированные ограничения в терминах числовых характеристик некоторых вероятностных распределений (чаще всего нормального

распределения). Первые два момента mϕ , Vϕ нормального

распределения N (mϕ ,Vϕ ) определяется таким образом, чтобы

случайный вектор, подчиняющийся этому распределению с вероятностью β попадал в гиперпрямоугольник (2.27).

Математическое ожидание mϕ такого вектора определяется как

а корреляционная матрица Vϕ является диагональной и вычисляется по формуле

22

где Dp – матрица, являющаяся дискретным аналогом оператора

Если решение ищется на множестве векторов с ограниченной нормой, для которых отсутствует взаимосвязь между «соседними» проекциями, то целесообразно использовать единичную матрицу либо диагональную матрицу вида (2.29), в

этом случае Wϕ =Vϕ−1 и это будет соответствовать регуляризации нулевого порядка.

Вернемся к вектору ωϕ , входящему в функционал (2.25) и названному «пробным» решением. При наличии априорной

информации вида (2.27) его можно задать как ωϕ = mϕ , где mϕ определяется выражением (2.28). При отсутствии такой информации традиционным заданием является ωϕ = 0M .

Матрицу Wf рекомендуется задавать с точностью до константы равной обратной матрицы Vη−1 , т.е.

24

где константа Cf > 0 . При наличии информации вида (31) матрицу Vη можно определить соотношением (2.32). При

отсутствии информации о числовых характеристик погрешностей ηi матрицу Wf можно задать диагональной.

Ненулевые элементы такой матрицы интерпретируются как

весовые множители, определяющие значимость (или информативность) соответствующих проекций вектора правой

части fɶ .

В предельном случае (соответствующем отсутствию информации об искомом решении и шуме измерения) матрицы Wf и Wϕ задаются единичными, т.е.

Ошибка решения ϕα .

Определим ошибку решения ϕα , определяемым вектором (2.26)

εα = ϕα −ϕ + ,

где ϕ + – нормальное псевдорешение системы Kϕ = f при точной правой части f , т.е. ϕ+ = (KTWf K)−1 KTWf f . Как и

Систематическая ошибка bα имеет вид

bα = α (KTWf K + αWϕ )−1 Wϕ (ωϕ − ϕ + ).(2.39)

25

Вектор

является случайным вектором с нулевым средним и определяется выражением

Задание 2.3.

1. Задать матрицу системы K , вектор решения ϕ , ограничения на вектор ϕ вида (2.27).

правую часть f .

4. Внести шум в правую часть, т.е. вычислить вектор

f = f + η,

26

где η - вектор ошибки, вычисляемый с помощью нормального датчика случайных чисел для двух случаев:

а) ошибки не коррелированны. Значения СКО задать равными σηi = δi fi , i =1,...,N ; δi = 0.01,0.05,0.01.

Матрица ковариации в этом случае будет диагональной

Vη = diag (σ2η1 ...,σ2ηN ) .

б) ошибки коррелированны. В этом случае вектор ошибок вычисляется по формуле η =Vη1/2ξ, где Vη - заданная

матрица ковариации; ξ - вектор, проекции которого

состоят из нормальных случайных величин с единичной дисперсией и нулевым средним.

5. Задать ограничения на вектор f вида (2.31) и вычислить

матрицу V η по формуле (2.32).

6. Вычислить решение системы (2.26) и погрешность по формуле

(2.43) для следующих вариантов:

а) Wf = I, Wϕ = I, ωϕ = 0, для различных значений

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи.

§2.4. Регуляризирующий SVD-алгоритм

Обратимся к системе уравнений (2.26) и вычислим решение этой системы, используя сингулярное разложение.

27

Предположим, что матрица Wf неотрицательно определена, симметрична и допускает представление

непосредственно следует матричное представление решения ϕα :

диагональная матрица размера p × p следующей структуры:

28

Функция m(λ) является неубывающей функцией, например

регуляризации нулевого порядка. Чем больше значение γ , тем в большей степени проекции вектора ϕα взаимосвязаны между

собой. Это обусловлено тем, что векторы vj , соответствующие малым λ j и имеющие осциллирующие проекции, не войдут в

решение ϕα из-за пренебрежимо малого значения множителя

λj . λj2 +αm(λj )

29

Точность решения оценим как и ранее вектором

εα = ϕα − ϕ+ , который можно представить как

εα = ξα + bα .

Тогда полная погрешность вычисляется по формуле

Задание 2.4.

1.Задать матрицу системы K , вектор решения ϕ .

2.Для заданной матрицы K и вектора решения ϕ вычислить

правую часть f .

3 Внести шум в правую часть, т.е. вычислить вектор

f = f + η,

где η - вектор ошибки, вычисляемый с помощью нормального датчика случайных чисел для двух случаев:

30