Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум. Учебное пособие

Действительно

1.103 103 ≤ cond(K) 3.232 10−3 = 4.609 103 .

Задание 1.2.

Вычислить нормальное решение с помощью обратной матрицы по формуле (1.4) для точной и зашумленной правой части и сравнить с решением, полученным SVD – алгоритмом.

Решение. Два обращения к Ps_Solve показаны на рис. 1.3.

12

Рис 1.3. Построение нормальных псевдорешений

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, построить нормальное псевдорешение для этой задачи.

13

Практическое занятие №2

Построение регуляризованного решения СЛАУ

§2.1. Байесовский регуляризирующий алгоритм

Исходной информацией являются:

•априорное распределение p(ϕ ) искомого вектора

математическое ожидание и матрица ковариаций;

•условное распределение p( fɶ ϕ ) , характеризующее

z − mz V2z−1= (z − mz )T Vz−1 (z − mz ) .

Байесовское регуляризированное решение находится из системы линейных алгебраических уравнений

14

а, следовательно, доставляет минимум функционалу

регуляризированного решения при следующих предположениях:

коррелированны между собой. Определим вектор ошибки решения как

Ошибка может быть представлена в следующем виде:

εБ = (KTVη−1K +Vϕ−1 )−1 (KTVη−1 (Kϕ +η) +Vϕ−1mϕ ) −

Математическое ожидание M [εБ ] равно:

M [εБ ] = bБ = (KTVη−1K +Vϕ−1 )−1Vϕ−1 (mϕ − Mϕ [ϕ]) . (2.6)

15

Вектор «полной» ошибки байесовского решения можно записать в виде:

Задание 2.1.

1.Задать матрицу системы K , вектор решения ϕ , среднее значение mϕ и матрицу ковариации Vϕ .

2.Для заданной матрицы K и вектора решения ϕ вычислить

правую часть f .

3. Внести шум в правую часть, т.е. вычислить вектор

f = f + η, где η - вектор ошибки, вычисляемый с помощью нормального датчика случайных чисел для двух случаев:

а) ошибки не коррелированны. Значения СКО задать равными σηi = δi fi , i =1,..., N ; δi = 0.01,0.05,0.01.

Матрица ковариации в этом случае будет диагональной

Vη = diag (σ2η1 ...,σ2ηN ).

б) ошибки коррелированны. В этом случае вектор ошибок вычисляется по формуле

η =Vη1/2ξ,

где Vη - заданная матрица ковариации; ξ - вектор, проекции

которого состоят из нормальных случайных величин с единичной дисперсией и нулевым средним.

4. Вычислить решение по формуле (2.1) и вектор ошибки (2.9).

16

Примечание. При наличии научной задачи магистранта, которую можно свести к системе линейных уравнений, провести исследования этой задачи.

§2.2. Оптимальный регуляризирующий SVD-алгоритм

Регуляризированное решение запишем в виде

17

столбец матрицы V и U соответственно; p – ранг матрицы K.

Матрица ковариации Vη представлена в виде

Очевидно, от величины регуляризирующих множителей зависит ошибка решения ϕR , которую определим функционалом

условия минимума функционала ∆(R) . Дифференцируя (2.15) по qj и приравнивая производную нулю, получаем оптимальное

значение

σ 2

qоптj = ( +η)2 , j =1,2,..., p . (2.16) xj

Оптимальное решение ϕопт , построение при qj = qопт j имеет следующее SVD-представление:

18

Точность построенного решения определим вектором ошибки

εопт = ϕопт −ϕ +

εопт = ϕопт −ϕопт +ϕопт −ϕ + = ξопт + bопт . (2.20)

19

Задание 2.2.

1.Задать матрицу системы K , вектор решения ϕ , среднее значение mϕ и матрицу ковариации Vϕ .

2.Для заданной матрицы K и вектора решения ϕ вычислить

правую часть f .

3. Внести шум в правую часть, т.е. вычислить вектор

f = f + η,

20