Сборник задач к выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов очной формы обучения по курсу «Общая физика» (разделы «Механика», «Молекулярн
.pdf
Приложение 2
1.НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
1.1.Формулы алгебры и тригонометрии
x = |
b |
b2 4ac |
|
2a |
|
|
|
Z = a + ib
Z = (cos + i sin ) Z = ei
Z = = a2 b2
sin(x+y) = sinx cosy+siny cosx cos (x+y) = cosx cosy – sinx siny
sin2x = 2sinx cosy sin2x = ½(1– cos2x)
sinax sinbx = ½ cos(a–b)x –
– ½cos(a+b)x
x = |
|
p |
|
|
p 2 |
q |
||
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Z* = a – ib
Z* = (cos – isin )
Z* = e-i ZZ* = Z 2
sin(x–y) = sinx cosy – siny cosx
cos(x–y) = cosx cosy +sinx siny cos2x = cos2x – sin2x
cos2x = ½(1 + cos 2x)
sinax cosbx = ½ sin(a+b)x –
– ½ sin(a–b)x
1.2. Формулы приведения для тригонометрических функций
|
|
cos , |
sin sin , |
3 |
|
cos , |
|||||||
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin , |
cos cos , |
|
3 |
|
|
sin , |
|||
cos |
2 |
|
cos |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ctg , |
tg tg , |
|
3 |
|
|
ctg , |
|||
tg |
2 |
|
|
tg |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ctg |
|
|
|
tg , |
ctg ctg , |
ctg |
3 |
|
|
tg . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
81
|
1.3. Значения тригонометрических функций |
|
|||||
|
для стандартных углов |
|
|
||||
Функция |
|
|
Угол |
|
|
|
|
0 (360 ) |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
||
sin |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||
cos |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
–1 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
||||
tg |
0 |
3 |
1 |
3 |
- |
0 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ctg |
- |
3 |
1 |
3 |
1 |
- |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
1.4. Работа со степенями |
|
|
||||
хa xb = xa+b, х a/xb = xa–b, (xa)b = xa b.
1.5. Формулы элементарной геометрии
Длина окружности l = 2 R. Площадь круга S = R2.
Объем сферы (шара) V 43 R3.
Площадь поверхности сферы (шара) S = 4 R2.
1.6.Формулы дифференциального
иинтегрального исчисления
d(dxuv) v dudx u dvdx
d(xm ) mxm 1 dx
d(lndxx) 1x
u |
|
v du |
u dv |
|
d |
|
|
||
v |
dx |
dx |
||
dx |
|
|
|
v2 |
d(ex ) ex dx
d(ax ) ax ln a dx
82
d(cosdx x) sin x d(ctgdx x) sin12 x
xmdx m1 1 хm 1
dxx ln(x)
cos xdx sin x
sin2 xdx 12 x 14 sin 2x
sindxx ln tg 2x
ln xdx x ln x x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|||
x |
n |
e |
ax |
dx |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
n 1 |
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1/2e axdx |
|
|
a 3/2 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x3/2e axdx |
|
|
|
|
|
a 5/2 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x e ax2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2a |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2e ax2 dx |
|
|
|
a 3/2 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
e ax2 dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(sindx x) cos x d(tgdxx) cos12 x
dxx2 1x
sin xdx cos x
exdx ex
cos2 xdx 12 x 14 sin 2x
|
|
dx |
ln tg |
x |
|
|
|
||||||
cos x |
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xne xdx n! |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a 2 |
|
|
|
||
x3e ax2 dx |
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x4e ax2 dx |
