Сборник задач к выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов очной формы обучения по курсу «Общая физика» (разделы «Механика», «Молекулярн

1.75. Платформа в виде диска радиусом R = 1,2 м вращается по инерции с частотой n1 = 4 мин-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 70 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек перейдёт в её центр? Момент инерции J платформы равен 130 кг·м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.76. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m1 = 65 кг. На какой угол φ повернётся платформа, если человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя его, вернётся в исходную точку на платформе? Масса платформы m2 = 230 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.

1.77. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,24 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ = 18 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = = 0,7 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 8 кг·м2?

1.78. Шарик массой m = 120 г, привязанный к концу нити длиной l1 = 1,5 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой вращения n1 = 2 c-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l2 = 0,8 м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работуА совершит внешняя сила, укорачивающаянить? Трениемшарика оплоскостьпренебречь.

1.79. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением

φ = A + Bt + Ct2, где А = 2,5 рад; В = 15,5 рад/с; С = –2,8 рад/с2.

Момент инерции J маховика равен 55 кг·м2. Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему равна мощность в момент времени t = 3,2 с?

1.80. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После

31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

1.81. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за

41

время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n0 = 240 об/мин до n1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А.

1.82. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с.

1.83. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 20 кг: 1) с высоты h = = 1340 м; 2) из бесконечности?

1.84. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 80 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.85. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца.

1.86. Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном силовом поле от расстояния r до центра поля задается функцией

каких значениях r максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на тело.

1.87. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 620 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.88. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1650 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.89. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом T = 95 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

42

1.90. Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи ее поверхности, если средняя плотность планеты ρ = 3,31 г/см3.

1.91. Определить относительную скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составля-

ет 10%..

1.92. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т протона, движущегося со скоростью υ = 0,5с.

1.93. Определить релятивистский импульс протона, если скорость его движения υ = 0,65с.

1.94. Частица движется со скоростью υ = 0,8с. Определить отношениеполной энергии релятивистской частицык еёэнергии покоя.

1.95. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость υ0 спутника составляет 8,2 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время 0 = 2 года?

1.96. В лабораторной системе отсчета (K-система) -мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l = 85 м. Скорость -мезона υ = 0,9995с. Определить собственное время жизни 0 мезона.

1.97. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же системе отсчета равна 0,65с. Определить скорости частиц.

1.98. Два стержня одинаковой собственной длины l0 движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным t. Какова скорость одного стержня относительно другого?

1.99. Релятивистская частица массы т с кинетической энергией K налетает на покоящуюся частицу той же массы. Найти массу и скоростьсоставной частицы, образовавшейсяв результатесоударения.

1.100. Космический корабль движется со скоростью υ = 0,8 с по направлению к Земле. Определить расстояние, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей (системе K), за to = 0,5 с, отсчитанное по часам в космическом корабле (системе K').

43

Раздел 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

В настоящем разделе рассмотрены следующие темы:

1.Основные понятия молекулярно-кинетической теории (МКТ)

итермодинамики.

2.Уравнение Менделеева–Клапейрона и основное уравнение МКТ. Опытные законы идеального газа. Строение реальных веществ. Газ Ван-дер-Ваальса.

3.Распределения Максвелла и Больцмана.

4.Степени свободы. Внутренняя энергия идеального газа (ИГ), работа, количество теплоты. Первое начало термодинамики.

5.Теплоемкость.

6.Применение первого начала термодинамики к изопроцессам. Адиабатический процесс.

7.Энтропия. Второе начало термодинамики. Круговой процесс. Цикл Карно.

8.Механика жидкостей

В условиях задач этого раздела температура может задаваться в градусах Цельсия. При проведении числовых расчетов необходимо перевести температуру в градусы Кельвина исходя из соотношения 0 °С = 273,15К. Также необходимо перевести в систему СИ все остальные величины. Например, 1л = 10-3 м3, 1 см3 = 10-6 м3, 1 мм рт.ст. = 133 Па, 1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 ·105 Па.

2.1.Основные законы и формулы

2.1.1.Основные понятия молекулярно-кинетической теории

итермодинамики

Количество вещества системы (в молях) равно

где N – число частиц системы; NA – число Авогадро; m, – масса и молярная масса вещества.

Если система представляет смесь нескольких газов, то количество вещества системы равно

44

где i , Ni , mi , i – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i-го компонента смеси.

Молярная масса смеси газов вычисляется по формуле

= m1 + m2 +... + mi ,1 + 2 +... + i

где тi и i – масса и количество вещества i-го компонента смеси.

Массовая доля i i-го компонента смеси газа (в долях единицы или в процентах) равна

i = mi / m ,

где т – масса смеси.

Концентрация молекул (число частиц в единице объема) равна n = VN = NА ,

где N – число частиц, содержащихся в данной системе; – плотность вещества; NА – постоянная Авогадро.

Средняя энергия молекул идеального газа

m02υкв2 ,

где υкв – средняя квадратичная скорость. Скорости молекул определяются формулами:

где т0 – масса одной молекулы.

Закон равнораспределения энергии по степеням свободы

x y z 13 ,

45

где x , y , z – средние значения энергии поступательного движения молекул, связанные соответственно с движением частиц относи-

тельноосей x, y, z; – средняяэнергиямолекулыидеальногогаза.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры p = nkT.

