Сборник задач к выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов очной формы обучения по курсу «Общая физика» (разделы «Механика», «Молекулярн

где m – масса движущейся частицы, m0 – масса покоящейсячастицы. 3. Подставив (2) в (1), получим

5. Кинетическая энергия T в релятивистской механике определяется как разность между полной энергией частицы Е = тс2 и ее энергией покоя Е0 = т0с2, т.е. с учетом (2)

Ответ: р = 2,7 10-22 кг м/с, Т = 3,3 10-14Дж.

Задача 1.17. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t0 = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в

31

2. Возведем обе части последнего уравнения в квадрат и полу-

Ответ: l = 5,16 м.

1.3.Задачи для самостоятельного решения

1.1.При управлении автомобилем, движущимся со скоростью 100 км/ч водитель отвлекся от дороги на 0,5 с и посмотрел в сторону. Как далеко за это время уедет автомобиль? Какой должна быть скорость автомобиля, чтобы «слепой» путь за это же время не пре-

вышал 100 м?

1.2. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через t = 1,5 с. Принимая скорость звука υ = 330 м/с, определить глубину колодца.

1.3. Самолет пролетает 2200 км со скоростью 1000 км/ч. Затем возникает встречный ветер, вследствие чего скорость самолета уменьшается и следующие 1750 км он пролетает уже со скоростью 850 км/ч. Какова средняяпутеваяскорость самолета за такой перелет?

1.4. При квалификационных заездах перед соревнованиями автогонщик должен на протяжении четырех кругов показать среднюю путевую скорость 200 км/ч. Из-за сбоев в двигателе средняя путевая скорость автомобиля на первом круге оказалась равной 170 км/ч. Какую среднюю скорость нужно развить на оставшихся кругах?

1.5. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а = 4,5 м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в (п +1)-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую п-ю секунду. Принять υ0 = 0.

1.6. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через t = 65 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии s = 5,3 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал в одном режиме.

32

1.7.Материальная точка движется прямолинейно с ускорением

а= 5 м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в п-ю

секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять υ0 = 0.

1.8.Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью

υ1 = 60 км/ч, остальную часть пути – со скоростью υ2 = 80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <υ > автомобиля?

1.9.Тело брошено со скоростью υ0 = 15 м/с под углом α = 30° к

горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время t его движения.

1.10. Тело брошено со скоростью υ0 = 15 м/с под углом = 45 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

1.11. Мотоциклист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью υ1 = 60 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью υ2 = 70 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью υ3 = 5 км/ч. Определить среднюю скорость <υ> мотоциклиста.

1.12. Кинематические уравнения движения двух материальных

В1 = 3 м/с2, С1 = –2 м/с3, В2 = –4 м/с2, С2 = 3 м/с3. Определить момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

1.13. Положение мяча, катящегося по прямой, задается выражением х(t) = 2,0 + 6,6t – 1,1t2, где х измеряется в метрах, t – в секундах. Определить положение мяча в момент времени t = 2 с. Чему равны его средняя скорость и среднее ускорение на интервале времени от 1 с до 3 с? Какова его мгновенная скорость и мгновенное ускорение в момент времени t = 1 c?

1.14. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А + Bt + Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Опре-

делить: 1) через сколько времени после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени.

1.15. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x1 = A1 + B1t + C1t2 и x2 = A2 + В2t + С2t 2, где С1 =

33

= –2 м/с2, С2 = 1 м/с2. Определить: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения а1 и а2 для этого момента.

1.16. Зависимость пройденного телом пути s от времени t выражается уравнением s = At – Bt2 + Ct3 (A = 2 м/с, В = 3 м/с2, С =

= 4 м/с3). Записать выражения для скорости и ускорения. Определить для момента времени t = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

1.17.Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

1.18.Вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 15 м/с брошен камень. Через промежуток времени τ = 0,5 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.19. Материальная точка движется по окружности с постоянной

угловой скоростью ω = /6 рад/с. Во сколько раз путь s, пройденный точкой за время t = 3 с, будет больше модуля ее перемещения r? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий положение точки на окружности, относительно исход-

ного положения был повернут на угол 0 = /3 рад.

1.20. За время t = 5 с точка прошла половину окружности радиуса R = 1 м. Найти за это время: а) среднее значение модуля скорости; б) модуль среднего вектора скорости; в) модуль среднего вектора полного ускорения, если тангенциальное ускорениепостоянно.