a 5/2 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2, 405 |
|
|
|
|
|||
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x3dx |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
1 |
15 |
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0, 225 |
|
|
|
|
|||
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1,18 |
|
|
|
|
||
|
e |
x |
1 |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЕДИНИЦАХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
2.1. Множители и приставки для образования десятичных, кратных и дольных единиц и их наименований
Множитель |
Приставка |
Пример |
|
||
|
наименование |
обозначение |
|
|
|
1018 |
экса |
Э |
эксаметр |
|
Эм |
1015 |
пета |
П |
петагерц |
|
ПГц |
1012 |
тера |
Т |
тераджоуль |
|
ТДж |
109 |
гига |
Г |
гиганьтон |
|
ГН |
106 |
мега |
М |
мегаом |
|
МОм |
103 |
кило |
к |
километр |
|
км |
102 |
гекто |
г |
гектоватт |
|
ГВ |
101 |
дека |
да |
декалитр |
|
дал |
10-1 |
деци |
д |
дециметр |
|
дм |
10-2 |
санти |
с |
сантиметр |
|
см |
10-3 |
милли |
м |
миллиампер |
|
мА |
10-6 |
микро |
мк |
микровольт |
|
мкВ |
10-9 |
нано |
н |
наносекунда |
|
нс |
10-12 |
пико |
п |
пикофарад |
|
пФ |
10-15 |
фемто |
ф |
фемтограмм |
|
фг |
10-18 |
атто |
а |
аттокулон |
|
аКл |
2.2. Единицы физических величин СИ (SI)
Величина |
Наименование |
Обозначение |
|
единицы |
единицы |
Длина (ширина и т. д.) |
метр |
м |
Масса |
килoгpaмм |
кг |
Время |
секунда |
с |
Сила, вес |
ньютон |
Н |
Разность температур |
кельвин |
К |
Кoличecтвo вeщecтвa |
моль |
моль |
cиcтeмы |
|
|
Работа, энергия |
джоуль |
Дж |
84
Величина |
Наименование |
Обозначение |
|
единицы |
единицы |
Мощность |
ватт |
Вт |
Теплота (количество тепло- |
джоуль |
Дж |
ты) |
|
|
Давление |
паскаль |
Па |
Частота колебаний |
герц |
Гц |
Плоский угол |
радиан |
рад |
Телесный угол |
стерадиан |
ср |
2.3.Соотношения между внесистемными единицами
иединицами СИ
Величина, |
Связь между внесистемными |
|
единица СИ |
единицами и единицами СИ |
|
Длина, м |
1 Å = 10-10 м |
|
Площадь, м2 |
1 гектар (га) = 104 м2 |
|
|
1 т = 1000 кг |
|
Масса, кг |
1 ц = 100 кг |
|
|
атомная единица массы (а. е. м.) = |
|
|
= 1,66 10-27 кг |
|
Температура, К |
t °C = (t + 273,15) К |
|
Угол плоский, рад |
1° = /180 рад, |
|
|
1 бар = 105 Па, |
|
Давление, Па |
1 мм вод. ст. = 9,81 Па, |
|
|
1 мм рт. ст. = 133,3 Па |
|
|
1 атмосфера (атм) = 1,01 105 Па |
|
Мощность, Вт |
1 ккал/ч = 1,163 Вт |
|
Объем, м3 |
1 л = 10-3 м3 = 1 дм3 |
|
Плотность, кг/м3 |
1 т/м3 = 1 кг/дм3 = 1 г/см3 = 103 кг/м3 |
|
Работа, энергия, |
1 кВт ч = 3,6 106 Дж |
|
количество теплоты, Дж |
1 ккал = 4,1868 103 Дж = 4,19 кДж |
|
|
1 электронвольт (эВ) = 1.6 10-19 Дж |
|
Теплоемкость удельная |
1 ккал/(кг °С) = 4,19 кДж/(кг К) |
|
массовая, Дж/(кг К) |
||
|
||
Частота, Гц |
1 Гц = 1 c-1 |
|
|
1 об/с = 1 Гц |
|
|
1 об/мин = 1/60 Гц |
85
2.4. Основные физические постоянные
Нормальное ускорение свободногопадения |
g = 9,81 м/с2 |
Гравитационная постоянная |
G = 6,67·10 -11м3/(кг·с2) |
Постоянная Авогадро |
NA = 6,02·1023моль-1 |
Молярная газовая постоянная |
R = 8,31 Дж/(К·моль) |
Стандартный объем (молярный) |
Vm = 22,4·10-3м3/моль-1 |
Постоянная Больцмана |
k = 1,38·10 –23Дж/К |
Элементарный заряд |
e = 1,60·10 –19 Кл |
Масса электрона |
me = 9,11·10 –31кг |
Удельный заряд электрона |
e/m = 1,76·10 11 Кл/кг |
Скорость света в вакууме |