Размерность давления в системе СИ: [P] = Н/м2 = паскаль (Па). На практике часто используются и другие единицы измерения давления: 1 мм рт.ст., 1 мм вод. ст., физическая (1 атм) и техническая атмосферы (1 ат).

1 мм рт. ст. = 133 Па, 1 мм вод. ст.= 9,81 Па,

1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 ·105 Па, 1 ат = 1кг/см2 = 0,981· 105 Па.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения

молекулы

к 32 kT ,

где k – постоянная Больцмана, k =1,38 10-23 Дж/К.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

к.п 2i kT ,

где i - число степеней свободы молекулы.

2.1.2. Уравнение Менделеева–Клапейрона и основное уравнение МКТ. Опытные законы идеального газа

Уравнение Менделеева–Клапейрона (уравнение состояния иде-

ального газа) имеет вид

pV = m RT RT ,

где р и V – давление и объем газа; R – универсальная газовая по-

стоянная; Т – термодинамическая температура. – количество вещества.

Опытные законы идеального газа, являются частными случая-

ми уравнения Менделеева–Клапейрона, выполняются при m = = const, = const:

46

а) закон Бойля–Мариотта (изотермический процесс при T = = сonst)

pV = const

или для двух состояний газа

р1V1 = p2V2,

где p1 и V1 – давление и объем газа в начальном состоянии; p2 и V2 – давление и объем газа в конечном состоянии;

б) закон Гей-Люссака (изобарический процесс при p = const)

V/T = const

или для двух состояний

V1/T1 = V2/T2,

где V1 и T1 – объем и температура газа в начальном состоянии; V2 и Т2 – объем и температура газа в конечном состоянии;

в) закон Шарля (изохорический процесс при V = const)

р/T = const

или для двух состояний

p1/T1 = p2/T2,

где p1 и T1 – давление и температура газа в начальном состоянии; p2

иT2 – давление и температура газа в конечном состоянии; г) объединенный газовый закон

pV/T = const

или для двух состояний

p1V1/T1 = p2V2/Т2 ,

где p1, V1, T1 – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2, V2, T2 – давление, объем и температура газа в конечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

р = р1+p2+...+ pi+...+pn,

где pi – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления (уравнение Клаузиуса)

p 23 n п ,

где п – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа.

47

Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-

Ваальса)

p 22a V b RT ,V

где a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса.

2.1.3. Распределения Максвелла и Больцмана

Распределение Больцмана (распределение молекул газа, находящегося во внешнем силовом поле) имеет вид

n n0e U /kT ,

где n – концентрация молекул газа; U – потенциальная энергия молекулы; n0 – концентрация молекул в точках поля при U = 0; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; e – основание натурального логарифма, е = 2,718.

Распределение Максвелла молекул газа по скоростям теплового движения выражается соотношением

где f(υ) – функция Максвелла; N – общее число молекул; dN(υ) – число молекул, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ; m – масса молекулы.

2.1.4. Степени свободы. Внутренняя энергия идеального газа, работа, количество теплоты. Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия идеального газа равна

где i – число степеней свободы молекулы.

Число степеней свободы молекулы определяется как

i iпост iвращ 2iколеб ,

где iпост – число степеней свободы поступательного движения, iпост = 3; iвращ – число степеней свободы вращательного движения; iколеб – число степеней свободы колебательного движения.

48

Для одноатомных молекул, рассматриваемых как материальные

точки: i iпост 3 .

Для двухатомных молекул, рассматриваемых как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой

связью: i iпост iвращ 3 2 5 .

Трехатомные и многоатомные нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы (три поступательных и три вращатель-

ных): i iпост iвращ 3 3 6 .

В реальных молекулах жесткой связи между атомами не существует, поэтому учитываются также колебательные степени свободы.

Дифференциальная форма записи первого начала термодинамики

Q =dU + δA,

интегральная форма записи первого начала термодинамики

Q = U+A,

где Q – количество теплоты, сообщенное системе; U – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

Закон сохранения энергии в развернутом виде

V2

Работа расширения газа A pdV .

V1

2.1.5. Теплоемкость

Теплоемкость C системы (тела, вещества, газа) – физическая величина, численно равная теплоте, которую необходимо сообщить системе, для того чтобы увеличить ее температуру на 1 К:

C Q / dT , [С] = Дж/К.

Удельная теплоемкость вещества c – физическая величина,

численно равная теплоте, которую необходимо сообщить единице массы вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К:

49

c 1 Q , [c] = Дж/(кг·К). m dТ

Соотношения для расчета теплоты:

T2

Q С dT ,

T1

в частном случае (С = const): Q C Т ;

T2

Q m c dТ , Q m c dТ ,

T1

в частном случае (c = const): Q m c Т .

Молярная теплоемкость вещества – физическая величина,

численно равная теплоте, которую необходимо сообщить 1 молю вещества, для того чтобы увеличить его температуру на 1 К:

Размерность молярной теплоемкости [Сμ] = Дж/(моль·К). Соотношения для расчета теплоты:

и в частном случае (Сμ = const):

Q C Т m C Т .

Связь между различными видами теплоемкости:

C m c C m C .

Молярная теплоемкость идеального газа в изохорическом процессе

где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная.

50