1.21. Диск радиусом r = 12 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное аτ, нормальное аn и полное а ускорения точек на окружности диска в конце третьей секунды после начала вращения.

1.22. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением ε. Определить тангенциальное

ускорение а точки, если известно, что за время t = 6 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение an = 3 м/с2 .

34

1.23. Точка движется по окружности со скоростью υ = 0,7t. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет четверть длины окружности после начала движения.

1.24. Точка движется по окружности радиусом R = 5 м. Начальная скорость υ0 точки равна 2,5 м/с, тангенциальное ускорение аτ = = 1,75 м/с2. Для момента времени t = 1,5 c определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения | r|; 3) среднюю путевую скорость <υ>; 4) модуль вектора средней скорости |<υ>|.

1.25.Движение точки по кривой задано уравнениями х = А1t3 и y = A2t, где А1 = 2,5 м/с3, А2 = 1,2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость υ и полное ускорение а в момент времени t = 2 c.

1.26.Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R

так, что в каждый момент ее тангенциальное и нормальное ускорения одинаковы по модулю. В момент t = 0 скорость точки равна υ0. Найти зависимость: а) скорости точки от времени и пройденного пути s; б) полного ускорения точки от υ и s.

1.27. По дуге окружности радиусом R = 12 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки аn =

=6,2 м/с2. В этот момент векторы полного и нормального ускоре-

ний образуют угол φ = 60 . Найти скорость υ и тангенциальное ускорение аτ точки.

1.28.Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N = 60 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n1 =

=4,5 с-1 до n2 = 6,3 с-1. Определить угловое ускорение ε колеса.

1.29.На гладком столе лежит брусок массой m = 2,5 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров

подвешены гири, массы которых m1 = 0,5 кг и m2 = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движется брусок и силу натяжения Т каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.

1.30. Два бруска массами m1 = 0,8 кг и m2 = 3,4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F = 12 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу F приложить: а) к первому бруску; б) ко второму бруску. Трением пренебречь.

1.31. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m1 = 1,25 кг и

35

m2 = 3,75 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

1.32. Наклонная плоскость, образующая угол = 30 с плоскостью горизонта, имеет длину l = 4,55 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2,15 c. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

1.33. Наклонная плоскость, образующая угол с плоскостью горизонта, имеет длину l = 3,5 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 1,5 c. Учитывая, что

коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,8, определить угол . 1.34. С вершины клина, длина которого l = 2 м и высота h = 1 м,

начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ = 0,15. Определить: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

1.35. Тело, находящееся на высоте h = 1 м, соскальзывает равноускореннопонаклоннойплоскости, имеющей длинуl = 2,2 мза времяt = 0,9 c. Определитькоэффициенттренияμтелаоплоскость.

1.36. Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 20° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если времяподъема тела оказалосьв 2,5 раза меньшевремени спуска.

1.37. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью υ0 = 25 м/с, остановилась через t = 1 мин. Найти коэффициент трения μ шайбы о лед.

1.38. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,58 м/с2 по горизонтальной поверхности, описывая дугу радиуса R = 35м. Коэффициент трения между колесами машины и поверхностью μ = 0,18. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?

1.39. Материальная точка массой m = 1,3 кг движется под дей-

ствием некоторой силы F согласно уравнению х = A + Bt + Ct2 + Dt3, где С = 2 м/с2, D = –0,6 м/с3. Найти значения этой силы в моменты времени t1 = 2 c и t2 = 5 с. В какой моментвремени сила равна нулю?

1.40. Шайбу поместили на наклонную плоскость, составляющую угол α = 15° с горизонтом. Если шайбе сообщить некоторую начальную скорость вверх по плоскости, то она до остановки проходит путь s1; если же сообщить ту же начальную скорость вниз, то

36

путь до остановки равен s2. Найти коэффициент трения, зная, что

s2/s1 = 45.

1.41. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом = 30° к линии горизонта. Определить скорость u2 отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью u1 = 460 м/с. Масса платформы с орудиеми снарядами m2 = 16 т, масса снаряда m1 = 45 кг.

1.42. Платформа с песком общей массой М = 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда υ = 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом α = 30° к горизонту.

1.43. При горизонтальном полете со скоростью υ = 245 м/с снаряд массой m = 7 кг разорвался на две части. Большая часть массой m1 = 5,5 кг получила скорость u1 = 420 м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости u2 меньшей части снаряда.

1.44. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью υ1 = 2,1 м/с в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной u1 = 3,8 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u2 человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m1 = 200 кг, масса человека m2 = 65 кг.