c = 3,00·10 8 м/с |
Атомная единица массы |
1 а.е.м. = 1,66·10 –27кг |
3.ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
3.1.Плотность твердых тел и жидкостей
(при температуре 15 °С)
|
Вещество |
|
Плотность, |
|
|
|
|
||
|
|
г/см3 |
|
|
|
Алюминий |
|
2,7 |
|
|
|
|
|
|
|
Алмаз |
|
3,5 |
|
|
Асбест |
|
2,4 |
|
|
Ацетон |
|
0,8 |
|
|
Бензин |
|
0,7 |
|
|
Вода морская |
|
1,03 |
|
|
Глицерин |
|
1,3 |
|
|
Гранит |
|
2,7 |
|
|
Графит |
|
2,3 |
|
|
Железо |
|
6,9 |
|
|
кремнистое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Золото |
|
19,3 |
|
|
Парафин |
|
0,9 |
|
|
Пробка |
|
0,25 |
|
|
Ртуть |
|
13,6 |
|
|
Свинец |
|
11,3 |
|
|
Серебро |
|
10,3 |
|
|
Скипидар |
|
0,85 |
|
|
Слюда |
|
2,8 |
|
|
Вещество |
|
Плотность, |
|
|
|
|
||
|
|
г/см3 |
|
|
|
Кварц кристалличе- |
|
2,6 |
|
|
ский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Керосин |
|
0,8 |
|
|
Лед |
|
0,92 |
|
|
Масло льняное |
|
0,95 |
|
|
Масло оливковое |
|
0,9 |
|
|
Масло касторовое |
|
0,96 |
|
|
Марганец |
|
7,40 |
|
|
Мрамор |
|
2,7 |
|
|
Медь |
|
8,9 |
|
|
Нефть |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
Олово |
|
7,3 |
|
|
Спирт этиловый |
|
0,8 |
|
|
Уголь (антрацит) |
|
1,6 |
|
|
Уран |
|
18,7 |
|
|
Хром |
|
7,2 |
|
|
Чугун |
|
7 |
|
|
Эбонит |
|
1,2 |
|
|
Янтарь |
|
1,1 |
|
86
3.2. Плотность газов при нормальных условиях
Газ |
Плотность, |
Газ |
Плотность, |
|
кг/м3 |
|
кг/м3 |
Азот |
1,25 |
Воздух |
1,29 |
Аргон |
1,78 |
Гелий |
0,18 |
Водород |
0,09 |
Кислород |
1,43 |
3.3. Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях
Вещество |
Эффективный |
|
|
Динамическая |
Теплопроводность, |
||
|
|
диаметр, нм |
|
вязкость, мкПа с |
|
мВт/м К |
|
Азот |
0,38 |
|
16,6 |
|
24,3 |
||
Аргон |
0,35 |
|
21,5 |
|
16,2 |
||
Водород |
0,28 |
|
8,66 |
|
168,0 |
||
Воздух |
- |
|
17,2 |
|
24,1 |
||
Гелий |
0,22 |
|
- |
|
- |
||
Кислород |
0,36 |
|
19,8 |
|
24,4 |
||
Пары воды |
- |
|
8,32 |
|
15,8 |
||
Хлор |
0,45 |
|
- |
|
- |
||
3.4. Динамическая вязкость жидкостей при 20 °С |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Жидкость |
|
Динамическая |
|
Жидкость |
|
Динамическая |
|
|
|
вязкость, |
|
|
|
вязкость, |
|
|
|
мПа с |
|
|
|
мПа с |
|
Бензин |
|
0,53 |
|
|
Ртуть |
|
1,58 |
вода |
|
1,0 |
|
|
Серная кислота |
|
25,4 |
Глицерин |
|
1480 |
|
|
Трансформаторное |
31,6 |
|
|
|
|
масло |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Касторовое |
|
987 |
|
|
Толуол |
|
0,59 |
масло |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
87
3.5. Поверхностное натяжение жидкостей при 20 °С
Жидкость |
Поверхностное |
Жидкость |
Поверхностное |
|
натяжение, |
||||
|
натяжение, мН/м |
|
||
|
|
мН/м |
||
|
|
|
||
Ацетон |
23,30 |
Касторовое |
36,40 |
|
масло |
||||
|
|
|
||
Бензол |
28,90 |
Керосин |
27,00 |
|
Вода |
72,75 |
Мыльная вода |
40 |
|
Глицерин |
62,50 |
Ртуть |
476,00 |
3.6.Масса и энергия покоя некоторых элементарных
илегких ядер
Частица |
Масса |
|
Энергия |
||
|
т0, кг |
|
т0, а.е.м. |
Е0, Дж |
Е0, МэВ |
Электрон |
9,110 ·10-31 |
|
0,00055 |
8,16 ·10-14 |
0,511 |
Нейтральный |
2,410 ·10-28 |
|
0,14526 |
- |
135 |
-мезон |
|
|
|
|
|
Протон |
1,672 ·10-27 |
|
1,00728 |
1,50 ·10-10 |
938 |
Нейтрон |
1,675 ·10-27 |
|
1,00867 |
1,51 ·10-10 |
939 |
Дейтрон |
3,350 ·10-27 |
|
2,01355 |
3,00 ·10-10 |
1876 |
-частица |
6,640 ·10-27 |
|
4,00149 |
5,96 ·10-10 |
3733 |
88