1.45. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте высоты над поверхностью Земли, сброшен груз массой m = 250 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени t ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k = 9,8 кг/с.

1.46. Шар массой m1 = 8 кг, движущийся со скоростью υ1 = 5 м/с, сталкивается с шаром массой m2 = 3 кг, скорость υ2 которого равна 12 м/с. Малый шар нагоняет большой шар. Считая удар прямым и неупругим, найти скорость u шаров после удара.

1.47. Шар массой m1 = 6 кг, движущийся со скоростью υ1 = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m2 = 2 кг, скорость υ2 которого равна 8 м/с. Шары движутся навстречу друг другу. Считая удар прямым и неупругим, найти скорость u шаров после удара.

37

1.48. На сколько переместится относительно берега лодка длиной L = 2,5 м и массой m1 = 150 кг, если стоящий на корме человек массой m2 = 70 кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.

1.49.Два конькобежца массами m1 = 75 кг и m2 = 55 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, вы-

бирая его со скоростью υ = 1,5 м/с. С какими скоростями u1 и u2 будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

1.50.В момент, когда скорость падающего тела составила υ0 =

=7 м/с, оно разорвалось на три одинаковых осколка. Два осколка разлетелись в горизонтальной плоскости под прямым углом друг к

другу со скоростью υ = 6 м/с каждый. Найти скорость третьего осколка сразу после разрыва.

1.51. Шар массой m1 = 2,5 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 35 % кинетической энергии. Определить массу m2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.52. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью υ0. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью v относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

1.53. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: а) одновременно; б) друг за другом.

1.54. Снаряд, выпущенный со скоростью υ0 = 160 м/с под углом

α = 30 к горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой О со скоростью υ = 85 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?

1.55. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за время t = 1 мин развивает скорость υ = 18 км/ч. Коэффициент трения f = 0,01. Определить среднюю мощность <N> локомотива.

38

1.56. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1 = 320 кг, ударяет молот массой m2 = 10 кг. Опре-

делить КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

1.57.Определить КПД неупругого удара бойка массой m1 =

=0,45 т, падающего на сваю массой m2 = 140 кг. Полезной считать

энергию, затраченную на вбивание сваи.

1.58. Шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью υ1 = 3 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2 = 6 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

1.59. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой m = 130 кг на высотуh = 3 мза времяt = 2,5 с.

1.60. Две пружины жесткостью k1 = 0,78 кН/м и k2 = 1,35 кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию П

данной системы при абсолютной деформации l = 4 см.

1.61. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 15 т, двигавшийся со скоростью υ = 0,5 м/с, остановился, сжав пружину на

l = 6 см. Найти общую жесткость k пружин буфера.

1.62. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k1 = 320 Н/м и k2 = 280 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на l = 5 см.

1.63.Найти работу А подъёма груза по наклонной плоскости длиной l = 2,5 м, если масса m груза равна 110 кг, угол наклона α =

=25 , коэффициент трения μ = 0,12 и груз движется с ускорением

а = 1,2 м/с2.

1.64.Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами a = 11 см и b = 25 см относительно оси, проходящей

через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса равномерно распределена по её площади с поверхностной плотностью σ = 1,1 кг/м2.

1.65. На обод маховика диаметром D = 50 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 3 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 2 с приобрел угловую скорость ω = 8 рад/с.

39

1.66. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R = 25 см и массой m = 145 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через центр.

1.67. В однородном диске массой m = 1,2 кг и радиусом r = 35 см вырезано круглое отверстие диаметром d = 22 см, центр которого находится на расстоянии l = 12 см от оси диска. Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

1.68. Сплошной цилиндр массой m = 3,5 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость υ оси цилиндра равна 2 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.

1.69.Обруч и диск одинаковой массы m1 = m2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энергия обруча WK1= 8 Дж. Найти кинетическую энергию WK2 диска.

1.70.Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхно-

сти. Полная кинетическая энергия шара равна 18 кДж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения шара.

1.71. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 65 см и массой m = 25 кг приложена сила F = 0,75 кН. Определить угловое ускорение ε и частоту вращения n маховика через время t = 7 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 13 см. Силой трения пренебречь.

1.72. Тонкий однородный стержень длиной l = 67 см и массой m = 432 г вращается с угловым ускорением ε = 3,12 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

1.73. Шар массой m = 13 кг и радиусом R = 28 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = A + Bt2 + Ct3, где В = 4,2 рад/с2, С = –1,7 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 9 с.

1.74. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с.

40